数列的概念经典例题百度文库

('一、数列的概念选择题1．设表示的个位数字，则数列的第38项至第69项之和（）A．180B．160C．150D．1402．已知数列满足，，且，则数列的前项和为（）A．B．C．D．3．已知数列的前项和，则（）A．35B．40C．45D．504．数列满足，则数列的前48项和为（）A．1006B．1176C．1228D．23685．已知数列，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，，则数列的前2020项和为（）A．5B．C．0D．6．数列满足，，则的值为（）A．1B．-1C．D．7．已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知等差数列中，，则（）A．B．C．D．9．已知数列中，，且对，总有，则（）A．1B．3C．2D．10．已知数列中，，，则等于（）A．B．C．D．11．在数列中，已知，，且，则()A．-6B．6C．-3D．312．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即，当n≥3时，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则的值为（）A．24B．26C．28D．3013．已知在数列中，，则的值为（）A．B．C．D．14．数列满足，则的值为（）A．B．C．D．15．已知数列满足，且，则该数列前2016项的和为（）A．2015B．2016C．1512D．16．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列，则b2020=（）A．3B．2C．1D．017．数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．18．在数列中，，，则（）A．B．C．D．19．已知数列满足，且，则的最小值为（）A．21B．10C．D．20．数列的前项和记为，，，，则（）A．2016B．2017C．2018D．2019二、多选题21．已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．22．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再将扇形面积设为bn(n∈N)，则（）A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝023．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记Sn为数列的前n项和，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．24．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A．B．C．D．25．(多选题)已知数列中，前n项和为，且，则的值不可能为（）A．2B．5C．3D．426．在等差数列中，公差，前项和为，则（）A．B．，，则C．若，则中的最大值是D．若，则27．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（）A．若，则，；B．若，则使的最大的n为15；C．若，，则中最大；D．若，则.28．已知数列的前项和为，前项积为，且，则（）A．当数列为等差数列时，B．当数列为等差数列时，C．当数列为等比数列时，D．当数列为等比数列时，29．等差数列的首项，设其前项和为，且，则（）A．B．C．D．的最大值是或者30．下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（）.A．数列是递增数列B．数列是递增数列C．数列是递增数列D．数列是递增数列31．在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（）A．（，为常数，）；B．（为常数，）；C．；D．的前项和（）.32．已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（）.A．B．最小C．D．33．已知数列是递增的等差数列，，．，数列的前项和为，下列结论正确的是（）A．B．C．当时，取最小值D．当时，取最小值34．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（）A．B．C．D．35．等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【参考答案】试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题1．B解析：B【分析】根据题意可得为的个位数为的个位数，而的个位是以为周期，的个位数是以为周期，即可求和.【详解】由为的个位数，可得为的个位数，而的个位是以为周期，的个位数是以为周期，所以的个位数是以为周期，即的个位数是以为周期，第38项至第69项共32项，共8个周期，所以.故选：B2．B解析：B【分析】将题干中的等式化简变形得，利用累乘法可求得数列的通项公式，由此计算出，进而可得出数列的前项和.【详解】，将此等式变形得，由累乘法得，，，，因此，数列的前项和为.故选：B.【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．A解析：A【分析】利用，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】,时，时满足，故选：A.【点睛】本题考查利用与的关系求通项.已知求的三个步骤:(1)先利用求出.(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．．4．B解析：B【分析】根据题意，可知，分别列出各项，再整理得出，，，，，，，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组求和法，即可求出的前48项和.【详解】解：由题可知，，即：，则有：，，，，，，，，，，.所以，，，，，，，，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，设数列的前48项和为，则，，所以数列的前48项和为：1176.故选：B.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.5．B解析：B【分析】根据数列的递推关系可求得数的周期为，即可求得数列的前2020项和.【详解】，且，，是以为周期的周期数列，且，，故选：B.【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.6．B解析：B【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项.【详解】因为，，所以，故选：B.【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.7．D解析：D【分析】根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为对任意的都有，则数列单调递增；又，所以只需，即，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.8．B解析：B【分析】利用等差数列的通项公式代入可得的值.【详解】由，得，则有.故选：B.【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.9．C解析：C【分析】根据数列的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得的值.【详解】数列中,,且对,总有当时,当时,当时,当时,当时,当时,由以上可知,数列为周期数列,周期为而所以故选:C【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．B解析：B【分析】根据数列的递推公式逐项可计算出的值.【详解】在数列中，，，则，，，.故选：B.【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.11．C解析：C【分析】根据题设条件，得到数列是以6项为周期的数列，其中，再由，即可求解.【详解】由题意，数列中，，，且，可得，可得数列是以6项为周期的数列，其中，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．B解析：B【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解.【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则，故选：B.13．C解析：C【分析】由累乘法可求得，即可求出.【详解】，即，，.故选：C.14．C解析：C【分析】根据条件依次算出、、、即可.【详解】因为，所以，，，故选：C15．C解析：C【分析】通过计算出数列的前几项确定数列是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论．【详解】依题意，，，，从而数列是以2为周期的周期数列，于是所求值为，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.16．A解析：A【分析】根据条件得出数列的周期即可.【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b2020=b4=3，故选：A17．C解析：C【分析】根据选项进行逐一验证，可得答案.【详解】选项A.,当时，无意义.所以A不正确.选项B.,当时，，故B不正确.选项C.，，，所以满足.故C正确.选项D.,当时,,故D不正确.故选：C18．C解析：C【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得的值.【详解】，，，.故选：C.【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.19．C解析：C【分析】由累加法求出，所以，设，由此能导出或时有最小值，借此能得到的最小值.【详解】解：所以设，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递减，又因为，所以当或时可能取到最小值.又因为，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.20．A解析：A【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列是周期为6的数列，且，进而可得，计算即可得答案．【详解】解：因为，，，则，，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为6，因为，所以．故选：A．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．二、多选题21．BCD【分析】根据题意写出，，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．【详解】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；对C，由，，解析：BCD【分析】根据题意写出，，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．【详解】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；对C，由，，，…，，可得，故C正确；对D，该数列总有，，则，，…，，，，故，故D正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD的判断，即要善于利用对所给式子进行变形.22．ABD【分析】对于A，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3解析：ABD【分析】对于A，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，然后累加求解；对于D，由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化简可得结果【详解】由题意得bn＝an2，则4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，则选项A正确；又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，则选项B正确；数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，则a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，则选项C错误；由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，则选项D正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题23．ABD【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确.【详解】依题意可知，，，，，，，，故正确；，所以，故正确；由，，，，，，可得，故不解析：ABD【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确.【详解】依题意可知，，，，，，，，故正确；，所以，故正确；由，，，，，，可得，故不正确；，，，，，，所以，所以，故正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.24．BD【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设解析：BD【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.25．BD【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵，∴时，，化为：，由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD．【点睛】本解析：BD【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵，∴时，，化为：，由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．AD【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和，进而可得，由此可知，故不正确；对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及解析：AD【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和，进而可得，由此可知，故不正确；对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及，根据数列为等差数列可求得.【详解】对于，因为，且，所以，所以，故正确；对于，因为，，所以，即，，即，因为，所以，所以，即，故不正确；对于，因为，所以，所以，即，当时，等差数列递增，则，所以中的最小值是，无最大值；当时，等差数列递减，则，所以中的最大值是，无最小值，故不正确；对于，若，则，时，，因为数列为等差数列，所以，故正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前项和公式是解题关键.27．ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正解析：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.28．AC【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由，可得，令，，所以是奇函数，且在上单调递减，所以，所以当数列为等差数列时，；解析：AC【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由，可得，令，，所以是奇函数，且在上单调递减，所以，所以当数列为等差数列时，；当数列为等比数列时，且，，同号，所以，，均大于零，故.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题29．BD【分析】由，即，进而可得答案．【详解】解：，因为所以，，最大，故选：．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．解析：BD【分析】由，即，进而可得答案．【详解】解：，因为所以，，最大，故选：．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．30．AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】，，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因解析：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】，，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因为，所以是递增数列，故④正确，故选：【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.31．AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B选项中（为常数，），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C选项中，对于数列符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D选项的前项和（），不符合，所以不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．32．ACD【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.【详解】因为，所以，所以，即解析：ACD【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.【详解】因为，所以，所以，即，故正确；当时，无最小值，故错误；因为，所以，故正确；因为，故正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.33．AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，，则，．．故正确，错误；可得数列的解析：AC【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．【详解】解：在递增的等差数列中，由，得，又，联立解得，，则，．．故正确，错误；可得数列的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而．当时，取最小值，故正确，错误．故选：．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．34．BD【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知正确；根据可知不正确；根据可知正确.【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确.故选：BD.解析：BD【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知正确；根据可知不正确；根据可知正确.【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确.故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.35．ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确.【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确.【详解】根据题意可知数列为递增数列，，，前9项的和最小，故正确；，故正确；，故正确；，，，故不正确.故选：.【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.',)