二重积分概念,二重积分概念理解

('第二十一章重积分一、主要内容与教学要求主要内容平面图形的面积，二重积分的定义及其存在性，二重积分性质。直角坐标系下二重积分的计算(化为累计积分)。格林公式，平面曲线积分与路线无关的等价条件，原函数。二重积分的变量替换公式，用极坐标计算二重积分。三重积分的概念与性质，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法，柱坐标变换与球坐标变换。重积分在的应用：曲面的面积，重心，转动惯量，引力。教学要求1深刻理解二重、三重积分概念和性质。2了解二重积分存在的必要条件和充要条件，了解二重积分的可积函数类。3熟练掌握二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法，会用二重积分的变量替换公式。4掌握三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球坐标系下的各种计算方法，熟练掌握直角坐标系下“先一后二”的三重积分的计算方法。5掌握应用二重积分计算由显函数给出的光滑曲面面积的方法，会用二重积分计算质量重心坐标、转动惯量、引力等物理量。6熟练掌握格林公式极其应用,会应用平面曲线积分与路线无关的等价条件计算和证明某些问题，会求全微分的原函数。教学重点1重积分的概念和性质。2“先一后二”的三重积分的计算方法、柱面坐标系、球坐标系下的各种计算方法。3格林公式极其应用，曲线积分与路径无关性及其应用。教学难点1三重积分的计算。2二重积分的一般变量替换公式。3平面曲线积分与路线无关的等价条件证明。二、本章教材处理建议1三重积分的计算引入“先一后二，求围定顶”的计算方法。2格林公式的证明采用“讨论法”。§1二重积分概念一平面图形的面积注本段内容为平面图形面积的定义和可求面积的充分必要条件，简单介绍.二二重积分的定义及其存在性从曲顶柱体的体积引入二重积分的定义1曲顶柱体的体积我们在定积分的应用中，已经给出了求一种特殊的立体（旋转体）的体积的方法，但还是不能计算一般立体的体积。一般立体的体积计算归结到曲顶柱体的体积的计算。曲顶柱体：P213图20-2所示立体称为曲顶柱体，顶面是D上恒正的连续函数所代表的曲面，底面是平面上一个有界的可求面积的区域D，侧面是从D的边界竖起来的垂直柱面。我们的问题是：怎样定义和计算这个曲顶柱体的体积呢？我们的办法还是象以前处理曲边梯形面积那样来处理曲顶柱体的体积。通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到的，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数。这类问题在物理学与工程技术中也常碰到，如求非均匀平面的质量、重心、较动惯量等，这些都是所要讨论的二重积分的实际背景。2二重积分的定义定义在平面有界闭区域上函数的二重积分定义定义2P214关于“二重积分”概念的几点说明（1）关于分割和取点的任意性.和一元函数定积分一样，二元积分的定义中也强调了分割和取点任意性。道理很简单，以立体的体积而论，任何一个立体都有确定的体积，不应因计算方法的不同而改变，现在用“分割、作和、取极限“的方法来计算，当然也不应因为分割和取点的不同而改变.值得注意的是，一元函数定积分中的分割对区间，分划方式只有一种，即在区间中插入一些分点，分划的任意性只体现在这些分点自由选择上；二重积分中的分割则不同，它的对象是平面上的区域，分割方式多种多样，比如有直角坐标网的分割，也有极坐标网（以原点为中心的圆族及从原点出发的半射线族）的分割及其它曲线坐标网的分割等，在以后讨论二重积分计算时，我们将利用二重积分中分划的任意性，根据需要选择适当的分割方式.（2）关于分割的细度（精细程度）.对照一元函数定积分的定义，我们提出一个问题：在那个定义中，我们是用最大小区间的长度定义分割的细度，现在为什么不用最大小区域的面积来定义分割的细度呢？应当指出，所谓精细分割，是指分割后每个小区域内任意两点的距离很小，在直线上，小区间的长度很短就能得证其内任意两点的距离也很小，而在平面上，小区域的面积很小和其内任意两点的距离很小却是两回事，比如非常扁的长条，面积虽小，但在两点的点距离却不小，甚至可以非常大。因此在二重积分中要用最大小区域的直径来定义分割的细度.（即最大小区域的直径），但是反之不成立.（即最大小区域的面积），但是反之不成立.（3）二重积分定义可以简记为.称为函数在属于分割的一个积分和.（4）面积微元表示当时的极限.在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线网来分割，则，因此在直角坐标系中二重积分记为（6）3二重积分的几何意义当时，表示以为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积.当(常数)时，则特别地，当c=1时，4二重积分可积性先回顾一元函数的可积条件.（1）必要条件（P217习题6）若函数在有界闭区域上可积，则在上有界.（反例，P217习题2）（2）充要条件定义函数关于分割的大和与小和、振幅.在一元函数的定积分中，我们引进了Darboux大和和Darboux小和，并利用它们给出了闭区间上有界函数的可积条件.在这里，完全相仿地可以引进相应的概念，并给出闭矩形上二元有界函数的可积条件.但有关概念和定理不做深入讨论和证明.为函数在上的振幅,即定理21.4（P215）定理21.5（P215）.（3）充分条件（可积函数类）定理21.6（P215）在D上连续在D上可积.定理21.7（P215-216）设函数在有界闭区域上有界，若的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则在上可积.补例1用定义计算二重积分.用直线网分割该正方形,在每个正方形上取其右上顶点为介点.解.三二重积分的性质（证明与定积分时的情形相似，从略）性质1.性质2线性：设f,g都在闭矩形A上可积，,\uf061\uf062\uf0ceR，则fg\uf061\uf062\uf02b在闭矩形A上可积，并且有AAAfgfg\uf061\uf062\uf061\uf062\uf02b\uf03d\uf02b\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2关于函数可加性.性质3可加性：则在D上可积在和可积,且.性质4单调性：设f,g都在闭矩形A上可微，并且在A上有f(x,y)≤g(x,y)，则ABfg\uf0a3\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2.性质5绝对可积性：设f\uf0ceR(D),则f\uf0ceR(D),且.注意：若(f)\uf0ceR(D)，不能推出f\uf0ceR(D)性质6.性质7中值定理.设f,g\uf0ceR(A)，g在A上不变号，那么存在常数μ，使AAfgg\uf06d\uf0d7\uf03d\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2，其中m≤μ≤M,m和M分别是f在A上的下确界和上确界。特别地，若f\uf0ceC(A)，则(,)A\uf078\uf068\uf024\uf0ce，使得(,)AAfgfg\uf078\uf068\uf0d7\uf03d\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2；又若g\uf0ba1，则(,)1(,)AAfgffA\uf078\uf068\uf078\uf068\uf0d7\uf03d\uf0d7\uf03d\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2，A是矩形A的面积.补充性质乘积的可积性：设f,g\uf0ceR(A)，则f·g\uf0ceR(A)注意：B()(g)AAfgf\uf0d7\uf0b9\uf0d7\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf0f2作业P2171，3，5，8.',)