极坐标与参数方程例题示范(分题型)

('极坐标与参数方程例题示范(分题型)极坐标与参数方程是选修内容的必考题型，这里按照课本及高考考试说明，归纳总结为四类题型。题型一。极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−3+t¿¿¿¿（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0.（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ<2π）.试题解析：（1）由ρ+2cosθ=0得ρ=−2cosθ，两边同乘以ρ，得x2+y2=−2x；（2）由直线l的参数方程为{x=−3+t¿¿¿¿（t为参数），得直线的普通方程为x+y+2=0，联立曲线C与直线l的方程得，{x=−1¿¿¿¿或{x=−2¿¿¿¿，化为极坐标为(√2,5π4)或(2,π).考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化.考点：，.2．在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与1极轴的交点，求圆的极坐标方程．试题解析：法一：转化为直角坐标为：直线的直角坐标方程为：它与轴的交点也就是圆心为所以所以圆的方程为，得所以，圆的极坐标方程为：法二：因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是又圆经过点，圆的半径，圆过原点，圆的极坐标方程是．考点：（1）转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；（2）先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程.题型二。曲线（圆与椭圆）的参数方程。（1）普通方程互化和最值问题。“1”的代换（）、三角解决。试卷第2页，总13页3．已知曲线C的参数方程是{x=2cosθ,y=sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A,B的极坐标分别为A(2,π),B(2,4π3).（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值.试题解析：（Ⅰ）将、化为直角坐标为，即，，∴直线的方程为，即．（Ⅱ）设，它到直线的距离为，（其中），∴．考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值．4．已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求{an}的最大值.试题解析：曲线的极坐标方程可化为.又3，所以曲线的直角坐标方程为.将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，令，得，即点的坐标为（2，0）.又曲线的圆心坐标为（1，0），半径，则，所以.法二：设N的坐标为.所以考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系5．已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.试卷第4页，总13页试题解析：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标系下的方程为，因为圆心到直线的距离为,所以直线与曲线的的位置关系为相离.（2）设点，则.考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程.6．已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值.试题解析：（1）点的直角坐标，由，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为5，设，则，那么点到直线的距离，所以点到直线的最小距离为.考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离．（2）公共点问题。联立求解判别式，直线与圆d与r。7．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）．若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线有公共点，求实数的取值范围．试题解析：（1）由得，又由得，所以曲线的普通方程为，即，试卷第6页，总13页又易知，∴曲线的普通方程为，．由得，所以，所以曲线的直角坐标方程为．（2）当直线过点时，与曲线有公共点，此时，从该位置向左下方平行移动直到与曲线相切总有公共点，联立得，，令，解得．∴．∴所求实数的取值范围是．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、直线与抛物线的位置关系．8．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的长度单位）中，圆的方程为．（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆相切，求实数的值．试题解析：（Ⅰ）由，∴圆的直角坐标方程为（或）；7（Ⅱ）直线的参数方程为，∵圆的圆心为，半径，由直线与圆相切，得或．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．9．在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数，且).（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围.试题解析：（1）由直线的极坐标方程得：，即直线的直角坐标方程为：，由曲线的参数方程为参数，且).得：（2）设曲线上任意一点为，则，试卷第8页，总13页直线与曲线有两个公共点，.考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换.题型三。直线参数方程（t的几何意义）。定点到动点的距离。定标图号联、韦达三定理。、、10．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.试题解析：（1）由，得，即.（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即.由于，故可设，是上述方程的两实根，所以，9又直线过点，故由上式及的几何意义得.考点：1.曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2.直线的参数方程的应用．11．在直角坐标系中，过点的直线l的斜率为1，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线l和曲线的交点为．（1）求直线的参数方程；（2）求试题解析：（Ⅰ）由条件知，直线的倾斜角，所以.设点是直线上的任意一点，点到点的有向向量为，则（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为,由此得,即.设为此方程的两个根，因为和的交点为，试卷第10页，总13页所以分别是点所对应的参数，由韦达定理得=考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程12．在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为.（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值.试题解析：（1）由，可得，∴，∴，即（2）过点作斜率为的直线的参数方程为（为参数）.代入得，设点对应的参数分别为，则，.由的几何意义可得.（注：此题也可直接求两点坐标，再用两点间的距离公式求出,.）考点：1.曲线的极坐标方程、参数方程和普通方程的转化；2.直线与圆的位置关系．11xC42cos()4\uf070\uf072\uf071\uf03d\uf02bC(2,0)PlC,AB11PAPB\uf02bt13．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值.试题解析：（1）由得，化为直角坐标方程为，即；（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得由，故可设是上述方程的两根，所以，又直线过点，故结合的几何意义得所以的最小值为考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用.题型四。跟踪点参数方程的求法。跟踪点法。14．在直角坐标系中,曲线的参数方程为,是上的动点，点满足,记点的轨迹为曲线．试卷第12页，总13页l,ABPAPB\uf02bxoy1C2cos()22sinxy\uf061\uf061\uf061\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf02b\uf0ee为参数M1CPP2C（1）求曲线的方程；（2）在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与曲线的异于极点的交点为,与曲线的异于极点的交点为,求．试题解析：（1）设则由条件知．由于在上,所以所以从而的参数方程为．（2）法一：曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为．射线与的交点为的极径与的交点为的极径所以．法二：垂径定理。考点：参数方程与直角坐标方程的互化；极坐标方程的应用．15．在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r＝3．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ∶QP＝3∶2，求动点P的轨迹方程．132COx3\uf070\uf071\uf03d1CA2CBABM1C2C1C4sin\uf072\uf071\uf03d(3,)6C\uf070【答案】（1）；（2）．请自己完成试卷第14页，总13页',)