正定矩阵的判定及其应用,正定矩阵的判定及其应用毕业论文

('正定矩阵的判定及其应用专业：数学与应用数学班级：姓名：目录引言1正定矩阵1.1正定矩阵的若干判定条件1.2关于实对称正定矩阵的一些重要结论2正定矩阵的应用2.1利用标准型来证明2.2利用特征值都大于零来证2.3利用存在n阶满秩矩阵b,使A=BB来证利用A与单位矩阵合同来证正定矩阵在柯西不等式中的应用证明不等式判别多元函数极值3关于Hermite正定矩阵的推广虚析3.1复正定矩阵3.2正定矩阵的推广及其在线性互补问题中的应用结论致谢参考文献摘要目前对于非对称实正定矩阵和非Hermite的复正定矩阵，都已经作了较为详细的研究，并且建立了一些特殊正定阵的著名行列式不等式，已为众多学科所应用，目前对它的研究比较系统.在这里我仅对现在课程中的正定矩阵的确判定及其应用进行研究.关于正定矩阵的判定及其应用的发展方向是向着更宽、更广、更系统化发展的.它的发展趋势不只是单一的某一个性质问题，而是各问题间的转化.研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中，具有重要意义和应用价值，是矩阵论中重要的热门课题之一.矩阵的正定性思想是证明问题的一种重要思想.矩阵正定性的一些判定性质是解决线性代数中证明问题的一个重要重要途径之一.通过矩阵正定的思想来解决其他问题,例如：带状对称正定矩阵的Cholesky分解在实际工程计算中占有重要的地位，其串行算法已经成熟，但其并行算法由于对计算机体系结构的高度依赖性，仍受到广泛关注.本文给出了若干充要条件;正定矩阵是一类特殊的矩阵,固然有它与其它矩阵不同的性质,所以给出了一些重要结论;本文还介绍了正定矩阵在分析中的应用;讨论了正定矩阵与柯西不等式的关系,最后还对正定矩阵进行了简单的推广.关键词：正定矩阵；性质；判定；方法；应用；AbstractAtpresent,itisfornon-symmetricpositivedefinitematrixandnon-Hermitepositivedefinitematrixofthecomplexhavebeenmademoredetailedstudiesandtheestablishmentofanumberofspecificwell-knowndeterminantpositivedefinitematrixinequalityhasbeenappliedtomanydisciplines,thecurrentstudycomparedtoitssystem.Here,Ionlynowofcoursepositivedefinitematrixanditsapplicationisindeedastudyfound.onthepositivedefinitematricesanditsapplicationtodeterminethedirectionofdevelopmenttowardsawider,broaderandmoresystematicdevelopment.itsdevelopmenttrendnotjustasinglecharacter,buttheconversionbetweenthevariousissues.Qualitativeresearchisthematrix,orintheapplicationofmathematicaltheory,ofgreatsignificanceandapplicationvalueisanimportant矩阵论oneofthemostpopulartopics.Matrixarequalitativeideaistoproveanimportantideologicalissues.Matrixareanumberofqualitativedeterminenatureoflinearalgebratosolvetheproblemprovedtobeanimportantoneoftheimportantways.Zhengdingthinkingthroughthematrixtosolveotherproblems,suchas:bandsymmetricpositivedefinitematrixintheCholeskydecompositionofthecalculationoftheactualworksoccupyanimportantposition,thestringlinealgorithmisripe,buttheparallelalgorithmonthecomputerarchitectureasaresultofahighdegreeofdependence,isstillwidespreadconcern.Keywords：Positivedefinitematrix;nature;found;method;application;引言代数学是数学中的一个重要的基础分支,而正定矩阵又是高等代数中的重中之重.特别是正定矩阵部分的应用很广泛.正定矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类,其应用引起人们极大的研究兴趣.目前对正定矩阵的研究,主要集中在理论研究与工程应用方面.线性互补是线性规划和二次规划的推广,线性互补作为一类新的数学模型,它已成为数学规划的一个重要分枝,在矩阵对策,经济均衡,障碍,供应链等问题中有着重要的应用.对于一个给定的线性互补问题,它是否有解,是否存在唯一解,往往不是容易弄清的.关于线性互补问题解的存在性、唯一性已经成为优化界的一个热点问题.复方阵的正定性，在数学理论或应用中，具有重要意义和应用价值，是矩阵论中重要的热门课题之一对于非对称实正定矩阵，JohnsonCR、屠伯埙、李炯生、郭忠等作了详细的研究，对于非Hermite的复正定矩阵，HomRA,JohnsonCR、梁景伟、李俊杰等对其作了较为详细的研究华罗庚、Hadamard等建立了一些特殊正定阵的著名行列式不等式，已为众多学科所应用.本文在此基础上进一步研究了复方阵的正定性，给出了复正定矩阵的一系列判别条件，获得了一些新的结果，改进并推广了Fejer定理、Hadamard不等式及郭忠的结果，削弱了华罗庚不等式的条件，并刻划了等式成立的方阵.本文从正定矩阵的概念出发,对正定矩阵判定性质进行了深刻的讨论，并从这些性质出发给出了一系列关于矩阵正定的判定条件，且利用这些判定条件证明了矩阵、不等式以及函数极值的相关问题。并且将正定矩阵作了简单的推广。从而提高运用矩阵正定性思想解决问题证明问题的能力和技巧，熟练掌握矩阵正定的判定性质以及相关的结论，学习利用矩阵的正定性证明不等式的方法，了解利用矩阵的正定性证明矩阵相关问题的方法，深刻掌握利用矩阵的正定性求极值的方法。希望能够通过对正定矩阵的判定、应用等问题的研究，熟练掌握矩阵的判定性质，并且能够灵活运用这些性质解决一些应用问题，以及运用矩阵正定的思想解决这类问题的方法和技巧.正定矩阵正定矩阵在代数的应用是十分广泛的，代数学是数学中的一个重要的分支,正定矩阵是代数学中的重要部分.实正定矩阵的若干判定条件定义：对于元二次型,若将任意非零列向量代入其中,对应的函数值恒大于零,则称该二次型为正定二次型,所对应的实对称矩阵为正定矩阵.二次型经过满秩(或非退化)线性变换后,得到,其正定性不改变,因此可利用二次型的标准形的正定性来判别原来的二次型的正定性,于是得到二次型为正定二次型的充分必要条件(或实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件).判定一个矩阵是正定的除用定义外还可以运用一些等价定理,下面给出了一些判定矩阵正定的充要条件以及一些充要条件的证明.(1)正定矩阵的充要条件是:的正惯性指数等于的维数(证明略).(2)是正定矩阵的充要条件是:合同于单位矩阵(证明略).(3)阶实对称阵为正定的充要条件是:存在满秩阵,使成立.证明:必要性:若是正定矩阵,则合同于.∴存在实可逆矩阵,使充分性:若,是实可逆矩阵,对,则,所以是正定的.(4)阶实对称阵为正定的充要条件是:个特征值全为正值(证明略).(5)是正定矩阵的充要条件是:的所有顺序主子式大于零(证明略).(6)阶实对称阵为正定的充要条件是:存在满秩阵,使成对角线元素皆正的对角阵(证明略).(7)阶实对称阵为正定的充要条件是:存在对称正定阵,使.证明:必要性:存在正交阵,使其中记以及..充分性:对任给,(因为正定),所以正定.(8)是正定矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵,使.证明:妨以下三角矩阵为例来证明,上三角矩阵的情况同理可证.必要性:若是阶正定矩阵,则的任意阶主子式大于零.特别的,有.将的第列乘适当的倍数,分别加到第列上,再施同样的行变化,可使变成为的形式.即:存在非退化的下三角矩阵,使=，再令,∴∵正定∴作为的阶顺序主子式,也是正定的.对做同样处理,最终可得到令∴是非退化的下三角矩阵,且使充分性是显然的.(9)是正定矩阵的充要条件是:是正定矩阵.证明:必要性:若是正定的,则存在实可逆矩阵使.∴,∵可逆,∴也是实可逆矩阵.∴有也是正定矩阵.充分性:若是正定矩阵,则.∵,∴是正定的.(10)是正定矩阵的充要条件是:存在正交向量组,使.证明:必要性:是正定矩阵,因此存在正定矩阵,使,令,其中其中为正交向量组,即得.充分性:(为正交矩阵),显然是正定矩阵.关于实对称正定矩阵的一些重要结论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外,还有很多重要结论,将在下面给出.若是正定矩阵,则也是正定的(其中表示的伴随矩阵).证明∵正定,∴正定;∵∴也正定.(2)若都是阶实对称矩阵,且是正定矩阵.证明存在一阶实可逆矩阵使与同时为对角形.证明:∵是正定的,∴合同于,即存在可逆阵使;且是阶实对称矩阵,则存在正交矩阵使,则,取,则为所求.(3)若,都是阶正定矩阵,证明.证明存在实可逆矩阵，使,，其中，。取行列式，.,两边取行列:即.(4)若是实对称的正定矩阵,则存在,,,使,,均是正定矩阵.证明:若的特征值为,,则的特征值为,,所以存在使的特征值大于零,其余同理可证.(5)已知是阶正定矩阵,则(是正整数)也是正定矩阵.证明：与的特征值有熟知的关系,故从特征值角度入手考虑.根据正定,即知其特征值λ1,⋯,λn全正,由于的全部特征值就是λ1k,⋯,λnk,也都为正。这就知是正定矩阵.正定矩阵的应用以上讨论的这些充要条件及其结论如果能熟练掌握,并且可以巧妙运用有些题就可迎刃而解了.利用标准型（定义）来证明定义是一切结论的基础，其它的一切结论都是以定义为根据推导出来的.当然正定矩阵也不例外.所以说正定矩阵的定义是十分重要的.正定矩阵的定义就犹如一座高楼的地基,如果地基打的不好,高楼是不会稳定的,一定会摇晃.由此可见,如果正定矩阵的定义掌握不好,关于正定的其它结论我们也不会掌握牢固.因此,我们只有熟练掌握并能充分定义才能深入研究其它结论.下面是几个利用标准型(定义)证明的实例.例若是阶正定矩阵,则.证明：法一:与都是阶实对称正定矩阵,因此存在一阶实可逆矩阵使,其为的特征值且大于零.所以为的特征值,也是大于零的。所以=(用到第四个结论).法二:因为与都是阶实对称正定矩阵,所以(用到了第五个结论).例.设为实矩阵,且,证明正定.证明:因为,所以线性方程组只有零解(即,必有),所以,所以正定.例设是阶正定矩阵,是实矩阵,B的秩为m,证明:是正定矩阵.证明:因为,故是实对称矩阵,其次,由于秩.故只有零解,因此若任取非零实列向量,必有,因是正定矩阵,故对任取的非零实列向量,必有,因此是正定矩阵.注意:以上三个例子,还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是,若不是方阵,也不对称时,是正定矩阵,若是方阵,但不对称,则是正定矩阵,同时,在证明的过程中,我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.利用特征值都大于零来证明利用特征值都大于零的方法来证明矩阵的正定性在考研数学中的应用是十分重要的,有很多题型都是利用这种方法解决出来的,如其是抽象矩阵的正定性的证明中,这种方法更显得尤为重要了.接下来的几个例子就是利用特征值都大于零来证明的,希望大家能够通过这几个例子熟练掌握这种方法.例.设是一个正定矩阵,试证对角阵是正定矩阵.证明:因为是一个正定矩阵,则,故,所以是正定矩阵.例设为阶正定矩阵,为阶正定矩阵,证明也是正定矩阵.证明:设为的特征值为的特征值.由已知均为正定矩阵,故,均大于零,且存在可逆矩阵使得,,令N,则,所以为可逆矩阵,有其中,为的特征值且均大于零,故为正定矩阵.利用存在阶满秩矩阵,使来证明在考研数学中,甚至是在线性代数以及高等代数中,利用存在阶满秩矩阵,使来证明矩阵的正定性的方法的应用是非常广泛的,因此熟练掌握这种方法是很有必要的.下面我们将通过具体的例子来体会一下这种证明方法的重要性.例若为正定矩阵,为的伴随阵,则也正定.证明:因为正定,故,使,所以(可逆),即存在,因为′,即与合同,所以是正定的.例若为正定矩阵,为实可逆矩阵,则是正定矩阵.证明:因为正定,故也正定,所以存在可逆矩阵,使得,′′′′′是正定矩阵（因为可逆）.利用与单位矩阵合同来证明利用与单位矩阵合同来证明矩阵的正定性是一种很有效的方法,尤其是关于抽象矩阵的证明中其效果显得更为明显,因此我们很有必要通过下面几个例子来了解一下这种证明方法.例设均为阶实对称矩阵,且正定,证明存在实可逆矩阵,使,.证明:因为正定,故存在实可逆矩阵,使,又因为11BCCT实对称,故存在正交矩阵2C,使；令,则.例为阶正定矩阵,为阶非零半正定矩阵,则.证明:根据例知,存在实可逆阵,使,且,.所以>d1d2⋯dn====所以例设均为阶正定矩阵,且,则正定.证明:因为,故,所以为实对称矩阵,又因为正定,所以实可逆矩阵,使.方法一:,而正定,故的特征值都大于零,所以的特征值大于零,是正定的.方法二:,因为正定,故正定,的特征值大于零,的特征值大于零,又因为实对称,所以是正定.例设均为实对称矩阵,且正定,则的特征值全为实数.证明:因为正定,故,证法一:,因为是对称,故的特征值为实数,的特征值全为实数,所以的特征值全为实数.证法二:因为是对称,所以是实对称且特征值为实数,所以的特征值全为实数.注意:若矩阵乘积中,有一个为正定时,可用两种方法来利用.对于抽象矩阵也可利用各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性.例.设正定,b,b,⋯,b是任意n个非零实数,证明=（）正定。因为是正定的,故的一切顺序主子式,,设的顺序主子式为,,=b=b因为为非零实数,所以,,是正定的.5.2正定矩阵在柯西不等式中的应用如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.下面我们将系统的了解一下它们之间的关系.\uf028\uf0291柯西不等式在中学里,我们就熟悉了如下的一个不等式:≤\uf028\uf0291这就是著名的柯西不等式.如果我们将不等式\uf028\uf0291用内积的形式来表示,则可将它改写成│(α,β)│≤│α│·│β│.柯西不等式与正定矩阵的关系如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.柯西不等式与正定矩阵之间有什么关系呢?设是一个阶正定矩阵,则对任何向量与,定义=则可以证明由式定义的一定是维向量间的内积.反之,对于维向量间的任意一种内积,一定存在一个n阶正定矩阵A,使得对任何向量α和β,(α,β)可由(2)式来定义.因此,给定了一个阶正定矩阵,在维向量间就可由该矩阵定义一个内积,从而可得到相应的柯西不等式:││利用正定矩阵来证明不等式关于不等式的证明有很多方法,例如比较法,分析法,综合法,穷举法,施缩法,反正法等等.其实利用正定矩阵也是证明不等式的一种方法,这种方法在证明一些不等式中其实是很实用的,通过下来的实例我们来体会一下这种方法的实用性.例.对所有实数,,和,,均成立.证明从不等式来看,可知它相当于│(α,β)│≤,其中(α,β)是由矩阵所定义的.但要证明(α,β)是内积还需证明是个正定矩阵.经验证该矩阵为正定矩阵.从而可看出该不等式就是由所确定的内积所产生的柯西不等式,因此不等式成立.注意:上述不等式可以推广为其中是正整数,而,是任意实数.在实数域上文字的实二次型与级对称矩阵之间存在着一一对应的关系,所以可用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式和判别多元函数的极值.对此本文试加以说明,以作抛砖引玉.例证明：(其中是不全为零的实数)证明：设二次型=,则的矩阵是=的顺序主子式：1,=2,正定，从而(不全为零)判别多元函数的极值正定的矩阵的应用是很广泛的,除了上面的那些应用,还可以用来判别多元函数的极值.下面是判别多元函数的极值的法则及其证明过程.通过证明法则我们可以深刻体会到法则的正确性及其实用性.判别法则：设元实函数的一阶偏导数等于零的点为,且在点处具有一切二阶连续偏导数，则当矩阵=正定时，有极小值;当负定时，有极大值；当不定时，无极值；当半正定（半负定），则的极值不确定.证明：在处有一切连续二阶偏导数，由泰勒公式得：=+(++…+)+(++…+)其中（），在的一阶偏导数为零，=[()+2()+2()+()+()+()+()]在处有一切连续二阶偏导数()=()+()=()+……()=()+其中,(,)当=（）0时=[(()+()+…+()…+())+(++…++…+)]=(,,…,)0时，都是无穷小量(,)存在的一个邻域，使得在这个邻域内的符号与=()+()+…+()…+()符号相同.而对实二次型,由正定二次型的定义知:当的矩阵=正定时，正定,即0,当(=(…,)0时)从而0,()有极小值;同样的当负定时()有极大值;当不定时,()无极值,另外当半正定(半负定)时,()的极值不确定.特别地,当为二元函数时,若在处一阶偏导数为零,且在处对有二阶偏导数,则当正(负)定时,在有极小(大)值;当不定时,无极值,这与数学分析中讨论的结果一致的.由判别法则得:讨论多元函数的极值,只须判别由函数的二阶偏导数所组成的矩阵正(负)定(不定),即可,这也是代数知识应用于数学分析的一个例子.例讨论函数=-(0,0)的极值解:=,=-在点处函数的一阶偏导数为零。矩阵A==由判别法则知:函数无极值.在解析几何上,它表示通过原点的马鞍面,因而,显然在点没有极值.例讨论函数的极值.解:=4\uf02d\uf03d\uf03dyxxyff0\uf03d\uf03dzxxzff显然,二阶偏导数连续.令矩阵=而的顺序主子式：;=,0,正定有极小值,即.关于正定矩阵的推广复正定矩阵复正定矩阵是正定矩阵概念的推广,下面将给出一些关于复正定性的充分必要条件.用表示数域上阶方阵的集合.表示全体维复列向量的集合,表示矩阵A的转置,表示矩阵的共轭,表示矩阵的共轭转置.表示方阵的行列式.=(其中)如为的阶顺序主子阵./表示的阶顺序主子式的补.即设A=,其中为非奇异,则/=-()。注意:本文所讨论的矩阵皆为复方阵.定义定义矩阵=()称为矩阵,是指如果则称之为反矩阵.如果对所有非零向量,有,则称为正定矩阵.定义设,如果对所有非零向量,有,则称为复正定矩阵.根据定义和定义,因对正定矩阵有,可知正定矩阵一定是复正定矩阵.显然复方阵.令,,则,且这种分解是唯一的,其中称为复方阵的分支,是阵;称为复方阵A的反分支,是反阵,以下的分解式均指这种意义的分解.引理引理设,则是复正定矩阵的充要条件是是正定矩阵.引理设,则是复正定矩阵的充要条件是任给有.引理设，则是复正定矩阵的充要条件是的任一主子阵是复正定矩阵.引理设是矩阵，则是正定矩阵的充要条件是的任一主子矩阵是正定矩阵.引理设是矩阵，则是正定矩阵的充要条件是的顺序主子矩阵的行列式全大于零.引理设是矩阵，则是正定矩阵的充要条件是的所有特征值都是正实数.引理复正定矩阵是非奇异阵.引理设是矩阵，则是正定矩阵的充要条件是的任意主子矩阵的行列式都大于零.证明：是正定矩阵，则由引理，的任一主子矩阵是正定矩阵，所以再由引理，的任一主子矩阵的行列式大于零.反之的任一主子矩阵的行列式大于零，则的顺序主子矩阵的行列式全大于零，从而由引理，是正定矩阵.引理设，其中表示矩阵的部份等意义相同,表示矩阵的反部分.则任给,都有()=引理设是矩阵,则是正定矩阵的充要条件是对任意(或存在一个),,和其补/都是正定矩阵.复正定矩阵的充要条件定理设，则是复正定矩阵的充要条件是是复正定矩阵（是阶非异阵）.定理设，则是复正定矩阵的充要条件是是复正定矩阵.定理设，则是复正定矩阵的充要条件是是复正定矩阵.证明：令，则TTTSHA\uf02b\uf03d，这里的H和S分别是矩阵和反矩阵。容易得出和也分别是矩阵和反矩阵.于是有是复正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵的任一主子矩阵是正定矩阵.是复正定矩阵.定理设，则是复正定矩阵的充要条件是\uf02aA是复正定矩阵.证明：令，则，这里的和分别是矩阵和反矩阵，容易得出和也分别是矩阵和反矩阵.于是是复正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵\uf02aA是复正定矩阵.定理设，则是复正定矩阵的充要条件是是复正定矩阵.证明：必要性：由引理，复正定矩阵是非奇异阵，故存在.又是复正定矩阵当且仅当\uf02aA是复正定矩阵.任给，，令，则，，所以当且仅当A为复正定矩阵.充分性：根据必要性，为复正定矩阵，则为复正定矩阵.定理设，则是复正定矩阵的充要条件是是复正定矩阵.证明：令，则=+.因是矩阵，是反矩阵，易知是是矩阵，是反矩阵.所以是复正定矩阵是正定矩阵是矩阵是复正定矩阵.定理设，则是复正定矩阵的充要条件是0,定理设，则是复正定矩阵的充要条件是存在的某一阶顺序主子阵与均是复正定矩阵.定理设，则是复正定矩阵的充要条件是实数是复正定矩阵,其中是复正定矩阵.证明：必要性：是复正定矩阵当且仅当有,又与不同时为零,且，所以即是复正定矩阵.充分性：令即得.注对于定理,必要性这一结论说明阶复正定矩阵集合为一凸集;若条件改为,充分性就不一定成立.例如设是复正定矩阵,,则有是复正定矩阵,但不是复正定矩阵.正定矩阵的推广及其在线性互补问题中的应用正定矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类,其应用引起人们极大的研究兴趣.目前对正定矩阵的研究,主要集中在理论研究与工程应用方面.线性互补是线性规划和二次规划的推广,其一般形式是:求,满足,,其中.线性互补问题简记为.线性互补作为一类新的数学模型,它已成为数学规划的一个重要分枝,在矩阵对策,经济均衡,障碍,供应链等问题中有着重要的应用.对于一个给定的线性互补问题,它是否有解,是否存在唯一解,往往不是容易弄清的.关于线性互补问题解的存在性、唯一性已经成为优化界的一个热点问题.本文从广义正定矩阵的概念出发,把广义正定矩阵推广到P矩阵和S矩阵,指出这些矩阵类之间的关系,提出可以用该类正定矩阵来判别线性互补问题的解的存在性和唯一性.预备知识定义矩阵被称为半正定矩阵,如果对,都有;被称为正定矩阵,如果对,都有.这里定义的半正定矩阵与正定矩阵不限制是对称矩阵,因此,这样定义的正定矩阵我们称为广义正定矩阵.显然,广义正定矩阵包含一般正定矩阵.若无特别说明,本文以下所涉及的正定矩阵均为广义正定矩阵.定义矩阵被称为矩阵,如果,存在一分量使得;矩阵被称为矩阵,如果,存在一分量,使得.由定义可以得到:若是(或)矩阵,则也是(或)矩阵.结合定义和定义,则有半正定矩阵必是矩阵,正定矩阵必是矩阵.所以矩阵与矩阵分别是半正定矩阵与正定矩阵的推广.定义矩阵被称为矩阵,如果不等式组有解;矩阵被称为矩阵,如果不等式组有解组.由定义可以得到:正定矩阵必是矩阵.引理(择一公里)考虑一对齐次线性不等式组与;则有解的充分必要条件为无解.引理矩阵必是矩阵.证明：设是一矩阵但不是矩阵,即无解.而无解当且仅当无解.利用择一公里,则不等式组必有解.由此可知不是矩阵,这与是矩阵相矛盾.证毕.由此也可知,{正定矩阵}{矩阵}{矩阵}.引理若二次函数在一非空多面体S中有下界,则在中必有全局极小解.引理设矩阵是一半正定矩阵,对于任意,若是可行的,则必有解,且其解集为凸集.主要结果定理矩阵是一矩阵,当且仅当对于任意,线性互补问题有可行解.定理对于任意,有可行解,若,则不等式组有解.故可推出有解,即证明了是一矩阵.反之,若是一矩阵,令是的一个解.对于任意,取充分大,可得,即是的一个可行解.定理设矩阵是一正定矩阵,则对于任意,有唯一解.证明：因是正定矩阵,则必是矩阵.根据引理和定理,对于任意,必是可行的.再根据引理,有解,而且也必是二次规划的全局极小解.因目标函数是严格凸函数,故二次规划只有唯一解.这就证明也只有唯一解.结论通过以上分析，对正定矩阵判定性质、正定矩阵的简单应用作了一些归纳总结，对现在课程中的正定矩阵的判定及其应用进行了简单的研究,并从这些性质出发给出了一系列关于矩阵正定的判定条件，且利用这些判定条件证明了矩阵、不等式以及函数极值的相关问题.从而提高运用矩阵正定性思想解决问题证明问题的能力和技巧，熟练掌握矩阵正定的判定性质以及相关的结论，学习利用矩阵的正定性证明不等式的方法，了解利用矩阵的正定性证明矩阵相关问题的方法，深刻掌握利用矩阵的正定性求极值的方法.从而提高学习成绩，为以后的学习打下坚实的基础.致谢在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！本论文是在导师杨晶伟老师的细心指导下完成的。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！在四年的学习期间，得到许多同学的关心和帮助，在此表示深深的感谢。没有他们的帮助和支持是没有办法完成我的学士学位论文的，同窗之间的友谊永远长存。感谢我的父母亲，你们是我力量的源泉，只要有你们，不管面对什么样的困难，我都不会害怕.最后对老师，同学和家人再次致以我最衷心的感谢！参考文献岳贵鑫正定矩阵及其应用.辽宁省高等专科学报.2008年第5期詹仕林詹旭洲实正定矩阵的若干判据.安徽大学学报.2008年第3期黄毅复正定矩阵的充要条件.数学理论与应用.2008年第1期张文丽正定矩阵的简单应用.晋东南师范专科学校学报.2004年第2期路红军一类正定矩阵的性质及其应用.淮阴工学院学报.2003年第3期G.H.戈卢布C.F.范洛恩.矩阵计算.北京:科学出版社,2004程代展齐洪胜.矩阵的半张量积理论与应用.北京:科学出版社,2007.谢国瑞.应用矩阵方法.北京:化学工业出版社,1988.史明仁、杨中华、陈志、高旅瑞.工程中常用的矩阵计算方法.北京:北京工业大学出版社出版发行,1991.张永怀.数学考研新干线—线性代数.西安:西安交通大学出版社,2008.',)