第二讲--二--2.-3.--双曲线的参数方程-抛物线的参数方程

二2.～3.双曲线的参数方程抛物线的参数方程把握热点考向考点一考点二第二讲理解教材新知应用创新演练二圆锥曲线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是x＝asecφ，y＝btanφ规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.2.～3.双曲线的参数方程抛物线的参数方程(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是x＝btanφ，y＝asecφ.2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2ptt∈R.(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[例1](1)双曲线x＝23tanα，y＝6secα(α为参数)的焦点坐标是________．(2)将方程x＝tant，y＝1－cos2t1＋cos2t化为普通方程是________．[思路点拨](1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去t.双曲线、抛物线参数方程的基本问题[解析](1)将x＝23tanα，y＝6secα化为y236－x212＝1，可知双曲线焦点在y轴，且c＝36＋12＝43，故焦点坐标是(0，±43)．(2)由y＝1－cos2t1＋cos2t＝2sin2t2cos2t＝tan2t，将tant＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．[答案](1)(0，±43)；(2)y＝x2.(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是secφ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是secφ，则焦点在y轴上．1．如果双曲线x＝secθ，y＝6tanθ(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a＝1，故P到它左焦点的距离PF＝10或PF＝6.答案：10或62．过抛物线y＝2t，x＝t2(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x2＋x2＝6.则AB＝________.解析：化为普通方程是：x＝y24即y2＝4x，∴p＝2.∴AB＝x1＋x2＋p＝8.答案：8双曲线、抛物线[例2]连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使OM＝MP，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[思路点拨]由条件可知，M点是线段OP的中点，利用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类型．[解]设M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为x＝2t，y＝2t2用中点公式得x0＝4t，y0＝4t2.变形为y0＝14x20，即P点的轨迹方程为x2＝4y.表示抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．3．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：F1P·F2P＝OP2.证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝tanθ.则：(F1P·F2P)2＝[(secθ＋2)2＋tan2θ]·[(secθ－2)2＋tan2θ]＝(sec2θ＋22secθ＋2＋tan2θ)(sec2θ－22secθ＋2＋tan2θ)＝(2secθ＋1)2(2secθ－1)2＝(2sec2θ－1)2.又OP2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得F1P·F2P＝OP2.一、选择题1．曲线x＝t2－1，y＝2t＋1(t为参数)的焦点坐标是()A．(1,0)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0，－1)解析：将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．答案：B2．已知某条曲线的参数方程为x＝12a＋1a，y＝12a－1a(其中a是参数)，则该曲线是()A．线段B．圆C．双曲线D．圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减，得x2－y2＝1.并且由x＝12a＋1a≥1，得x≥1或x≤－1，从而易知结果．答案：C3．方程x＝et＋e－t，y＝et－e－t(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2et·e－t＝2.∴表示双曲线的右支．答案：B4．P为双曲线x＝4secθ，y＝3tanθ(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，故F1(－5,0)，F2(5,0)，设P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，则x＝－5＋5＋4secθ3＝43secθ，y＝0＋0＋3tanθ3＝tanθ.从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．答案：A二、填空题5．已知动圆方程x2＋y2－xsin2θ＋22·ysin(θ＋π4)＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为x＝12sin2θ，y＝－2sinθ＋π4.即x＝sinθcosθ，y＝－sinθ＋cosθ.消去参数得：y2＝1＋2x(－12≤x≤12)．答案：y2＝1＋2x(－12≤x≤12)6．双曲线x＝3tanθ，y＝secθ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为_______．解析：将参数方程化为y2－x23＝1，此时a＝1，b＝3，设渐近线倾斜角为α，则tanα＝±13＝33.∴α＝30°或150°.答案：30°或150°7．已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若EF＝MF，点M的横坐标是3，则p＝________.解析：x＝2pt2，y＝2pt⇒y2＝2px，焦点Fp2，0，过点M作x轴的垂线，垂足为N，由题意可知，△MEF是正三角形，所以∠MFN＝60°，在Rt△MFN中，FN＝MFcos60°＝123＋p2，所以3－p2＝123＋p2⇒p＝2.答案：2三、解答题8．已知抛物线x＝2pt2，y＝2pt(t为参数，p＞0)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N两点间的距离．解：由题知M，N两点的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)，∴MN＝2pt21－2pt222＋2pt1－2pt22＝2pt1－2pt22＝2pt1－t2＝2pt1＋t22－4t1t2＝4p2.故M，N两点间的距离为4p2.9．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．解：设Q(secθ，tanθ)，在△O1QP中，O1P＝1，O1P＋PQ≥O1Q.又O1Q2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3.当tanθ＝1，即θ＝π4时，O1Q2取最小值3，此时有O1Qmin＝3.∴PQmin＝3－1.10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．解：法一：设抛物线的参数方程为x＝8t2，y＝8t(t为参数)，可设M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)，则kMN＝8t2－8t18t22－8t21＝1t1＋t2.又设MN的中点为P(x，y)，则x＝8t21＋8t222，y＝8t1＋8t22.∴kAP＝4t1＋t24t21＋t22－1，由kMN＝kAP知t1·t2＝－18，又x＝4t21＋t22，y＝4t1＋t2，则y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝16(x4－14)＝4(x－1)．∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M、N在抛物线y2＝8x上知y21＝8x1，y22＝8x2，两式相减得y21－y22＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，∴y1－y2x1－x2＝8y1＋y2.设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.由kPA＝yx－1，又kMN＝y1－y2x1－x2＝8y1＋y2＝4y，∴yx－1＝4y.∴y2＝4(x－1)．∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．