椭圆双曲线抛物线的参数方程课件

•圆的参数方程sincosryrxx2+y2=r2222)()(rbyaxsincosrbyrax椭圆的参数方程例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANox⊥，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设∠XOA=φ例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANox⊥，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB解：设∠XOA=φ,M(x,y),则A:(acosφ,asinφ),B:(bcosφ,bsinφ),由已知:即为点M的轨迹参数方程.sinbycosax()为参数消去参数得:,bya12222x即为点M的轨迹普通方程.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb2.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b另外,称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)cos,sin.xaXyb焦点在轴cos,sin.xbYya焦点在轴φOAMxyNB知识归纳椭圆的标准方程:12222byax椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数xxyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为参数rrxθ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.【练习1】把下列普通方程化为参数方程.22149xy22116yx(1)(2)3cos5sinxy8cos10sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析1：),y,y(288P设28824yyd则分析2：),sin,cos(P22设2224sincosd则分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。、已知椭圆有一内接矩形ABCD形ABCD的最大面积。22110064xy:10cos,8sinA解设20cos,16sin2016sincos160sin2ADABS,ABCD160所以矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX练习3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.22941yx:,ABCABP解椭圆参数方程设点P(3cos,2sin)S面积一定需求S最大即可264132212360cossin62sin()23,,yxPABxyddP3322即求点到线的距离最大值线AB的方程为66所以当=时有最大值面积最大4这时点的坐标为(,2)抛物线的参数方程xyoM(x,y)(,)22222...........(5)tan..................................(6)2tan(5),(6),(2tan(5)()ypxMyxpxxypy设抛物线的普通方程为因为点在的终边上，根据三角函数的定义可得由解出，得到为参数）这就是抛物线不包括顶点的参数方程(,)2221,(,0)(0,),tan2()20(0,0)(,)ttxpttyptttt如果令则有为参数当时，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点因此当时，参数方程就表示抛物线。参数表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。23.,,2(0),OABypxpOAOBOMABABMM例如图是直角坐标原点是抛物线上异于顶点的两动点,且并于相交于点，求点的轨迹方程。xyoBAM221122121222112222212122121212:,,,(,),(2,2),(2,2)(,0)(,),(2,2),(2,2)(2(),2()),0,(2)(2)0,1........MABxyptptptptttttOMxyOAptptOBptptABpttpttOAOBOAOBpttptttt解根据条件设点的坐标分别为且则因为所以即所以...(8)2221211212211222,0,2()2()0()0,(0)................................(9)(2,2),(2,2),,OMABOMOBpxttpyttxttyyttxxAMxptyptMBptxptyAMB因为所以即所以即因为且三点共线，221221121222(2)(2)(2)(2)()20...............(10)(8),(9)(10),()2020(0)xptptyptxyptyttpttxyypxxxypxxM所以化简，得将代入得到即这就是点的轨迹方程简化运算。说明：设出参数能大大