极坐标与参数方程-题型归纳,极坐标与参数方程题型归纳

('1高考高频题型整理汇总——《极坐标与参数方程》除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及以下部分问题。（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离，算出d，在与半径比较。题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：，相切、相交：题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式，d是圆心到直线的距离2延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值：---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy\uf061\uf061\uf061\uf0ec\uf03d\uf0ef\uf0ed\uf03d\uf0ef\uf0ee为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224\uf072\uf071\uf070\uf02b\uf03d．（I）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（II）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标3Ⅰ）1C的普通方程为2213xy\uf02b\uf03d，2C的直角坐标方程为40xy\uf02b\uf02d\uf03d.（解说：C1：这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)\uf061\uf061（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）因为2C是直线，所以PQ的最小值即为P到2C的距离()d\uf061的最小值，3cossin4()2sin()232d\uf061\uf061\uf070\uf061\uf061\uf02b\uf02d\uf03d\uf03d\uf02b\uf02d.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当即当2()6kkZ\uf070\uf061\uf070\uf03d\uf02b\uf0ce时，()d\uf061取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为31(,)22.（三）直线参数方程的几何意义41.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0=；(2)PM=t0=；(3)AB=t2－t1；(4)PA·PB=t1·t2（5）（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：t是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即M0M=t.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：第三步：韦达定理：5第四步：选择公式代入计算。例如：已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求MA·MB的值．解(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，MA·MB＝t1t2＝18.（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。例如：（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x1﹣）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；Ⅱ（）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求AB．6Ⅰ∵解：（）曲线C1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+（y2﹣）2=7．∵曲线C2：（x1﹣）2+y2=1，∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x1﹣）2+y2=1，得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ1﹣）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．Ⅱ（）依题意设A（），B（），∵曲线C1的极坐标方程为ρ24ρsinθ3=0﹣﹣，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ22ρ3=0﹣﹣，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，∴AB=ρ1ρ﹣2=3﹣．（五）面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题2016•包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；7（2）点P是圆C△上任一点，求PAB面积的最小值．解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y3﹣）2=2，∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y3﹣）2=2．由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，即ρcosθρsinθ=2﹣﹣，即xy+2=0﹣，则直线l的直角坐标方程为xy+2=0﹣；Ⅱ（）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），∴AB==2，设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），∴P点到直线l的距离为d==，∴dmin==2，△则PAB面积的最小值是S=×2×2=4．极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换8φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，则曲线C的方程为（）A．B．C．D．4x2+9y2=1【解答】解：曲线C经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x′2+y′2=1②，①②把代入得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1．将4x2＋9y2＝36变形为＋＝1，比较系数得λ＝，μ＝．所以将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1．亦可利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为＋＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得3、（2015•春浮山县校级期中）曲线x2+y2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（）9A．25x2+9y2=1B．9x2+25y2=1C．25x+9y=1D．+=1【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x2+y2=1可得25（x′）2+9（y′）2=1，故选：A．二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标\uf028\uf029,xy极坐标\uf028\uf029,\uf072\uf071互化公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee\uf028\uf029222tan0xyyxx\uf072\uf071\uf0ec\uf03d\uf02b\uf0ef\uf0ed\uf03d\uf0b9\uf0ef\uf0ee已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A：直角坐标\uf028\uf029,xy化为极坐标\uf028\uf029,\uf072\uf071的步骤①运用\uf028\uf029222tan0xyyxx\uf072\uf071\uf0ec\uf03d\uf02b\uf0ef\uf0ed\uf03d\uf0b9\uf0ef\uf0ee10②在\uf05b\uf0290,2\uf070内由\uf028\uf029tan0yxx\uf071\uf03d\uf0b9求\uf071时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．B::极坐标\uf028\uf029,\uf072\uf071化为直角坐标\uf028\uf029,xy的步骤，运用cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即B：极坐标转化成直角坐标类型①：直接转化---直接利用公式转化例如：ρ(cosθ＋sinθ)＝1思路：第一步：去括号，ρcosθ＋ρsinθ＝1第二步：用公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee转化，即类型②：利用三角函数的两角和差公式，即思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整11理化简第二步：利用公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee转化例如：直线的极坐标方程是解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即第二步：第二步：利用公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee转化类型③：，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为12例如：(0)3\uf070\uf071\uf072\uf03d\uf03e思路：直接代入(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)三、曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换1.圆的极坐标转化成直角坐标类型一：详解：一般要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。所以两边同时乘以，即类型二：没有三角函数时，可以考虑两边同时平方2.圆的直角坐标转化成极坐标解题方法一：拆开--公式代入13解题方法二：代入-拆-合【强化理解】1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①将点M的极坐标化成直角坐标；②将点N的直角坐标(4，－4)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．【解答】解：①∵x＝4cosπ＝4cos＝4×＝－2，y＝4sinπ＝4sin＝2，∴点A的直角坐标是(－2，2)．②∵ρ＝＝8，tanθ＝＝－，θ∈[0，2π)，又点(4，－4)在第四象限，∴θ＝，∴对应的极坐标为．2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y2＝4x;②θ＝(ρ∈R)；③ρ2cos2θ＝4;④ρ＝．【解答】解：①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ．化简得ρsin2θ＝4cosθ．②当x≠0时，由于tanθ＝，故tan＝＝，化简得y＝x(x≠0)；当x＝0时，y＝0．显然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4．④因为ρ＝，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0．3．化极坐标方程ρ2cosθρ=0﹣为直角坐标方程为（）A．x2+y2=0或y=1B．x=1C．x2+y2=0或x=1D．y=1【解答】∵解：ρ2cosθρ=0﹣∴，ρcosθ1=0﹣或ρ=0∵，，∴x2+y2=0或x=1，故选C．144．将曲线ρcosθ+2ρsinθ1=0﹣的极坐标方程化为直角坐标方程为（）A．y+2x1=0﹣B．x+2y1=0﹣C．x2+2y21=0﹣D．2y2+x21=0﹣【解答】解：由曲线ρcosθ+2ρsinθ1=0﹣，及，可得x+2y1=0﹣．∴曲线ρcosθ+2ρsinθ1=0﹣的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y1=0﹣．故选：B．5、在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.，求圆O和直线l的直角坐标方程；【解答】解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.三、参数方程1.必记的曲线参数方程已知条件普通方程参数方程经过点P(x0，y0)，倾斜角为α(α为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r(θ为参数)长半轴a和短半轴b椭圆＋＝1(a＞b＞0)(θ为参数)15实轴a和虚轴b双曲线－＝1(a＞0，b＞0)(θ为参数)已知p抛物线y2＝2px(p＞0)2.参数方程与普通方程的转化（1）参数方程转化成普通方程类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。例如：曲线C：解：思路一：代入消元：∵x＝2＋t，∴t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边16化同：把三角函数前面的系数化成相同平方：两道式子左右同时平方相加：平方后的式子进行相加（注：有时候并不需要全部步骤）例如：圆消参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.解：移项：（三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）平方：相加：3.参数方程涉及题型（1）直线参数方程的几何意义（2）距离最值（点到点、曲线点到线、）【强化理解】1、直线l的参数方程为为参数）．写出直线l的直角坐标方程；17【解答】直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x1﹣）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）2、．将参数方程（θ为参数）化为普通方程为（）A．y=x2﹣B．y=x2﹣（0≤y≤1）C．y=x+2（﹣2≤x≤1﹣）D．y=x+2【解答】解：将参数方程（θ为参数）化为普通方程为：y=x+2，（﹣2≤x≤﹣1）．故选：C．',)