第36课时-轴对称与中心对称,轴对称和中心对称的概念

首页课件目录末页第二部分图形与几何第十二章图形变换思维导图考点管理中考再现课时作业归类探究第36课时轴对称与中心对称首页课件目录末页思维导图首页课件目录末页考点管理1．轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成，这条直线叫做，折叠后重合的点叫做．轴对称对称轴对称点首页课件目录末页性质：(1)对应点的连线被对称轴；(2)对应线段，对应角；(3)对应线段(或延长线)的交点在上；(4)成轴对称的两个图形是全等图形．垂直平分相等相等对称轴首页课件目录末页注意：(1)成轴对称的图形是处于特殊相对位置的两个全等图形，∴两个图形全等不一定成轴对称；(2)如果两个图形的对应点的连线都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线是它们的对称轴．首页课件目录末页2．轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做，这条直线就是它的．注意：(1)轴对称图形是对一个图形而言的，是指一个具有特殊形状的图形，而轴对称是对两个图形而言的，要注意它们的区别；(2)轴对称的所有性质都适用于轴对称图形．轴对称图形对称轴首页课件目录末页坐标规律：(1)关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P(x，y)关于x轴对称的点P′的坐标为；(2)关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P(x，y)关于y轴对称的点P′的坐标为；(3)点P(x，y)关于直线x＝m的对称点P′的坐标为P′(2m－x，y)；(4)点P(x，y)关于直线y＝n的对称点P′的坐标为P′(x,2n－y)．P′(x，－y)P′(－x，y)首页课件目录末页3．中心对称与中心对称图形定义：(1)中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成，这个点叫做，旋转前后重合的对应点叫做关于对称中心的；(2)中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做，这个点叫做．中心对称对称中心对称点中心对称图形对称中心首页课件目录末页性质：(1)关于某点成中心对称的两个图形是全等图形；(2)关于某点成中心对称的两个图形，它们的对称点的连线都经过，并且被对称中心所．坐标规律：在平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点P′的坐标为P′(－x，－y)．对称中心平分首页课件目录末页中考再现1．[2019·衡阳]下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()D首页课件目录末页【解析】判断是否是中心对称图形，关键要确定对称中心；判断是否是轴对称图形，关键要确定对称轴．根据中心对称图形的定义，D图形是中心对称图形，根据轴对称图形的定义，得图形A，B，C，D都是轴对称图形，∴既是轴对称图形是中心对称图形的是D.故选D.首页课件目录末页2．[2019·怀化]怀化市是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()C首页课件目录末页【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形．选项错误；B．是轴对称图形，不是中心对称图形．选项错误；C．是轴对称图形，也是中心对称图形．选项正确；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．选项错误．故选C.首页课件目录末页3．[2019·永州]改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是()B【解析】把选项B中图形沿正中间竖直的一条直线折叠后能完全重合，∴选项B是轴对称图形．故选B.首页课件目录末页4．[2019·邵阳]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于()BA．120°B.108°C．72°D.36°首页课件目录末页【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，∴∠C＝90°－∠B＝54°.∵AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝72°.∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠ADF＝∠ADC＝72°，∴∠BED＝∠BAD＋∠ADF＝36°＋72°＝108°.故选B.首页课件目录末页归类探究类型之一轴对称与轴对称图形[2019·绵阳]对如图的对称性表述，正确的是()BA．轴对称图形B．中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形【解析】如图所示，是中心对称图形．故选B.首页课件目录末页1．[2019·郴州]如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()C首页课件目录末页【解析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可解答本题．选项A，中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；选项B，中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；选项C，中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；选项D，中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选C.首页课件目录末页2．[2019·河北]如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为()A．10B.6C．3D.2C首页课件目录末页【解析】如答图所示．故选C.【点悟】判断图形是不是轴对称图形，就是看沿着某一条直线对折后两边是不是能重合，能重合就是轴对称图形．首页课件目录末页类型之二图形折叠与轴对称[2019·南充]如图，正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合，以下结论错误的是()DA．AH2＝10＋25B.CDBC＝5－12C．BC2＝CD·EHD.sin∠AHD＝5＋15首页课件目录末页【解析】在Rt△AEB中，AB＝AE2＋BE2＝22＋12＝5.由翻折及平行四边形的性质得HB＝AB＝5，∴HE＝5＋1.在Rt△AEH中，AH2＝AE2＋EH2＝22＋(5＋1)2＝10＋25.选项A正确，不符合题意；首页课件目录末页∵AB∥DH，BH∥AD，∴四边形ABHD是平行四边形．∵AB＝BH，∴四边形ABHD是菱形，∴AD＝AB＝5，∴CD＝AD－AC＝5－1，∴CDBC＝5－12.选项B正确，不符合题意；首页课件目录末页∵BC2＝4，CD·EH＝(5－1)(5＋1)＝4，∴BC2＝CD·EH.选项C正确，不符合题意；∵四边形ABHD是菱形，∴∠AHD＝∠AHB，∴sin∠AHD＝sin∠AHB＝AEAH＝222＋5＋12≠5＋15.选项D错误，符合题意．故选D.首页课件目录末页3．[2019·金华]将一张正方形纸片按如图步骤折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，则FMGF的值是()A.5－22B.2－1C．12D.22A首页课件目录末页【解析】如答图，连接EG，FH交于点O，由折叠得△OGF是等腰直角三角形．变式跟进3答图OF＝22GF.∵正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，∴(OF＋FM)2＝GF2＋14GF2＝54GF2，首页课件目录末页∴22GF＋FM＝52GF，∴FM＝52GF－22GF，∴FMGF＝5－22.故选A.首页课件目录末页4．[2019·长春]如图①，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF，如图②；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，如图③，则△GCF的周长为4＋22.①②③首页课件目录末页【解析】如图③由折叠的性质可知∠A＝45°，AD＝DF，∴FC＝2，∠AFC＝45°，∴CG＝2，∴FG＝22，∴△GCF的周长为4＋22.首页课件目录末页5．[2019·杭州]如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，点A的对称点为点A′，点D的对称点为点D′，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于.10＋65首页课件目录末页【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC.设AB＝CD＝x.由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x.∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H.设D′H＝a，则A′E＝4a.首页课件目录末页易得△A′EP∽△D′PH，∴D′HA′P＝PD′EA′，∴ax＝x4a，∴x2＝4a2，∴x＝2a或－2a(舍去)，∴PA′＝PD′＝2a.首页课件目录末页∵12·a·2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝22＋42＝25，PH＝12＋22＝5，∴AD＝4＋25＋5＋1＝5＋35，∴矩形ABCD的面积为10＋65.首页课件目录末页6．[2019·甘肃]如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则CE的长为.103首页课件目录末页【解析】设CE＝x，则BE＝6－x.由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10.在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB－AF＝10－8＝2.首页课件目录末页在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2，即(6－x)2＋22＝x2，解得x＝103.故答案为103.【点悟】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置发生变化，对应边和对应角相等．首页课件目录末页类型之三利用轴对称解决最短线路问题[2018·滨州]如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3.若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是()A.362B.332C．6D.3D首页课件目录末页【解析】如答图，分别以OB，OA为对称轴作点P的对称点P1，P2，连接P1P2，分别交射线OA，OB于点M，N，则此时△PMN的周长有最小值，C△PMN＝PM＋PN＋MN＝P1N＋P2M＋MN.根据对称的性质可知，OP1＝OP2＝OP＝3，∠P1OP2＝120°，∠OP1M＝30°，过点O作MN的垂线，垂足为点Q.在△OP1Q中，易得P1Q＝32，∴P1P2＝2P1Q＝3.故△PMN周长的最小值为3.故选D.首页课件目录末页7．[2019·原创]如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一个动点，点N(3,0)是OB上的一个定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，则点P的坐标为.32，32首页课件目录末页【解析】如答图，作点N关于OA的对称点N′，连接N′M，交OA于点P，此时PM＋PN最小．∵OA垂直平分NN′，∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AOB＝60°.∴△NON′是等边三角形．∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON.首页课件目录末页∵N(3,0)，∴ON＝3.∴OM＝32.∵∠POM＝30°，∴PM＝32.∴点P的坐标为32，32.首页课件目录末页8．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点．若P为对角线BD上的一个动点，则EP＋AP的最小值为.23首页课件目录末页【解析】如答图，过点C作CE′⊥AB于点E′，交BD于点P′，连接AC，AP′.∵菱形ABCD的周长为16，面积为83，∴AB＝BC＝4，AB·CE′＝83.∴CE′＝23.∴在Rt△BCE′中，BE′＝42－232＝2.∵E为AB的中点，∴点E与点E′重合．∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC.∴点A，C关于BD对称．AP′＝CP′.∴当点P与点P′重合时，EP＋AP的值最小，最小值为CE的长，为23.首页课件目录末页9．[2019·原创]如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为.6首页课件目录末页【解析】设点P在BE与AC的交点处，连接BD，如答图．∵点B与点D关于AC对称，∴PD＝PB.∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，首页课件目录末页即点P在AC与BE的交点上时，PD＋PE的值最小，这个最小值为BE的长度．∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求的最小值为6.首页课件目录末页10．如图，已知点C(1,0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是.10首页课件目录末页【解析】如答图，点C关于OA的对称点的坐标为C′(－1,0)，点C关于直线AB的对称点的坐标为C″(7,6)．连接C′C″，与AO交于点E，与AB交于点D，此时△CDE的周长最小，最小值为DE＋EC＋CD＝EC′＋ED＋DC″＝C′C″＝82＋62＝10.首页课件目录末页【点悟】有关几条线段的和最短的问题，一般都是把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决．首页课件目录末页课时作业(70分)一、选择题(每题6分，共30分)1．[2019·烟台]下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()C首页课件目录末页【解析】选项A是中心对称图形不是轴对称图形，选项B是轴对称图形不是中心对称图形，选项C既是中心对称图形又是轴对称图形，选项D是轴对称图形不是中心对称图形．故选C.首页课件目录末页2．[2018·舟山]将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是()A首页课件目录末页【解析】把剪后的图形展开，本质是作出它的轴对称图形，如答图．第2题答图故选A.首页课件目录末页3．[2018·天津]如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是()A．AD＝BDB.AE＝ACC．ED＋EB＝DBD.AE＋CB＝ABD【解析】由折叠前后的不变性，可知CB＝EB，∴AE＋CB＝AE＋EB＝AB.故选D.首页课件目录末页4．[2018·吉林]如图，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为MN.若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为()A．12B.13C．14D.15A首页课件目录末页【解析】∵D为BC的中点，且BC＝6，∴BD＝12BC＝3.由折叠的性质知NA＝ND，∴C△DNB＝ND＋NB＋BD＝NA＋NB＋BD＝AB＋BD＝9＋3＝12.故选A.首页课件目录末页5．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P，E分别在AC，AD上，则PE＋PD的最小值是()A．2B.23C．4D.833B首页课件目录末页【解析】如答图，作点D关于直线AC的对称点D′，过点D′作D′E⊥AD于点E，交AC于点P，则D′E＝PE＋PD′＝PE＋PD，此时PE＋PD最小．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°.∵AD＝4，∠DAC＝30°，∴CD＝433.∵DD′⊥AC，∴∠CDD′＝30°.∴∠ADD′＝60°.∴DD′＝2CD·cos30°＝2×433×32＝4.首页课件目录末页∴DE＝2，∴D′E＝DD′·sin60°，∴D′E＝23.故选B.首页课件目录末页二、填空题(每题6分，共30分)6．[2019·烟台]小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数是.45°【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到∠AOB的度数是45°.首页课件目录末页7．[2018·贵港]如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M.若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为.70°首页课件目录末页【解析】由折叠，得∠B＝∠B′＝∠B′MD＋∠B′EA＝90°，∴∠B′EA＝90°－50°＝40°.∴∠B′EB＝180°－∠B′EA＝140°.又∵∠B′EF＝∠BEF，∴∠BEF＝12∠B′EB＝70°.首页课件目录末页8．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为.12首页课件目录末页【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积为12×6×8＝24.∵点O是菱形两条对角线的交点，∴S阴影＝12×24＝12.首页课件目录末页9．[2019·吉林]如图，在四边形ABCD中，AB＝10，BD⊥AD，若将△BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为.20首页课件目录末页【解析】∵BD⊥AD，E为AB的中点，∴BE＝DE＝12AB＝5.由折叠性质，得BC＝BE＝5，CD＝DE＝5，∴四边形BCDE的周长为5＋5＋5＋5＝20.首页课件目录末页10．[2017·广东]如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3.先按图②操作，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图③操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A，H两点间的距离为.10首页课件目录末页【解析】如答图，连接AH.由题意可知，在Rt△AEH中，AE＝AD＝BC＝3，EH＝EF－HF＝3－(5－3)＝1，∴AH＝32＋12＝10.首页课件目录末页三、解答题(共10分)11．(10分)[2019·宁波]图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中都有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；(图①中作答，画一种即可)(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．(图②中作答，画一种即可)首页课件目录末页解：(1)如答图①，任选其一即可．第11题答图①首页课件目录末页(2)如答图②，任选其一即可．第11题答图②首页课件目录末页(20分)12．(10分)[2017·宁夏]如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．首页课件目录末页证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.∵△ADC是由△ABC翻折得到的，∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.∴∠DAM＝∠AMD.∴DA＝DM＝AB＝BM.∴四边形ABMD是菱形．首页课件目录末页13．(10分)[2019·徐州]如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.求证：(1)∠ECB＝∠FCG；(2)△ECB≌△FGC.首页课件目录末页证明：(1)由折叠可知：∠DAE＝∠GCE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAE＝∠DCB，∴∠DCB＝∠GCE.∴∠DCB－∠FCE＝∠GCE－∠FCE，即∠ECB＝∠FCG.首页课件目录末页(2)由折叠可知：∠D＝∠G，AD＝CG，在▱ABCD中，可得∠B＝∠D，AD＝BC，∴BC＝GC，∠ECB＝∠FCG，∠B＝∠G.∴△EBC≌△FGC(ASA)．首页课件目录末页(10分)14．(10分)[2019·郴州]如图①，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与点A，B重合)，把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交边DC于点F，再把∠BEH折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交边BC于点H.首页课件目录末页(1)求证：△A1DE∽△B1EH；(2)如图②，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；(3)如图③，在(2)的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．首页课件目录末页(1)证明：由于△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，∴∠AED＝∠A1ED.再把∠BEH折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交边BC于点H.∴∠BEH＝∠FEH，又∵∠AED＋∠A1ED＋∠BEH＋∠FEH＝180°，∴∠A1ED＋∠FEH＝90°.首页课件目录末页∵四边形ABCD是矩形，∴∠EDA1＋∠A1ED＝180°－90°＝90°，∴∠EDA1＝∠FEH，即∠EDA1＝∠HEB1.又∵∠DAE＝∠DA1E＝∠HBE＝∠HB1E＝90°，∴△A1DE∽△B1EH.首页课件目录末页(2)解：△DEF是等边三角形，理由如下：∵MN是矩形的对称轴，点A1恰好落在直线MN上，∴EA1A1F＝1，即EA1＝A1F，又∵∠DA1E＝90°，∴DA1是EF的垂直平分线，∴DE＝DF，∠EDA1＝∠FDA1，即△DEF是等腰三角形．首页课件目录末页∵△A1DE是△ADE沿DE翻折得到的，∴∠ADE＝∠A1DE＝∠A1DF＝13∠ADC＝30°，∴∠EDF＝60°，即△DEF是等边三角形．首页课件目录末页(3)解：如答图，将△EDG绕点E逆时针旋转60°，从而旋转后的ED将会和EF重合，同时点G落在了点G1的位置．第14题答图由于△EFG1是由△EDG旋转得到的，因此FG1＝DG，EG＝EG1，∠GEG1＝60°.∴△EGG1为等边三角形，∴GG1＝EG，∴△GFG1的三边长事实上分别等于GF，GD，GE.首页课件目录末页又∵∠GFG1＝∠G1FE＋∠GFE＝∠GDE＋∠GFE＝(60°－∠GDF)＋(60°－∠GFD)＝120°－(∠GDF＋∠GFD)＝120°－(180°－∠DGF)＝120°－(180°－150°)＝90°，∴△GFG1是直角三角形，GF2＋G1F2＝GG21，即DG2＋GF2＝GE2.