角平分线的判定-2022-2023学年八年级数学上册同步精品课件(沪科版)

15.4.2角平分线的判定角平分线上的点到角两边的距离相等.知识回顾角平分线的性质：定理：PBAＯCD点到角两边垂线段的长度特别提醒：①点一定要在角平分线上②点到角两边的距离性质定理的作用：可用来证明两条线段相等.是指几何语言：∵OP是∠AOB的平分线，∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)且PC⊥OA，PD⊥OB推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个.探究新知角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的性质：定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.逆命题它是真命题吗？你能证明吗？到角两边距离相等的点在角的平分线上角的内部验证猜想角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP∴点P在∠AOB角的平分线上在Rt△PCO和Rt△PDO中(全等三角形的对应角相等)OP=OPPC=PD∵PC⊥OA，PD⊥OB∴∠PCO=∠PDO=90°∴Rt△PCO≌Rt△PDO∴∠AOP=∠BOPPBAＯCD已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是D、E，PC=PD.(公共边)(已知)(HL)(角平分线的定义)∵角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上归纳总结角平分线的判定：定理：应用所具备的条件：(1)位置关系：(2)数量关系：判定定理的作用：几何语言：∵PC⊥OA，∴点P在∠AOB的平分线上点在角的内部；该点到角两边的距离相等.判断点是否在角平分线上.(或OP平分∠AOP)PBAＯCD(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)PD⊥OB，且PC=PD.1、已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个巩固练习D知识拓展：判定角平分线的方法：①角平分线的定义②角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.(角平分线的判定定理)2、如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.巩固练习∴AD平分∠BAC证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB∴∠BED＝∠CFD＝90°在△BED和△CFD中∠BDE=∠CDF∠BED＝∠CFDBE=CF∵∴△BED≌△CFD∴DE＝DF又∵DF⊥AC，DE⊥AB(AAS)(垂直的定义)(对顶角相等)(已证)(已知)(全等三角形的对应边相等)(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线ABCEFD3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线.证明：∵D是BC的中点∴BD＝CD在Rt△BED和Rt△CFD中BD=CDBE=CF∵(中点的定义)(已证)(已知)又∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠EBD=∠CFD=90°∴AD平分∴△BED≌△CFD∴DE＝DF又∵DE⊥AB，DF⊥AC(HL)(全等三角形的对应边相等)(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)(垂直的定义)4、已知：如图，在△ABC中，BD＝CD，∠1=∠2.求证：AD平分∠BACDEFABC12证明：过点D作DF⊥AC于FDE⊥AB于E，在△BED和△CFD中∠BDE=∠CDF∠1=∠2BD＝CD∵∴△BED≌△CFD∴DE＝DF又∵DE⊥AB，DF⊥AC(AAS)(全等三角形的对应边相等)则∠BDE=∠CDF=90°(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)∴AD平分∠BAC知识拓展：过角平分线上的一点向角两边作垂线段，再利用角平分线的性质或判定定理解决问题.解决有关角平分线问题最常用的作辅助线的方法：AOBP12EF5、已知PA=PB，∠1+∠2=180°,求证：OP平分∠AOB证明：过点P作PF⊥OB于FPE⊥OA于E，则∠PEA=∠PFB=90°∵∠1+∠2=180°，∠PBF+∠2=180°在△PEA和△PFB中∠PEA=∠PFB∠1=∠PBFPA=PB∵∴△PEA≌△PFB∴PE＝PF又∵PE⊥OA，PF⊥OB(AAS)(全等三角形的对应边相等)∴OP平分∴∠1=∠PBF(同角的补角相等)(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线6、已知：如图，线段CD与∠AOB，通过作图求一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等.BAOOCD巩固练习7、已知：如图：△ABC中，∠B和∠C的角平分线相交于点P求证：AP平分∠BACABCPEFNGM∵点P在∠ABC的平分线上证明：∴PM=PG过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PG⊥BC于G(角平分线上的点到角两边的距离相等)∴PM=PN∴PG=PN∴AP平分∠BAC∵点P在∠ACB的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)(角平分线上的点到角两边的距离相等)(等量代换)三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.三角形的角平分线的性质定理：这一点叫做三角形的内心.8、如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A.35°B.125°C.55°D.135°DEFB知识拓展：三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.9、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．巩固练习MGN证明：过点F作FM⊥AE于M，FN⊥AB于N，FG⊥BC于G.∵CF平分∠BCE∴FM=FG又∵BF平分∠CBD∴FG=FN∴FM=FN∴点F在∠DAE的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)知识拓展：三角形两外角平分线的交点到三边的距离相等10、如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处?画出它的位置.P1P2P3P4l1l2l比一比图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质(角的内部的)点到角两边的距离相等点在角平分线上性质判定11、如图，△ABC的周长为l，点P为三角形内角平分线的交点，点P到AB的距离为r，试求△ABC的面积.BCPEFDA证明：过点P作PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，连接PA，PB，PC.PD⊥BC于D，∵点P为三角形内角平分线的交点∴PF=PD=PE=arrr∴S△ABC=S△ABP=12AB×PFBC×PD+12AC×PE+12+S△BPC+S△APC=12AB×rBC×r+12AC×r+12=12r×(AB+BC+AC)又∵△ABC的周长为l∴S△ABC=12rl11、如图，△ABC的周长为l，点P为三角形内角平分线的交点，点P到AB的距离为a，试求△ABC的面积.BCPEFDArrrS△ABC=12rl知识拓展：r是内心到边的距离l是三角形的周长即S△ABC=12内心到边的距离×三角形的周长12、如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，若OD=3，△ABC的周长为15，求S△ABC.ABCOFDE证明：过点O作DF⊥AC于F，OE⊥AB于E，连接AO.∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，且OD⊥BC∴OD=OE=OF∴S△ABC=S△ABO=12AB×OEBC×OD+12AC×OF+12=12AB×ODBC×OD+12AC×OD+12=12OD×(AB+BC+AC)又∵OD=3，△ABC的周长为15∴S△ABC=12×3×15=22.5+S△BOC+S△AOC∴OD=OE，OD=OF13、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=7，AC=25，BC=24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．FDE13、如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D.(1)求证：∠AOB=90°+∠C；(2)求证：AE+BF=EF；(3)若OD=a，CE+CF=2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF=(直接写出结果).12G角平分线上的点到角两边的距离相等.知识回顾角平分线的性质：定理：PBAＯCD点到角两边垂线段的长度特别提醒：①点一定要在角平分线上②点到角两边的距离性质定理的作用：可用来证明两条线段相等.是指几何语言：∵OP是∠AOB的平分线，∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)且PC⊥OA，PD⊥OB推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个.比一比图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质(角的内部的)点到角两边的距离相等点在角平分线上性质判定