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极坐标与参数方程-题型归纳,极坐标与参数方程题型归纳

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极坐标与参数方程-题型归纳


('1高考高频题型整理汇总——《极坐标与参数方程》除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外,还涉及以下部分问题。(一)有关圆的题型题型一:圆与直线的位置关系(圆与直线的交点个数问题)----利用圆心到直线的距离与半径比较用圆心(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离,算出d,在与半径比较。题型二:圆上的点到直线的最值问题(不求该点坐标,如果求该点坐标请参照距离最值求法)思路:第一步:利用圆心(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离第二步:判断直线与圆的位置关系第三步:相离:代入公式:,相切、相交:题型三:直线与圆的弦长问题弦长公式,d是圆心到直线的距离2延伸:直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线、抛物线)的弦长问题(弦长:直线与曲线相交两点,这两点之间的距离就是弦长)弦长公式,解法参考“直线参数方程的几何意义”(二)距离的最值:---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”:设点---套公式--三角辅助角①设点:设点的坐标,点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式:利用点到线的距离公式③辅助角:利用三角函数辅助角公式进行化一例如:【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为3cos()sinxy\uf061\uf061\uf061\uf0ec\uf03d\uf0ef\uf0ed\uf03d\uf0ef\uf0ee为参数,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为sin()224\uf072\uf071\uf070\uf02b\uf03d.(I)写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程;(II)设点P在1C上,点Q在2C上,求PQ的最小值及此时P的直角坐标3Ⅰ)1C的普通方程为2213xy\uf02b\uf03d,2C的直角坐标方程为40xy\uf02b\uf02d\uf03d.(解说:C1:这里没有加减移项省去,直接化同,那系数除到左边(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos,sin)\uf061\uf061(解说:点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示)因为2C是直线,所以PQ的最小值即为P到2C的距离()d\uf061的最小值,3cossin4()2sin()232d\uf061\uf061\uf070\uf061\uf061\uf02b\uf02d\uf03d\uf03d\uf02b\uf02d.(欧萌说:利用点到直接的距离列式子,然后就是三角函数的辅助公式进行化一)当即当2()6kkZ\uf070\uf061\uf070\uf03d\uf02b\uf0ce时,()d\uf061取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为31(,)22.(三)直线参数方程的几何意义41.经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:(1)t0=;(2)PM=t0=;(3)AB=t2-t1;(4)PA·PB=t1·t2(5)(注:记住常见的形式,P是定点,A、B是直线与曲线的交点,P、A、B三点在直线上)【特别提醒】直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且其几何意义为:t是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即M0M=t.直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为,则弦长;2.解题思路第一步:曲线化成普通方程,直线化成参数方程第二步:将直线的参数方程代入曲线的普通方程,整理成关于t的一元二次方程:第三步:韦达定理:5第四步:选择公式代入计算。例如:已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求MA·MB的值.解(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.①将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②(2)将代入②式,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,MA·MB=t1t2=18.(四)一直线与两曲线分别相交,求交点间的距离思路:一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标,利用极径相减即可。例如:(2016•福建模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中α为参数),曲线C2:(x1﹣)2+y2=1,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.Ⅰ()求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;Ⅱ()若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求AB.6Ⅰ∵解:()曲线C1的参数方程为(其中α为参数),∴曲线C1的普通方程为x2+(y2﹣)2=7.∵曲线C2:(x1﹣)2+y2=1,∴把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x1﹣)2+y2=1,得到曲线C2的极坐标方程(ρcosθ1﹣)2+(ρsinθ)2=1,化简,得ρ=2cosθ.Ⅱ()依题意设A(),B(),∵曲线C1的极坐标方程为ρ24ρsinθ3=0﹣﹣,将(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ22ρ3=0﹣﹣,解得ρ1=3,同理,将(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程,得,∴AB=ρ1ρ﹣2=3﹣.(五)面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题2016•包头校级二模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为,(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为,A,B两点的极坐标分别为.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;7(2)点P是圆C△上任一点,求PAB面积的最小值.解:(1)由,化简得:,消去参数t,得(x+5)2+(y3﹣)2=2,∴圆C的普通方程为(x+5)2+(y3﹣)2=2.由ρcos(θ+)=﹣,化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣,即ρcosθρsinθ=2﹣﹣,即xy+2=0﹣,则直线l的直角坐标方程为xy+2=0﹣;Ⅱ()将A(2,),B(2,π)化为直角坐标为A(0,2),B(﹣2,0),∴AB==2,设P点的坐标为(﹣5+cost,3+sint),∴P点到直线l的距离为d==,∴dmin==2,△则PAB面积的最小值是S=×2×2=4.极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换8φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆(重点考察).【强化理解】1.曲线C经过伸缩变换后,对应曲线的方程为:x2+y2=1,则曲线C的方程为()A.B.C.D.4x2+9y2=1【解答】解:曲线C经过伸缩变换①后,对应曲线的方程为:x′2+y′2=1②,①②把代入得到:故选:A2、在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线4x2+9y2=36变成曲线x′2+y′2=1.【解答】解:设变换为φ:可将其代入x′2+y′2=1,得λ2x2+μ2y2=1.将4x2+9y2=36变形为+=1,比较系数得λ=,μ=.所以将椭圆4x2+9y2=36上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的,可得到圆x′2+y′2=1.亦可利用配凑法将4x2+9y2=36化为+=1,与x′2+y′2=1对应项比较即可得3、(2015•春浮山县校级期中)曲线x2+y2=1经过伸缩变换后,变成的曲线方程是()9A.25x2+9y2=1B.9x2+25y2=1C.25x+9y=1D.+=1【解答】解:由伸缩变换,化为,代入曲线x2+y2=1可得25(x′)2+9(y′)2=1,故选:A.二、极坐标1.公式:(1)极坐标与直角坐标的互化公式如下表:点M直角坐标\uf028\uf029,xy极坐标\uf028\uf029,\uf072\uf071互化公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee\uf028\uf029222tan0xyyxx\uf072\uf071\uf0ec\uf03d\uf02b\uf0ef\uf0ed\uf03d\uf0b9\uf0ef\uf0ee已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转化(1)点:有关点的极坐标与直角转化的思路A:直角坐标\uf028\uf029,xy化为极坐标\uf028\uf029,\uf072\uf071的步骤①运用\uf028\uf029222tan0xyyxx\uf072\uf071\uf0ec\uf03d\uf02b\uf0ef\uf0ed\uf03d\uf0b9\uf0ef\uf0ee10②在\uf05b\uf0290,2\uf070内由\uf028\uf029tan0yxx\uf071\uf03d\uf0b9求\uf071时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.B::极坐标\uf028\uf029,\uf072\uf071化为直角坐标\uf028\uf029,xy的步骤,运用cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee(2)直线:直线的极坐标与直角坐标转化的思路A:直角坐标转化成极坐标思路:直接利用公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee,将式子里面的x和y用转化,最后整理化简即可。例如:x+3y-2=0:用公式将x和y转化,即B:极坐标转化成直角坐标类型①:直接转化---直接利用公式转化例如:ρ(cosθ+sinθ)=1思路:第一步:去括号,ρcosθ+ρsinθ=1第二步:用公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee转化,即类型②:利用三角函数的两角和差公式,即思路:第一步:利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开,特殊角的正余弦值化成数字,整11理化简第二步:利用公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee转化例如:直线的极坐标方程是解:第一步:利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字,整理化简,即第二步:第二步:利用公式cossinxy\uf072\uf071\uf072\uf071\uf03d\uf0ec\uf0ed\uf03d\uf0ee转化类型③:,该直线经过原点(极点),对应的直角坐标方程为12例如:(0)3\uf070\uf071\uf072\uf03d\uf03e思路:直接代入(注:直线的直角坐标方程一般要求写成一般式:Ax+By+C=0)三、曲线极坐标与直角坐标互换(一)圆的直角与极坐标互换1.圆的极坐标转化成直角坐标类型一:详解:一般要转化成x、y都需要跟搭配,一对一搭配。所以两边同时乘以,即类型二:没有三角函数时,可以考虑两边同时平方2.圆的直角坐标转化成极坐标解题方法一:拆开--公式代入13解题方法二:代入-拆-合【强化理解】1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化.①将点M的极坐标化成直角坐标;②将点N的直角坐标(4,-4)化成极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【解答】解:①∵x=4cosπ=4cos=4×=-2,y=4sinπ=4sin=2,∴点A的直角坐标是(-2,2).②∵ρ==8,tanθ==-,θ∈[0,2π),又点(4,-4)在第四象限,∴θ=,∴对应的极坐标为.2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.①y2=4x;②θ=(ρ∈R);③ρ2cos2θ=4;④ρ=.【解答】解:①将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x,得(ρsinθ)2=4ρcosθ.化简得ρsin2θ=4cosθ.②当x≠0时,由于tanθ=,故tan==,化简得y=x(x≠0);当x=0时,y=0.显然(0,0)在y=x上,故θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x.③因为ρ2cos2θ=4,所以ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.④因为ρ=,所以2ρ-ρcosθ=1,因此2-x=1,化简得3x2+4y2-2x-1=0.3.化极坐标方程ρ2cosθρ=0﹣为直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1【解答】∵解:ρ2cosθρ=0﹣∴,ρcosθ1=0﹣或ρ=0∵,,∴x2+y2=0或x=1,故选C.144.将曲线ρcosθ+2ρsinθ1=0﹣的极坐标方程化为直角坐标方程为()A.y+2x1=0﹣B.x+2y1=0﹣C.x2+2y21=0﹣D.2y2+x21=0﹣【解答】解:由曲线ρcosθ+2ρsinθ1=0﹣,及,可得x+2y1=0﹣.∴曲线ρcosθ+2ρsinθ1=0﹣的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y1=0﹣.故选:B.5、在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin=.,求圆O和直线l的直角坐标方程;【解答】解:(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0,直线l:ρsin=,即ρsinθ-ρcosθ=1,则直线l的直角坐标方程为:y-x=1,即x-y+1=0.三、参数方程1.必记的曲线参数方程已知条件普通方程参数方程经过点P(x0,y0),倾斜角为α(α为参数)圆心在点M0(x0,y0),半径为r(θ为参数)长半轴a和短半轴b椭圆+=1(a>b>0)(θ为参数)15实轴a和虚轴b双曲线-=1(a>0,b>0)(θ为参数)已知p抛物线y2=2px(p>0)2.参数方程与普通方程的转化(1)参数方程转化成普通方程类型一:含t的消参思路:含有t的参数方程消参时,想办法把参数t消掉就可以啦,有两个思路:思路一:代入消元法,把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y),思路二:加减消元:让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。例如:曲线C:解:思路一:代入消元:∵x=2+t,∴t=x-2,代入y=1+t,得y=x-1,即x-y-1=0.思路二:加减消元:两式相减,x-y-1=0.类型二:含三角函数的消参思路:三角函数类型的消参一般的步骤就是:移项-化同-平方-相加移项:把除了三角函数的其他相加减数字移动左边16化同:把三角函数前面的系数化成相同平方:两道式子左右同时平方相加:平方后的式子进行相加(注:有时候并不需要全部步骤)例如:圆消参数θ,化为普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1.解:移项:(三角函数前面系数已经相同,省去化同,直接平方)平方:相加:3.参数方程涉及题型(1)直线参数方程的几何意义(2)距离最值(点到点、曲线点到线、)【强化理解】1、直线l的参数方程为为参数).写出直线l的直角坐标方程;17【解答】直线l的参数方程为为参数).由上式化简成t=2(x1﹣)代入下式得根据ρ2=x2+y2,进行化简得C:x2+y2=1(2分)2、.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为()A.y=x2﹣B.y=x2﹣(0≤y≤1)C.y=x+2(﹣2≤x≤1﹣)D.y=x+2【解答】解:将参数方程(θ为参数)化为普通方程为:y=x+2,(﹣2≤x≤﹣1).故选:C.',)


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