人教版高中数学必修5《等差数列》PPT课件

观察并发现：下面数列有什么共同特点？（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有：22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26…(1)0,5，10，15，20，25，…（3）21，19，17，15，……（4）3，3，3，3，……(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于(2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于(3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于(4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于50.50-2一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。一、等差数列的定义：注意：等差数列的定义可用符号表示为：证明等差数列的方法an+1-an=d(nN)∈，其中d为常数（或an-an-1=d，n≥2）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。一、等差数列的定义：思考1：若一数列的前4项分别是“1，3，5，7”，那么这个数列是等差数列吗？为什么？思考2：数列，是等差数列吗？为什么？,,,,,ababab练习：求出下列数列的公差.（1）1，6，11，16，……（2）-8，-6，-4，-2，……（3）10，5，0，-5，……（4）21，19，17，15，……（5）3，3，3，3，……已知数列{an}是等差数列，d是公差，则：当d=0时，{an}为常数列；当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；思考：上述数列的公差与该数列的类型有关系吗？d=5d=2d=-5d=-2d=0练习：在下列两个数中间再插入一个数，使这三个数组成一个等差数列，并思考插入的这个数与原有两数的关系。（1）-1，5；（2）-12，0.（1）-1，2，5（2）-12，-6，0如果在a与c中间插入一个数b，使a，b，c组成一个等差数列，则中间的数b叫做a与c的等差中项，且22或记为acbbac（）思考:若已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，能否求出通项公式？若已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则有：a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d……an=an-1+d=a1+(n-1)d又∵当n=1时，上式也成立∴an=a1+(n-1)d方法1：∵由等差数列的定义可得a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…∴不完全归纳法二、等差数列的通项公式：若已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则有：a2-a1=da3-a2=da4-a3=d…an-an-1=d上述各式两边同时相加，得an-a1=(n-1)d方法2：∵由等差数列的定义可得叠加法∴an=a1+(n-1)d二、等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则an=a1+(n-1)d练习：求出下列数列的通项公式.（1）10，5，0，-5，……（2）21，19，17，15，……an=-5n+15an=-2n+23例1.（1）等差数列8，5，2,······的第20项是几？（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项如果是，是第几项？（2）由题意得，a1=-5，d=-4设an=-401，则有-401=-5+(n-1)×(-4)解得n=100∴-401是这个数列的第100项解：（1）依题意得，a1=8，d=5-8=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49二、等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则an=a1+(n-1)d等差数列的通项公式中包含四个量：an、a1、n、d这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.解：（1）依题意得a1+4d=10a1+11d=31解得a1=-2,d=3∴a25=a1+24d=-2+24×3=70例2.在等差数列{an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25；（2）若d=2，求a10；解：（2）∵a5=a1+4d=a1+4×2=10∴a1=2∴a10=a1+9d=2+9×2=20例2.在等差数列{an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25；（2）若d=2，求a10；题结：在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论之间的联系不明显，则均可化成有关a1与d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量。例2.在等差数列{an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25；（2）若d=2，求a10；在等差数列{an}中，若知道第k项ak及公差d，则有an=ak+(n-k)d思考：第（2）题能不求a1直接求a10吗？d变形：nkaank练习、a10=a6+d，a99=a32+d.467拓展：在等差数列{an}中，若a5=10，a12=31，求a25。解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有∴a25=a5+20d=10+20×3=70125311031257aad练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成一个等差数列，（1）-1，5；（2）-12，0.作业：1、课本P40A组第1题25,11,17,23,,55、已知数列则是这个数列的项吗？若是，是第几项？需说明原因。二、等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则an=a1+(n-1)d练习练习22：在等差数列：在等差数列{{aann}}中，中，（（11）已知）已知aa11==--11，，dd=4=4，则，则aa88=_______=_______；；27（2）已知a1=15，an=3，d=-3，则n=_____；；5（3）已知a1=8，a6=23，则d=_____；；3（4）已知d=2，a7=9，则a1=______；；-3注意：在等差数列中，an、a1、n、d这四个量只需知道思考：下列数列有什么共同的特点？（1）1，6，11，16，……（2）-8，-6，-4，-2，……（3）10，5，0，-5，……（4）21，19，17，15，……（5）3，3，3，3，……练习：在等差数列练习：在等差数列{{aann}}中，中，（（11）已知）已知aa11==--11，，dd=4=4，求，求aa88；；解：a8=a1+7d=-1+7×4=27（2）已知a1=15，an=3，d=-3，求n；；解：∵3=15-3(n-1)∴n=5（3）已知a1=8，a6=23，求d；；解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d∴d=3（4）已知d=2，a7=9，求a1；；解：∵a7=a1+6d即9=a1+6×2∴a1=-3练习：求出下列等差数列的公差.（1）1，6，11，16，……（2）-8，-6，-4，-2，……（3）10，5，0，-5，……（4）21，19，17，15，……（5）3，3，3，3，……当______时，{an}为常数列；当______时，{an}为递增数列；当______时，{an}为递减数列；等差数列的公差与该数列的类型的关系：d=5d=2d=-5d=-2d=0d=0d>0d<0练习：在等差数列练习：在等差数列{{aann}}中，中，（1）已知a1=15，an=3，d=-3，则n=_____；；（2）已知a1=8，a6=23，则d=_____；；（3）已知d=2，a7=9，则a1=______；；等差数列的通项公式中包含四个量：an、a1、n、d这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.53-3复习：1、等差数列的定义：2、等差数列的通项公式：3、等差中项：an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d(nN)∈，其中d为常数an=a1+(n-1)d=ak+(n-k)da、b、c三数成等差数列例1、已知某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车前往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付多少车费？解：依题意，当该市出租车的行程大于或等于4千米时，每增加1千米，乘客需要多支付1.2元。所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费。令a1=11.2，表示4千米处的车费，公差d=1.2，则当出租车行至14千米处时，n=11，此时需要支付车费答：需要支付车费23.2元。例2、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？∵p是一个与n无关的常数∴{an}是一个等差数列课本P39探究数列{an}是等差数列an=pn+q(p、q是常数)判断一个数列是等差数列的方法1,)2(1nnaadn定义法：11)2,2(2nnnaaan等差中项：3()napnq利用通项公式：215{}lg,3nnnaa练习在数列中，判断该数列是否为等、差数列。1(,)nnaadnN或思考：已知在等差数列{an}中，a4与a6的等差中项是4，则下列各组数的等差中项有什么关系？（1）a3与a7；（2）a2与a8；（3）a1与a9。练习：在等差数列{an}中，（1）已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20；（2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8；拓展：已知a2+a9=-10，a5+a12=20，求a1+a2+…1015例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.解：设这三个数分别为a1，a2，a3则依题意有a1+a2+a3=12∵a1+a3=2a2，故3a2=12∴a2=4∴这三个数为2，4，6或6，4，2例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.解法2：设这三个数分别为a-d，a，a+d则(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12∴a=4又∵(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12解得d=±2∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6若三数成等差数列，则可设为a-d，a，a+d练习:已知四个数构成等差数列，前三个数的和为6，第一个数和第四个数的乘积为4，求这四个数．作业：思考：在等差数列“1，3，5，7，9，11，13，…”7是哪些项的等差中项？其中有什么规律吗？规律一：注意：这两个式子也可用来证明数列{an}是等差数列思考：在等差数列“1，3，5，7，9，11，13，…”7是哪些项的等差中项？其中有什么规律吗？规律二：练习：在等差数列{an}中，（1）已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20；（2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8；（3）已知a2+a14=10，能求出a16吗？1015练习：2720-44n-4练习：2720