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2022年全国统一高考数学卷(新高考2卷)含答案解析(原卷版)

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2022年全国统一高考数学卷(新高考2卷)含答案解析(原卷版)


('…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考2卷)数学副标题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题)一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.已知集合A={−1,1,2,4},B={x∨¿x−1∨≤1},则A∩B=¿()A.{−1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{−1,4}2.(2+2i)(1−2i)=¿()A.−2+4iB.−2−4iC.6+2iD.6−2i3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图,AA′,BB′,CC′,DD′是桁,DD1,CC1,BB1,AA1是脊,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的脊步的比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3,若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列,直线OA的斜率为0.725,则k3=¿()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.94.已知向量a⃗=(3,4),b⃗=(1,0),c⃗=a⃗+tb⃗,若¿a⃗,c⃗>¿¿,则实数t=¿()A.−6B.−5C.5D.6第1页,共1页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有()A.12种B.24种C.36种D.48种6.若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ,则()A.tan(α+β)=−1B.tan(α+β)=1C.tan(α−β)=−1D.tan(α−β)=17.已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为3√3和4√3,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.100πB.128πC.144πD.192π8.若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1,则∑k=122f(k)=¿()A.−3B.−2C.0D.1二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称,则()A.f(x)在(0,5π12)单调递减B.f(x)在(−π12,11π12)有两个极值点C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的一条对称轴D.直线y=√32−x是曲线y=f(x)的一条切线10.已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若¿AF∨¿∨AM∨¿,则()A.直线AB的斜率为2√6B.¿OB∨¿∨OF∨¿C.¿AB∨¿4∨OF∨¿D.∠OAM+∠OBM<180∘11.如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB/¿ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E−ACD,F−ABC,F−ACE的体积分别为V1,V2,V3,则()A.V3=2V2B.V3=2V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V112.若实数x,y满足x2+y2−xy=1,则()A.x+y≤1B.x+y≥−2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1第II卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)第2页,共2页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………13.随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(22.5)=¿.14.曲线y=ln∨x∨¿经过坐标原点的两条切线方程分别为,.15.设点A(−2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:¿有公共点,则a的取值范围为.16.已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴y轴分别相交于M,N两点,且¿MA∨¿∨NB∨¿,¿MN∨¿2√3,则直线l的方程为.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.¿本小题10.0分¿已知{an}为等差数列,{bn}为公比为2的等比数列,且a2−b2=a3−b3=b4−a4.(1)证明:a1=b1;(2)求集合{k∨bk=am+a1,1≤m≤500}中元素个数.18.¿本小题12.0分¿记△ABC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,且S1−S2+S3=√32,sinB=13.(1)求△ABC的面积;(2)若sinAsinC=√23,求b.19.¿本小题12.0分¿在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;¿同一组数据用该区间的中点值作代表¿(2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间¿的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间¿的人口数占第3页,共1页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………该地区总人口数的16%,从该地区选出1人,若此人的年龄位于区间¿,求此人患这种疾病的概率¿精确到0.0001¿.20.¿本小题12.0分¿如图,PO是三棱锥P−ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点.(1)证明:OE/¿平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30∘,PO=3,PA=5,求二面角C−AE−B正弦值.21.¿本小题12.0分¿设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±√3x.(1)求C的方程;(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M,从下面三个条件①②③中选择两个条件,证明另一个条件成立:①M在AB上;②PQ/¿AB;③∨AM∨¿∨BM∨¿.22.¿本小题12.0分¿已知函数f(x)=xeax−ex.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)<−1,求实数a的取值范围;(3)设n∈N¿,证明:1√12+1+1√22+2+⋯+1√n2+n>ln(n+1).第4页,共2页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了集合的交集运算.【解答】解:方法一:通过解不等式可得集合B={x∨0≤x≤2},则A∩B={1,2},故B正确.法二:代入排除法.x=−1代入集合B={x∨¿x−1∨≤1},可得¿x−1∨¿∨−1−1∨¿2>1,x=−1,不满足,排除A、D;x=4代入集合B={x∨¿x−1∨≤1},可得¿x−1∨¿∨4−1∨¿3>1,x=4,不满足,排除C,故B正确.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算,为基础题.【解答】解:(2+2i)(1−2i)=2−4i+2i−4i2=2−2i+4=6−2i.3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列、直线的斜率与倾斜角的关系,比例的性质,属于中档题.【解答】解:设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3′由题意得k3=k1+0.2,k3=k2+0.1,且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725,解得k3=0.9.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的坐标运算和夹角运算,属于基础题。【解答】解:由已知有c⃗=(3+t,4),cos¿cos¿,故9+3t+16¿c⃗∨⋅5=3+tc⃗⋅1,解得t=5.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的运用,属于基础题.第5页,共1页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解答】解:先利用捆绑法排乙丙丁成四人,再用插空法选甲的位置,则有A22A33C21=24种.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一:利用特殊值法,排除错误选项即可法二,利用三角恒等变换,求出正确选项【解答】解:解法一:设β=0则sinα+cosα=0,取α=34π,排除B,D再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ,取β=π4,排除A;选C.解法二:由sin(α+β)+cos(α+β)=√2sin(α+β+π4)=√2sin[(α+π4)+β]¿√2sin(α+π4)cosβ+√2cos(α+π4)sinβ,故❑√2sin(α+π4)cosβ=√2cos(α+π4)sinβ故sin(α+π4)cosβ−cos(α+π4)sinβ=0,即sin(α+π4−β)=0,故sin(α−β+π4)=√22sin(α−β)+√22cos(α−β)=0,故sin(α−β)=−cos(α−β),故tan(α−β)=−1.7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用,球体表面积公式的应用.【解答】解:由题意易得上底面所在平面截球面所得圆的半径为3,下底面所在平面截球面所得圆的半径为4,设该球的半径为R,当正三棱台的上、下底面在球心异侧时,有√R2−32+√R2−42=1,无解;所以正三棱台的上、下底面在球心同侧,所以√R2−32−√R2−42=1,解得R2=25,因此该球的表面积为S=4πR2=100π.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数性质的应用,涉及函数的周期与赋值法的应用。【解答】解:令y=1得f(x+1)+f(x−1)=f(x)⋅f(1)=f(x)⇒f(x+1)=f(x)−f(x−1)故f(x+2)=f(x+1)−f(x),f(x+3)=f(x+2)−f(x+1),消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=−f(x),故f(x)周期为6;令x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)⇒f(0)=2,第6页,共2页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………f(2)=f(1)−f(0)=1−2=−1,f(3)=f(2)−f(1)=−1−1=−2,f(4)=f(3)−f(2)=−2−(−1)=−1,f(5)=f(4)−f(3)=−1−(−2)=1,f(6)=f(5)−f(4)=1−(−1)=2,故∑k=122f(k)=3[f(1)+f(2)+⋯+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)¿f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(−1)+(−2)+(−1)=−3即∑k=122(¿k)=−3¿.9.【答案】AD【解析】【分析】解:由题意得:f(2π3)=sin(4π3+φ)=0,所以4π3+φ=kπ,即φ=−4π3+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以k=2时,φ=2π3,故f(x)=sin(2x+2π3).选项A:x∈(0,5π12)时,2x+2π3∈(2π3,3π2),由y=sinu图象知f(x)在(0,5π12)单调递减;选项B:x∈(−π12,11π12)时,2x+2π3∈(π2,5π2),由y=sinu图象知f(x)在(−π12,11π12)有1个极值点;选项C:由于f(7π6)=sin3π=0,故直线x=7π6不是f(x)的对称轴;选项D:令f′(x)=2cos(2x+2π3)=−1,得cos(2x+2π3)=−12,解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,从而得x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,令k=0,则(0,√32)是斜率为−1的直线与曲线的切点,从而切线方程为y−√32=−(x−0),即y=√32−x.【解答】本题考查三角函数的图象与性质,三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心,函数的极值,切线方程的求解,属于中档题.第7页,共1页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义和性质,属于中档题。【解答】解:选项A:设FM中点为N,则xA=xN=p2+p2=34p,所以yA2=2pxA=2p⋅34p=32p2(yA>0),所以yA=√62p,故kAB=√62p34p−p2=2√6.选项B:1¿AF∨¿+1¿BF∨¿=2p⇒134p+p2+1¿BF∨¿=2p⇒∨BF∨¿56p=XB+p2⇒XB=p3¿¿¿所以yB2=2p⋅p3=2p23.所以¿OB∨¿xB2+yB2=p29+2p23❑=7p29≠p24.选项C:∨AB∨¿34p+p3+p=2512p>2p=4∨OF∨¿.选项D:由选项A,B知A(34p,√62p),B(p3,−√63p),所以OA⃗⋅OB⃗=(34p,√62p)(p3,−√63p)=p24−p2=−34p2<0,所以∠AOB为钝角;又MA⃗·MB⃗=(−p4,√62p).(−p3,−√63)=−1112p2<0,所以∠AMB为钝角,所以∠OAM+∠OBM<180∘.11.【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查三棱锥的体积,属于基础题.【解答】解:设AB=ED=2FB=2,则V1=13×2×2=43,V2=13×2×1=23.连结BD交AC于M,连结EM、FM,则FM=√3,EM=√6,EF=3,故S△EMF=12⋅√3⋅√6=3√22,V3=13S△EMF×AC=2,V3=V1+V2,2V3=3V1.12.【答案】BC【解析】【分析】第8页,共2页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………本题考查利用基本不等式求最值,属于中档题.利用¿以及x2+y2=¿,进行求解.【解答】解:因为x2+y2−xy=1,所以¿,化简得¿,所以−2≤x+y≤2.故A错,B对;由x2+y2=¿,则¿,故xy⩽1,则x2+y2=1+xy⩽2,当x=√33,y=−√33时,满足x2+y2−xy=1,但此时x2+y2⩾1不成立,故C对,D错.13.【答案】0.14【解析】【分析】本题考查了正态分布的意义,正态曲线的对称性及其应用.【解答】解:由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)−P(20时,点(x1,lnx1)(x1>0)上的切线为y−lnx1=1x1(x−x1).若该切线经过原点,则lnx1−1=0,解得x=e,此的切线方程为y=xe.当x<0时,点(x2,ln(−x2))(x2<0)上的切线为y−ln(−x2)=1x2(x−x2).若该切线经过原点,则ln(−x2)−1=0,解得x=−e,此时切线方程为y=−xe.15.【答案】[13,32]【解析】【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法,直线与圆的位置关系的应用,属于中档题.【解答】第9页,共1页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………解:因为kAB=a−32,所以AB关于直线y=a的对称直线为(3−a)x−2y+2a=0,所以3(a−3)+4+2a√4+(3−a)2⩽1,整理可得6a2−11a+3⩽0,解得13≤a≤32.16.【答案】x+√2y−2√2=0【解析】【分析】本题考查了椭圆的中点弦问题,属于偏难题。【解答】解:取AB的中点为E,因为¿MA∨¿∨NB∨¿,所以¿ME∨¿∨NE∨¿,设A(x1,y1),B(x2,y2)可得y1+y2x1+x2×y1−y2x1−x2=−12,即kOE.kAB=−12.设直线AB:y=kx+m,k<0,m>0,令x=0,y=m,令y=0,x=−mk,所以E(−m2k,m2),所以k×m−mk=−k2=−12,k=−√22,m2+2m2=12,m=2,所以直线AB:y=−√22x+2,即x+√2y−2√2=0.17.【答案】解:(1)设等差数列{an}公差为d由a2−b2=a3−b3,知a1+d−2b1=a1+2d−4b1,故d=2b1由a2−b2=b4−a4,知a1+d−2b1=8b1−(a1+3d),故a1+d−2b1=4d−(a1+3d);故a1+d−2b1=d−a1,整理得a1=b1,得证.(2)由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1知:b1⋅2k−1=a1+(m−1)⋅d+a1即b1⋅2k−1=b1+(m−1)⋅2b1+b1,即2k−1=2m,因为1≤m⩽500,故2≤2k−1≤1000,解得2≤k≤10,故集合{k∨bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9个.【解析】本题考查等差、等比数列的通项公式,解指数不等式,集合中元素的个数问题,属于中档题.18.【答案】解:(1)∵边长为a的正三角形的面积为√34a2,∴S1−S2+S3=√34(a2−b2+c2)=√32,即accosB=1,由sinB=13得:cosB=2√23,∴ac=1cosB=3√24,故S△ABC=12acsinB=12×3√24×13=√28.第10页,共2页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………(2)由正弦定理得:b2sin2B=asinA.csinC=acsinAsinC=3√24√23=94,故b=32sinB=12.【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形(1)利用余弦定理与正三角形的面积求得ac,继而利用面积公式求解(2)利用正弦定理进行变形,即可求解19.【答案】解:(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×岁¿(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间¿},则P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89(3)设B={任选一人年龄位于区间¿},C={任选一人患这种疾病},则由条件概率公式,得P(C∨B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014.【解析】本题考查了平均数,概率的求法,考查频率分布直方图、条件概率等知识.20.【答案】解:(1)法一:连接OA、OB,因为PO是三棱锥P−ABC的高,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,所以∠POA=∠POB=90∘,又PA=PB,PO=PO,所以△POA≌△POB,所以OA=OB,作AB中点D,连接OD、DE,则有OD⊥AB,又AB⊥AC,所以OD/¿AC,又因为OD⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,所以OD/¿平面PAC,又D、E分别为AB、PB的中点,所以,在△BPA中,DE/¿PA又因为DE⊄̸平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE/¿平面PAC,又OD、DE⊂平面ODE,OD∩DE=D,所以平面ODE/¿平面PAC,又OE⊂平面ODE,所以OE/¿平面PAC;法二:(1)连接OA、OB,因为PO是三棱锥P−ABC的高,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,所以∠POA=∠POB=90∘,又PA=PB,PO=PO,所以△POA≌△POB,所以OA=OB,又AB⊥AC,在Rt△ABF,O为BF中点,延长BO,交AC于F,连接PF,所以在△PBF中,O、E分别为BF、PB的中点,所以EO/¿PF,因为EO⊄平面PAC,PF⊂平面PAC,所以EO/¿平面PAC;(2)法一:过点D作DF/¿OP,以DB为x轴,DO为y轴,DF为z轴.建立如图所示的空间直角坐标系.第11页,共1页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………因为PO=3,PA=5,由(1)OA=OB=4,又∠ABO=∠CBO=30∘,所以OD=2,DB=2√3,所以P(0,2,3),B(2√3,0,0),A(−2√3,0,0),E(√3,1,32),设AC=a,则C(−2√3,a,0),平面AEB的法向量设为n1⃗=(x1,y1,z1),直线AB的方向向量可设为a⃗=(1,0,0),直线DP⊂平面AEB,直线DP的方向向量为b⃗=(0,2,3){a⃗⋅n1⃗=0b⃗⋅n1⃗=0,所以{x1=02y1+3z1=0,所以x1=0,设y1=3,则z1=−2,所以n1⃗=(0,3,−2);平面AEC的法向量设为n2⃗=(x2,y2,z2),AC⃗=(0,a,0),AE⃗=(3√3,1,32){AC⃗⋅n2⃗=0AE⃗⋅n2⃗=0,所以{ay2=03√3x2+y2+32z2=0,所以y2=0,设x2=√3,则z2=−6,所以n⃗=(√3,0,−6);所以cos¿n1⃗·n2⃗¿n1⃗∨⋅∨n2⃗∨¿=12√13×√39=1213√3=4√313¿,二面角C−AE−B的平面角为θ,则sinθ=√1−cos2θ=1113,所以二面角C−AE−B的正弦值为1113法二:(2)过点A作AF/¿OP,以AB为x轴,AC为y轴,AF为z轴建立所示的空间直角坐标系.因为PO=3,PA=5,由(1)OA=OB=4,又∠ABO=∠CBO=30°,所以,AB=4√3,所以P(2√3,2,3),B(4√3,0,0),A(0,0,0),E(3√3,1,32),设AC=a,则C(0,a,0),平面AEB的法向量设为n1⃗=(x1,y1,z1),AB⃗=(4√3,0,0),AE⃗=(3√3,1,32)第12页,共2页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………{AB⃗⋅n1⃗=0AE⃗⋅n2⃗=0,所以{4√3x1=03√3x1+y1+32z1=0,所以x1=0设z1=−2,则y1=3,所以n1⃗=(0,3,−2);平面AEC的法向量设为n2⃗=(x,y,z),AC⃗=(0,a,0),AE⃗=(3√3,1,32){AC⃗⋅n2⃗=0AE⃗⋅n2⃗=0,所以{ay2=03√3x2+y2+32z2=0,所以y2=0,设x2=√3,则z2=−6,所以n2⃗=(√3,0,−6);所以cos¿n1⃗·n2⃗¿n1⃗∨⋅∨n2⃗∨¿=12√13×√39=√1213√3=4√313¿二面角C−AE−B的平面角为θ,则sinθ=√1−cos2θ=1113,所以二面角C−AE−B的正弦值为1113.【解析】本题考查线面平行与二面角的求解,考查学生的空间想象与计算能力,有一定的难度.21.【答案】解:(1)由题意可得ba=√3,√a2+b2=2,故a=1,b=√3.因此C的方程为x2−y23=1.(2)设直线PQ的方程为y=kx+m(k≠0),将直线PQ的方程代入C的方程得(3−k2)x2−2kmx−m2−3=0,则x1+x2=2km3−k2,x1x2=−m2+33−k2,x1−x2=√¿¿.设点M的坐标为(xM,yM),则{yM−y1=−√3(xM−x1)yM−y2=√3(xM−x2).两式相减,得y1−y2=2√3xM−√3(x1+x2),而y1−y2=(kx1+m)−(kx2+m)=k(x1−x2),故2√3xM=k(x1−x2)+√3(x1+x2),解得xM=k√m2+3−k2+km3−k2.两式相加,得2yM−(y1+y2)=√3(x1−x2),而y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m,故第13页,共1页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2yM=k(x1+x2)+√3(x1−x2)+2m,解得yM=3√m2+3−k2+3m3−k2=3kxM⋅因此,点M的轨迹为直线y=3kx,其中k为直线PQ的斜率.若选择①②:设直线AB的方程为y=k(x−2),并设A的坐标为(xA,yA),B的坐标为(xB,yB).则{yA=k(xA−2)yA=√3xA,解得xA=2kk−√3,yA=2√3kk−√3.同理可得xB=2kk+√3,yB=−2√3kk+√3.此时xA+xB=4k2k2−3,yA+yB=12kk2−3.而点M的坐标满足{yM=k(xM−2)yM=3kxM,解得xM=2k2k2−3=xA+xB2,yM=6kk2−3=yA+yB2,故M为AB的中点,即¿MA∨¿∨MB∨¿.若选择①③:当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时M不在直线y=3kx上,矛盾.故直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=p(x−2)(p≠0),并设A的坐标为(xA,yA),B的坐标为(xB,yB).则{yA=p(xA−2)yA=√3xA,解得xA=2pp−√3,yA=2√3pp−√3.同理可得xB=2pp+√3,yB=−2√3pp+√3.此时xM=xA+xB2=2p2p2−3,yM=yA+yB2=6pp2−3.由于点M同时在直线y=3kx上,故6p=3k·2p2,解得k=p.因此PQ/¿AB.若选择②③:设直线AB的方程为y=k(x−2),并设A的坐标为(xA,yA),B的坐标为(xB,yB).则{yA=k(xA−2)yA=√3xA解得xA=2kk−√3,yA=2√3kk−√3.同理可得xB=2kk+√3,yB=−2√3kk+√3,设AB的中点为C(xC,yC),则xC=xA+xB2=2k2k2−3,yC=yA+yB2=6kk2−3.第14页,共2页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………由于¿MA∨¿∨MB∨¿,故M在AB的垂直平分线上,即点M在直线y−yC=−1k(x−xC)上.将该直线与y=3kx联立,解得xM=2k2k2−3=xC,yM=6kk2−3=yC,即点M恰为AB中点,故点而在直线AB上.【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质,考查直线与双曲线的位置关系,考查开放探究能力,属于压轴题.22.【答案】解:(1)a=1⇒f(x)=xex−ex=(x−1)ex⇒f′(x)=xex当x∈(−∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=f(x)+1=xeax−ex+1(x≥0)⇒g(x)≤g(0)=0对∀x≥0恒成立又g′(x)=eax+axeax−ex⇒g′(0)=0令h(x)=g′(x)⇒h′(x)=aeax+a(eax+axeax)−ex=a(2eax+axeax)−ex,则h′(0)=2a−1①若h′(0)=2a−1>0,即a>12,h′(0)=limx→0+¿g′(x)−g′(0)x−0=limx→0+¿g′(x)x>0¿¿¿¿所以∃x0>0,使得当x∈(0,x0)时,有g′(x)x>0⇒g′(x)>0⇒g(x)单调递增⇒g(x0)>g(0)=0,矛盾②若h′(0)=2a−1≤0,即a≤12时,g′(x)=eax+axeax−ex=eax+ln(1+ax)−ex≤e12x+ln(1+12x)−ex≤e12x+12x−ex=0⇒g(x)在¿上单调递减,g(x)≤g(0)=0,符合题意.综上所述,实数a的取值范围是a≤12.(3)求导易得t−1t>2lnt(t>1)令t=√1+1n⇒√1+1n−1√1+1n>2ln√1+1n⇒1n√1+1n>ln(1+1n)⇒1√n2+n>ln(n+1n)⇒∑k=1n1√k2+k>∑k=1nln(k+1k)=ln(21⋅32⋯n+1n)=ln(n+1)即1√12+1+1√22+2+⋯+1√n2+n>ln(n+1),证毕.第15页,共1页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解析】本题考查了利用导数判断或证明已知函数的单调性和利用导数解¿证明¿不等式,属于难题。第16页,共2页',)


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