抛物线的参数方程-课件,抛物线的四种参数方程

1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是x＝asecφ，y＝btanφ规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是x＝btanφ，y＝asecφ.2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2ptt∈R.(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[例1](1)双曲线x＝23tanα，y＝6secα(α为参数)的焦点坐标是________．(2)将方程x＝tant，y＝1－cos2t1＋cos2t化为普通方程是________．[思路点拨](1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去t.[解析](1)将x＝23tanα，y＝6secα化为y236－x212＝1，可知双曲线焦点在y轴，且c＝36＋12＝43，故焦点坐标是(0，±43)．(2)由y＝1－cos2t1＋cos2t＝2sin2t2cos2t＝tan2t，将tant＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．[答案](1)(0，±43)；(2)y＝x2.(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是secφ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是secφ，则焦点在y轴上．1．如果双曲线x＝secθ，y＝6tanθ(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a＝1，故P到它左焦点的距离PF＝10或PF＝6.答案：10或62．过抛物线y＝2t，x＝t2(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x2＋x2＝6.则AB＝________.解析：化为普通方程是：x＝y24即y2＝4x，∴p＝2.∴AB＝x1＋x2＋p＝8.答案：8[例2]连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使OM＝MP，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[思路点拨]由条件可知，M点是线段OP的中点，利用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类型．[解]设M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为x＝2t，y＝2t2用中点公式得x0＝4t，y0＝4t2.变形为y0＝14x20，即P点的轨迹方程为x2＝4y.表示抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．3．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：F1P·F2P＝OP2.证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝tanθ.则：(F1P·F2P)2＝[(secθ＋2)2＋tan2θ]·[(secθ－2)2＋tan2θ]＝(sec2θ＋22secθ＋2＋tan2θ)(sec2θ－22secθ＋2＋tan2θ)＝(2secθ＋1)2(2secθ－1)2＝(2sec2θ－1)2.又OP2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得F1P·F2P＝OP2.4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为(x，y)，(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)(t1≠t2，且t1·t2≠0)，则OM＝(x，y)，OA＝(2pt21，2pt1)，OB＝(2pt22，2pt2)，AB＝(2p(t22－t21)，2p(t2－t1))．因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即(2pt1t2)2＋(2p)2t1t2＝0，所以t1t2＝－1.①因为OM⊥AB，所以OM·AB＝0，即2px(t22－t21)＋2py(t2－t1)＝0，所以x(t1＋t2)＋y＝0，即t1＋t2＝－yx(x≠0)．②因为AM＝(x－2pt21，y－2pt1)，MB＝(2pt22－x,2pt2－y)，且A，M，B三点共线，所以(x－2pt21)(2pt2－y)＝(y－2pt1)(2pt22－x)，化简，得y(t1＋t2)－2pt1t2－x＝0.③将①，②代入③，得到y(－yx)＋2p－x＝0，即x2＋y2－2px＝0(x≠0)，这就是点M的轨迹方程．•9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。23/6/1223/6/12Monday,June12,2023•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。23/6/1223/6/1223/6/1206/12/2301:37PM•11、越是没有本领的就越加自命不凡。23/6/1223/6/1223/6/1206/12/23Jun12,2023•12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。23/6/1223/6/1223/6/12Monday,June12,2023•13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。23/6/1223/6/1223/6/1223/6/1206/12/23•14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2023年6月12日23/6/1223/6/1223/6/12•15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。2023.06.1223/6/1223/6/1223/6/1206/12/23•16、业余生活要有意义，不要越轨。23/6/1223/6/12June12,2023•17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。23/6/1223/6/1223/6/1223/6/12谢谢观赏Youmademyday!我们，还在路上……