高斯公式,高斯公式计算曲面积分

一、高斯公式二、通量与散度§10.6高斯公式通量与散度上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、高斯公式定理证明下页定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上具有一阶连续偏导数则有这里是的整个边界的外侧cos、cos、cos是在点(xyz)处的法向量的方向余弦RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(或dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(上页下页铃结束返回首页下页例1利用高斯公式计算曲面积分xdydzydxdyyx)()(其中为柱面x2y21及平面z0z3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧这里P(yz)xQ0Rxy解zyxP0yQ0zR由高斯公式有dydzzydxdyyx)()(29)sin()(201030dzzdddxdydzzy29)sin()(201030dzzdddxdydzzy29)sin()(201030dzzdddxdydzzyGauss公式上页下页铃结束返回首页dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222421h>>>下页例2计算曲面积分dSzyx)coscoscos(222其中为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的部分的下侧cos、cos、cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦设1为zh(x2y2h2)的上侧为与1所围成的空间闭区域则解dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222421h因此4442222121)coscoscos(hhhdSzyxdvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222421h因此4442222121)coscoscos(hhhdSzyx因此4442222121)coscoscos(hhhdSzyx而422222111)coscoscos(hdShdSzdSzyx而422222111)coscoscos(hdShdSzdSzyx而422222111)coscoscos(hdShdSzdSzyx而422222111)coscoscos(hdShdSzdSzyxGauss公式上页下页铃结束返回首页例3设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数是的整个边界曲面n是的外法线方向证明dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu)(说明符号222zyx称为拉普拉斯算子222222zvyvxvvGauss公式上页下页铃结束返回首页例3设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数是的整个边界曲面n是的外法线方向证明dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu)(设与n同向的单位向量为(coscoscos)则证dSzvyvxvudSnvu)coscoscos(dSzvuyvuxvu]cos)(cos)(cos)[(dxdydzzvuzyvuyxvux)]()()([dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu)(将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式>>>首页Gauss公式上页下页铃结束返回首页二、通量与散度下页高斯公式的物理意义高斯公式dSvdvzRyQxPn)(dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(其中vnvnPcosQcosRcos可以简写成公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量Gauss公式上页下页铃结束返回首页dSvVzRyQxPn1)(),,(提示其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值提示其左端表示流体在点M的源头强度——单位时间单位体积分内所产生的流体质量称为v在点M的散度散度由积分中值定理得下页设的体积为V由高斯公式得dSvVdvzRyQxPVn1)(1令缩向一点M(xyz)得dSvVzRyQxPnM1limGauss公式上页下页铃结束返回首页下页散度设某向量场由A(xyz)P(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)k给出其中PQR具有一阶连续偏导数则称为向量场A的散度记作divA即zRyQxPzRyQxPAdivGauss公式上页下页铃结束返回首页dSnA通量下页向量场A(xyz)P(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)k的散度zRyQxPAdiv设是场内的一片有向曲面n是上点(xyz)处的单位法向量则称为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)散度Gauss公式上页下页铃结束返回首页通量向量场A(xyz)P(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)k的散度zRyQxPAdiv向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)散度高斯公式的另一形式dSdvnAAdiv或dSAdvnAdiv结束dSnAGauss公式