纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡

('纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡简单来说，纯策略纳什均衡指的是，参与人选择的策略是确定的。比如，在性别之战中，我们通过每个参与人的最优反应确定了该博弈的两种纯策略，即（拳击，拳击）和（芭蕾，芭蕾）。在纯策略纳什均衡的情况下，我们只能知道具体的纳什均衡下每个参与人的收益，并无法求得参与人进行该博弈的整个的期望收益。（暂且称为期望收益吧），因为在参与人做选择时，并不知道对方会做出什么样的选择。假设我们自己为参与人1，我们就会开始想，现在我也不知道对方（参与人2）会做什么样的选择，我先假设他选择芭蕾的概率为p吧，那么他选择拳击的概率就是1-p，那么这个时候，我们自己在两种策略下的收益为，我们就会选择芭蕾，如果我们就会选择拳击。我们可以画出参与人1的最优反应曲线E1是双方都百分百选择拳击，E2是双方都百分百选择芭蕾，也就是我们之前求出的纯策略纳什均衡，而E3就是我们要算的混合策略纳什均衡。在该点U1=4/3由于博弈是对称的，U2=4/3由于参与人1在（拳击，拳击）时的收益1比选择（芭蕾，芭蕾）时的E3的收益4/3低，所以参与人1是肯定不会百分百选择E1作为均衡点的，同理，参与人2也不会百分百选择E2作为均衡点。既然参与人都可以自主选择自己的概率，那么只有在混合策略纳什均衡点E3这一个均衡。即参与人1分别以2/3和1/3的概率选择芭蕾和拳击，参与人2以1/3和2/3的概率选择芭蕾和拳击。所以在这个博弈里，只有一个混合策略纳什均衡，也就是E3点所代表的均衡。只要偏离这个点的概率，那么博弈的结果就会变为E1或者E2，这时总会有一个参与人不愿选择这样的结果，博弈无法达到均衡。所以最终寻找这个严格混合策略纳什均衡点的过程可以陈述为，给定其他参与人的混合策略，目标参与人在可行行动中的任意随机选择都是无差异的。即令2p=1-p，q=2（1-q），这就是寻找混合策略纳什均衡的解题方式。也可以通过同时假设两个参与人的概率，写出每个参与人在假设概率下的效用，通过让双方同时效用最大化求解。但直接使用上面说的结论会比较简单。最后总结一下，在纯策略纳什均衡时，有两个纳什均衡，但博弈会达到哪个结果并不确定，而参与人总归是要选择一个策略的，在选择策略时，自己选择策略的概率是可以由自己确定的，所以我们有了混合策略纳什均衡。会有一定的预测作用，因为如果性别之战是一个长期重复的博弈，你的之前的选择总会观测到，最终对方也会根据你的习惯选择自己的策略，比如经常比赛的足球队就可以观测到对方球队的数据，并因此做出自己的最优选择，为了使自己的收益最大化，我们必须选择一个概率，让对方随机选择策略。虽然并不知道题主的硬币正反是一个什么样的问题，但混合策略纳什均衡的原理是一样的。',)