(完整版)双曲线及其标准方程详解

('2．2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于F1F2”，那么“常数等于F1F2”，“常数大于F1F2”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示(1)若“常数等于F1F2”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于F1F2”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2想一想：如何判断方程－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点的位置？提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a，当2aF1F2时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足PF1－PF2＝2a，则点P在右支上；若点P满足PF2－PF1＝2a，则点P在左支上．(3)双曲线定义的表达式是＝2a(0<2ab>0，而双曲线中a、b大小则不确定．(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方1程为Ax2＋By2＝1(AB<0)或进行分类讨论.题型一求双曲线的标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P，Q；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．[思路探索]由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或＋＝1(mn<0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(0<λ<6)．解(1)法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P、Q两点坐标代入可得解之得所以双曲线的标准方程为－＝1.法二设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．∵P、Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一依题意，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题设有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.法二∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．解(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝－＝13－5＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.2.若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则PF1·PF2的值为()A．m－aB．m－bC．m2－a2D．－A解析：设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得PF1＋PF2＝2．由双曲线定义得PF1－PF2＝2．∴PF1＝＋，PF2＝－．∴PF1·PF2＝m－a．题型二双曲线定义的应用2【例2】如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．[思路探索](1)由双曲线的定义，得MF1－MF2＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5.(1)由双曲线的定义，得MF1－MF2＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则16－x＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.(2)将PF2－PF1＝2a＝6，两边平方，得PF12＋PF22－2PF1·PF2＝36，∴PF12＋PF22＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据PF1－PF2＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件PF1－PF2＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求ON的大小(O为坐标原点)．1．解：连接ON，ON是△PF1F2的中位线，所以ON＝PF2．因为PF1－PF2＝8，PF1＝10，所以PF2＝2或18，ON＝PF2＝1或9．2．设P为双曲线－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．解：由方程－＝1，得a＝4，b＝3，故c＝＝5，所以F1F2＝2c＝10．又由双曲线的定义，得PF1－PF2＝8，两边平方，得PF12＋PF22－2PF1PF2＝64．①在△PF1F2中，由余弦定理，得F1F22＝PF12＋PF22－2PF1PF2cos60°，即PF12＋PF22－PF1PF2＝100．②3①－②，得PF1PF2＝36，所以＝PF1PF2sin60°＝×36×＝9．3.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理，得PF1－PF2＝±6，F1F22＝PF12＋PF22－2PF1PF2cos60°，所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，所以PF1·PF2＝64，∴S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝×64×＝16.误区警示忽略双曲线焦点位置致误【示例】方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________．[错解]由解得－33.∴m的取值范围是{m－33}．答案{m－33}方程＋＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m、n应满足m>n>0或n>m>0，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m、n应满足mn<0，当m>0，n<0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.当堂检测1．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足PF1－PF2＝6，则动点P的轨迹方程是()A．(x≤－4)B．(x≤－3)C．(x≥4)D．(x≥3)答案：D解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，∴所求轨迹方程为(x≥3)．2．已知双曲线为，则此双曲线的焦距为()A．B．C．D．答案：D解析：由已知λ＜0，a2＝2，b2＝－λ，c2＝2－λ，∴焦距．3．已知双曲线上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为()A．7B．23C．5或25D．7或23答案：D解析：设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：PF1－PF2＝2a＝8，而PF2＝15，解得PF1＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，顶点B在双曲线4的左支上，则＝______．答案：解析：如图，．5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4解析：设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)．把x＝3代入双曲线方程得y＝±，即M点的坐标为(3，±)．由两点间距离公式得MF＝＝4．5',)