2022高考数学真题及解析完美版

("2022高考数学真题及解析【完美版】1、2022年全国统一高考数学试卷（新高考ⅰ）2、2022年全国统一高考数学试卷（新高考ⅱ）3、2022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）4、2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）5、2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）6、2022年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）7、2022年北京市高考数学试卷8、2022年广东省高考数学试卷（新高考ⅰ）9、2022年湖南省高考数学试卷（新高考ⅰ）10、2022年山东省高考数学试卷（新高考ⅰ）11、2022年上海市春季高考数学试卷12、2022年浙江省高考数学试卷第1页（共25页）2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x＜4}，N＝{x3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x0≤x＜2}B．{x≤x＜2}C．{x3≤x＜16}D．{x≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。第2页（共25页）（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．OP•OQ＞OA2D．BP•BQ＞BA2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE＝6，则△ADE的周长是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．第3页（共25页）（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（AB），P（A）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R第4页（共25页）的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．第5页（共25页）2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x＜4}，N＝{x3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x0≤x＜2}B．{x≤x＜2}C．{x3≤x＜16}D．{x≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x＜4}＝{x0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x3x≥1}＝{xx}，∴M∩N＝{x0≤x＜16}∩{xx}＝{x≤x＜16}．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．【解答】解：如图，第6页（共25页）＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）第7页（共25页）A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为．故选：D．【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．3【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则（f）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b第8页（共25页）【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f'（x）＝，x＞0，当f'（x）＝0时，x＝1，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，∴，∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e0.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）第9页（共25页）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，∴，∴，∴l2＝6h，又∵3≤l≤3，∴，∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），∴当时，V'（h）＞0，V（h）单调递增；当4时，V'（h）＜0，V（h）单调递减，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝，V（）＝，且，∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．第10页（共25【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，第11页（共25∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y＝2x是曲线y＝（fx）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，第12页（共25过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．OP•OQ＞OA2D．BP•BQ＞BA2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及第13页（共25了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，∴x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，进而可得g（）＝g（）＝0，故x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，第14页（共25∴（，t）关于x＝的对称点为（﹣，t），∴g（﹣）＝f′（）＝0，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错第15页（共25误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r2＝4，如图：∵OC＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0，第16页（共25由，解得b＝（负值舍去），则l1：3x+4y﹣5＝0；由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣1，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，第17页（共25即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE＝6，则△ADE的周长是13．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，AD＝DF2，AE＝EF2，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，DE＝＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于DE+DF2+EF2＝4a＝8c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第18页（共2517．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，........，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．第19页（共2518．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、第20页（共25转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V＝V，∴S•d＝，∴×2•d＝，解得d＝．（2）连接AB1交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，第20页（共25∵AA1＝AB，∴BC×AB×＝2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则＝（0，2，0），＝（1，1，1），＝（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，0，﹣1），设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，c），，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（0，1，﹣1），cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（AB），P（A）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R第21页（共25：＝的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（AB）＝＝，＝＝，P（B）＝1﹣P（AB）＝，P（）＝1﹣P（A）＝，所以R＝×＝6．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，第22页（共25Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得，化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化简得：2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣1）＝0，而直线l不过A点，故k＝﹣1；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，β（α＜β），因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，第23页（共25因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，点A到直线PQ的距离，故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f'（x）和g'（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f'（x）＝ex﹣a，g'（x）＝a﹣，∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣在x∈（0，+∞）上单调递增，∴函数f'（x）和函数g'（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f'（x）＝0时，x＝lna，当g'（x）＝0时，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，第24页（共25∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝1+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，所以函数u（x）在（1，+∞）上单调递增，因为u（1）＝e﹣2＞0，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x≥1时恒成立，所以x≥1时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，1）上存在唯一交点，设该交点为（m，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），即b＝f（m），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣2m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，由0＜m＜1，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由0＜m＜1，得m＜1＜em，第25页（共25所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣2m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．第1页（共242022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{xx﹣1≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}2．（5分）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4iB．﹣2﹣4iC．6+2iD．6﹣2i3．（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.94．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（）A．﹣6B．﹣5C．5D．65．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种6．（5分）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1第2页（共24C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣17．（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3B．﹣2C．0D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（）A．f（x）在区间（0，）单调递减B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点C.直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴D.直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线（多选）10．（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若AF＝AM，则（）A．直线AB的斜率为2B．OB＝OFC．AB＞4OFD．∠OAM+∠OBM＜180°（多选）11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V1第3页（共24（多选）12．（5分）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥﹣2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝．14．（5分）曲线y＝lnx过坐标原点的两条切线的方程为，．15．（5分）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是．16．（5分）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且MA＝NB，MN＝2，则l的方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）证明：a1＝b1；（2）求集合{kbk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．19．（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．第4页（共2420．（12分）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．21．（12分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③MA＝MB．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．22．（12分）已知函数f（x）＝xeax﹣ex．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；（3）设n∈N，证明：++…+＞ln（n+1）．第5页（共242022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{xx﹣1≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}【分析】解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可．【解答】解：x﹣1≤1，解得：0≤x≤2，∴集合B＝{x0≤x≤2}∴A∩B＝{1，2}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．2．（5分）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4iB．﹣2﹣4iC．6+2iD．6﹣2i【分析】由已知结合复数的四则运算即可求解．【解答】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．故选：D．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．3．（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）第6页（共24A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【分析】由题意，结合等差数列的性质求解即可．【解答】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，且，解得k3＝0.9，故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质，结合阅读材料，考查学生的知识运用能力，是基础题．4．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（）A．﹣6B．﹣5C．5D．6【分析】先利用向量坐标运算法则求出＝（3+t，4），再由＜，＞＝＜，＞，利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数t的值．【解答】解：∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，∴＝（3+t，4），∵＜，＞＝＜，＞，∴＝，∴＝，解得实数t＝5．第7页（共24故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有＝48种情况，甲站在两端的情况有＝24种情况，∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．6．（5分）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1C.tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1【分析】由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求α﹣β，进而可求．【解答】解：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，即sin（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，所以sin（）＝0，所＝kπ，k∈Z，第8页（共24所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．7．（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圆的半径，作出轴截面图，根据几何知识可求得球的半径，进而得到其表面积．【解答】解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得，解得R＝5，∴该球的表面积为4πR2＝4π×25＝100π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能力要求较高，属于较难题目．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3B．﹣2C．0D．1【分析】先根据题意求得函数f（x）的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），第9页（共24∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴，∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（）A．f（x）在区间（0，）单调递减B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴D.直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、D的真假．第10页（共24【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）单调递减，A正确；x∈（﹣，），2x+∈（，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；结合正弦函数的图象可知，直线y＝显然与y＝sin（2x+）相切，故直线y＝显然是曲线的切线，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）10．（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若AF＝AM，则（）第11页（共24A．直线AB的斜率为2B．OB＝OF，，，，第12页（共24C．AB＞4OFD．∠OAM+∠OBM＜180°【分析】由已知可得A的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得B点坐标，然后逐一分析四个选项得答案．【解答】解：如图，∵F（，0），M（p，0），且AF＝AM，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，OF＝，OB≠OF，故B错误；AB＝＞2p＝4OF，故C正确；，∵OA2+OB2＜AB2，AM2+BM2＜AB2，∴∠AOB，∠AMB均为钝角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．（多选）11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）第13页（共24A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V1【分析】利用等体积法，先求出几何体的体积V，再求出三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC的体积V1、V2，V3＝V﹣V1﹣V2，可得V1、V2、V3之间的关系．【解答】解：设AB＝ED＝2FB＝2，∵ED⊥平面ABCD，∴ED为四棱锥E﹣ABCD的高，∵FB∥ED，∴FB为三棱锥F﹣ABC的高，∵平面ADE∥平面FBC，∴点E到平面FBC的距离等于点D到平面FBC的距离，即三棱锥E﹣FBC的高＝DC＝2，几何体的体积V＝VE﹣ABCD+VE﹣FBC+VE﹣ABF＝×SABCD×ED+×S△FBC×DC+×S△ABF×AB＝4，V1＝×S△ACD×ED＝，V2＝×S△ABC×FB＝，V3＝V﹣V1﹣V2＝2．故C、D正确，A、B错误．故选：CD．【点评】本题主要考查组合体的体积，熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键．（多选）12．（5分）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥﹣2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【分析】原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．第14页（共24【解答】解：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，令，则，∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，故C对，D错，故选：BC．【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝0.14．【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴P（2＜X≤2.5）+P（X＞2.5）＝0.5，∴P（X＞2.5）＝0.5﹣0.36＝0.14，故答案为：0.14．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．14．（5分）曲线y＝lnx过坐标原点的两条切线的方程为x﹣ey＝0，x+ey＝0．【分析】当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表达出切线方程，再把原点代入即可求出x0的值，从而得到切线方程，当x＜0时，根据对称性可求出另一条切线方程．【解答】解：当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），∵y'＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，第15页（共24∴x0＝e，∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，∴切线方程也关于y轴对称，∴切线方程为x+ey＝0，综上所述，曲线y＝lnx经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．15．（5分）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是[，]．【分析】求出AB的斜率，然后求解直线AB关于y＝a对称的直线方程，利用圆的圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解a的范围即可．【解答】解：点A（﹣2，3），B（0，a），kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的向量为：，所以对称直线方程为：y﹣a＝，即：（3﹣a）x﹣2y+2a＝0，（x+3）2+（y+2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1，所以，得12a2﹣22a+6≤0，解得a∈[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16．（5分）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且MA＝NB，MN＝2，则l的方程为x+y﹣2＝0．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，可得kOE•kAB＝•＝﹣，设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），可得E（﹣，），kOE＝﹣k，进而得出k，再利用MN＝2，解得m，即可得出l的方程．第16页（共24【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣，则kOE•kAB＝•＝＝﹣，设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），∴E（﹣，），∴kOE＝﹣k，∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，∵MN＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，故答案为：x+y﹣2＝0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）证明：a1＝b1；（2）求集合{kbk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），根据这两式即可证明a1＝b1；（2）由题设条件可知2k﹣1＝2m，由m的范围，求出k的范围，进而得出答案．【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，由a2﹣b2＝a3﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，则d＝2b1，由a2﹣b2＝b4﹣a4，得a1+d﹣2b1＝8b1﹣（a1+3d），即a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），第17页（共24∴a1＝b1．（2）由（1）知，d＝2b1＝2a1，由bk＝am+a1知，，∴，即2k﹣1＝2m，又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10，故集合{kbk＝am+a1，1≤m≤500}中元素个数为9个．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．【分析】（1）根据S1﹣S2+S3＝，求得a2﹣b2+c2＝2，由余弦定理求得ac的值，根据S＝acsinB，求△ABC面积．（2）由正弦定理得∴a＝，c＝，且ac＝，求解即可．【解答】解：（1）S1＝a2sin60°＝a2，S2＝b2sin60°＝b2，S3＝c2sin60°＝c2，∵S1﹣S2+S3＝a2﹣b2+c2＝，解得：a2﹣b2+c2＝2，∵sinB＝，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，∴cosB＝，∴cosB＝＝，解得：ac＝，S△ABC＝acsinB＝．第18页（共24∴△ABC的面积为．（2）由正弦定理得：＝＝，∴a＝，c＝，由（1）得ac＝，∴ac＝•＝已知，sinB＝，sinAsinC＝，解得：b＝．【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．19．（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．【分析】（1）利用平均数公式求解即可．（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率．（3）利用条件概率公式计算即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：＝5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×0.023×10+55×第19页（共240.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10＝47.9岁．（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的频率为：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10＝0.89，∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率为0.89．（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50）为事件B，此人患这种疾病为事件C，则P（CB）＝＝≈0.0014．【点评】本题考查频率分布直方图求平均数、频率，考查条件概率计算公式，属于基础题．20．（12分）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．【分析】（1）连接OA，OB，可证得OA＝OB，延长BO交AC于点F，可证得OE∥PF，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面ACE及平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式得解．【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB，延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC；，则，则可取，则，则可取第20页（共24（2）过点A作AM∥OP，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PO＝3，PA＝5，由（1）知OA＝OB＝4，又∠ABO＝∠CBO＝30°，则，∴，又AC＝ABtan60°＝12，即C（0，12，0），设平面AEB的一个法向量为，又，设平面AEC的一个法向量为，又，设锐二面角C﹣AE﹣B的平面角为θ，则，∴，即二面角C﹣AE﹣B正弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．第20页（共2421．（12分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③MA＝MB．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【分析】（1）根据渐近线方程和a2＝b2+c2即可求出；（2）首先求出点M的轨迹方程即为yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率，若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），求出点M的坐标，可得M为AB的中点，即可MA＝MB；若选择①③：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），求出点M的坐标，即可PQ∥AB；若选择②③：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），设AB的中点C（xC，yC），求出点C的坐标，可得点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．【解答】解：（1）由题意可得＝，＝2，解得a＝1，b＝，因此C的方程为x2﹣＝1，（2）设直线PQ的方程为y＝kx+m，（k≠0），将直线PQ的方程代入x2﹣＝1可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，Δ＝12（m2+3﹣k2）＞0，∵x1＞x2＞0∴x1+x2＝＞0，x1x2＝﹣＞0，∴3﹣k2＜0，第21页（共24∴x1﹣x2＝＝，设点M的坐标为（xM，yM），则，两式相减可得y1﹣y2＝2xM﹣（x1+x2），∵y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴2xM＝（x1+x2）+k（x1﹣x2），解得XM＝，两式相加可得2yM﹣（y1+y2）＝（x1﹣x2），∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m，∴2yM＝（x1﹣x2）+k（x1+x2）+2m，解得yM＝，∴yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率；若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，∴x3+x4＝，y3+y4＝，此时点M的坐标满足，解得XM＝＝（x3+x4），yM＝＝（y3+y4），∴M为AB的中点，即MA＝MB；若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y＝x上，矛盾，第22页（共24当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，此时xM＝（x3+x4）＝，∴yM＝（y3+y4）＝，由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝•2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB．若选择②③，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，设AB的中点C（xC，yC），则xC＝（x3+x4）＝，yC＝（y3+y4）＝，由于MA＝MB，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y﹣yC＝﹣（x﹣xC）上，将该直线y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．【点评】本题考查了直线和双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）＝xeax﹣ex．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；（3）设n∈N，证明：++…+＞ln（n+1）．第23页（共24【分析】（1）先求出导函数f'（x），再根据导函数f'（x）的正负即可得到函数f（x）的单调性．（2）构造函数g（x）＝f（x）+1＝xeax﹣ex+1（x＞0），则g（x）＜g（0）＝0在x＞0上恒成立，又g′（x）＝eax+xaeax﹣ex，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝a（2eax+axeax）﹣ex，根据h′（0）的正负分情况讨论，得到g（x）的单调性以及最值，判断是否满足题意，即可求出a的取值范围．（3）求导易得t﹣＞2lnt（t＞1），令t＝，利用上述不等式，结合对数的运算性质即可证得结论．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xex﹣ex＝ex（x﹣1），f′（x）＝ex（x﹣1）+ex＝xex，∵ex＞0，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（2）令g（x）＝f（x）+1＝xeax﹣ex+1（x＞0），∵f（x）＜﹣1，f（x）+1＜0，∴g（x）＜g（0）＝0在x＞0上恒成立，又g′（x）＝eax+xaeax﹣ex，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝aeax+a（eax+axeax）﹣ex＝a（2eax+axeax）﹣ex，∴h′（0）＝2a﹣1，①当2a﹣1＞0，即a＞，h′（0）＝＝＞0，∴∃x0＞0，使得当x∈（0，x0），有＞0，∴g′（x）＞0，所以g（x）单调递增，g（x0）＞g（0）＝0，矛盾；②当2a﹣1≤0，即a≤，g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝（1+ax）eax﹣ex，若1+ax≤0，则g'（x）＜0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．若1+ax＞0，则g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝eax+ln（1+ax）﹣ex≤﹣ex≤第24页（共24＝0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是a≤．（3）由（2）可知，当a＝时，f（x）＝＜﹣1（x＞0），令x＝1+（n∈N）得，＜﹣1，整理得，，∴＞ln（1+），∴＞ln（），∴＞ln（）＝ln（）＝ln（n+1），即++...+＞ln（n+1）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于难题．第1页（共262022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若z＝﹣1+i，则＝（）A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．﹣+iD．﹣﹣i2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{xx2﹣4x+3＝0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，3}B．{0，3}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0}4．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）第2页（共26A．8B．12C．16D．205．（5分）函数y＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A．B．C．D．第3页（共266．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．17．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°8．（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（）A．B．C．D．9．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．10．（5分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（）第4页（共26A．B．C．D．第5页（共2611．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]12．（5分）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则（）A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）设向量，的夹角的余弦值为，且＝1，＝3，则（2+）•＝．14．（5分）若双曲线y2﹣＝1（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，则m＝．15．（5分）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．第6页（共2619．（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣a．（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＜1．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）第7页（共2623.已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3．第8页（共262022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若z＝﹣1+i，则＝（）A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．﹣+iD．﹣﹣i【分析】由已知求得，代入，则答案可求．【解答】解：∵z＝﹣1+i，∴＝4，则＝．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%第9页（共26C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{xx2﹣4x+3＝0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，3}B．{0，3}C．{﹣2，1}D．{﹣2，0}【分析】求解一元二次方程化简B，再由并集与补集运算得答案．【解答】解：∵B＝{xx2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，A＝{﹣1，2}，∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}，又U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴∁U（A∪B）＝{﹣2，0}．第10页（共2故选：D．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．4．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．20【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B．【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（5分）函数y＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）第10页（共26A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．6．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（）第11页（共26A．﹣1B．﹣C．D．1【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．【解答】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+2＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故x＝1处，函数取得极大值，也是最大值，则f′（2）＝．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°【分析】不妨令AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解答】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝1，第12页（共26在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB1中，BB1＝AA1＝1，，在Rt△ADB1中，DB1＝2，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB1C1C上的射影为B1C，所以∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC，所以∠DB1C＝45°，第13页（共26所以选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．8．（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（）A．B．C．D．【分析】由已知求得AB与CD的值，代入s＝AB+得答案．【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，∵C是AB的中点，D在上，CD⊥AB，∴延长DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，∴s＝AB+＝2+＝2+＝．故选：B．【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则可求得r1＝2，r2＝1，，进而求得体积之比．第14页（共26【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2πr1＝4π，2πr2＝2π，解得r1＝2，r2＝1，由勾股定理可得，∴．故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．10．（5分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），根据斜率公式结合题意可得：kAP•kAQ＝，再结合，整理可得离心率．【解答】解：已知A（﹣a，0），设P（x0，y0），则Q（﹣x0，y0），kAP＝，kAQ＝，第15页（共26故kAP•kAQ＝•＝＝①，∵+＝1，即＝②，②代入①整理得：＝，e＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题．11．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．（，]D．（，]【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得ω的取值范围．【解答】解：当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．12．（5分）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则（）A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b【分析】构造函数f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函数线可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．第16页（共26【解答】解：设f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），则f′（x）＝x﹣sinx，设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）（0，1）单调递增，所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，利用三角函数线可得x）时，tanx＞x，∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．综上：c＞b＞a，故选：A．【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）设向量，的夹角的余弦值为，且＝1，＝3，则（2+）•＝11．【分析】首先计算的值，然后结合向量的运算法则可得所给式子的值．【解答】解：由题意可得，则．故答案为：11．【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义，平面向量的运算法则等知识，属于中等题．14．（5分）若双曲线y2﹣＝1（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，则m＝．【分析】求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可．【解答】解：双曲线y2﹣＝1（m＞0）的渐近线：x＝±my，圆x2+y2﹣4y+3＝0的圆心（0，2）与半径1，双曲线y2﹣＝1（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，第17页（共26＝1，解得m＝，m＝﹣舍去．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的判断，是中档题．15．（5分）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．【分析】根据题意，由组合数公式计算“从正方体的8个顶点中任选4个”的取法，分析其中“4个点在同一个平面”的情况，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有C＝70种取法，若这4个点在同一个平面，有底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况，则这4个点在同一个平面的概率P＝＝；故答案为：．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝．【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝4x2+4﹣2•2x•2•cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•2•cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，第18页（共26故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．【分析】（1）由已知把n换为n+1作差可得递推关系从而证明，（2）由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可．【解答】解：（1）证明：由已知有：⋯①，把n换成n+1，⋯②，②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n，整理得：an+1＝an+1，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+6）2＝（x+3）（x+8），解得x＝﹣12，故a1＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a3＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞0，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．第19页（共26【分析】（1）易知PD⊥BD，取AB中点E，容易证明四边形BCDE为平行四边形，再根据长度关系可得BD⊥AD，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．【解答】解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PD⊥BD，取AB中点E，连接DE，∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∴∠DAB＝60°，又∵AE＝AB＝AD＝1，∴DE＝1，∴DE＝，∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴BD⊥AD，又PD∩AD＝D，PD⊂面PAD，AD⊂面PAD，∴BD⊥面PAD，又PA⊂面PAD，∴BD⊥PA；（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，，则，∴，设平面PAB的一个法向量为，则，则可取第20页（共26，设PD与平面PAB所成的角为θ，则，∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19．（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分X的值可取0，10，20，30，分别求出X取上述值时的概率，可得分布列与数学期望．【解答】解：（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率0.50.40.8乙学校获胜概率0.50.60.2，；第21页（共26①甲学校3场全胜，概率为：P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16，②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2＝0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8＝0.44，所以甲学校获得冠军的概率为：P＝P1+P2＝0.6；（2）乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P（X＝10）＝0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8＝0.44，P（X＝20）＝0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2＝0.34，P（X＝30）＝0.5×0.6×0.2＝0.06，则X的分布列为：X0102030P0.160.440.340.06X的期望EX＝0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06＝13．【点评】本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，难度不大．20．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．【分析】（1）由已知求得MD＝，FD＝，则在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，则C的方程可求；（2）设M，N，A，B的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p2，得yM＝p，可知MD＝p，FD＝．第22页（共26则在Rt△MFD中，FD2+DM2＝FM2，得＝9，解得p＝2．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），由（1）可知F（1，0），D（2，0），则tanα＝kMN＝，又N、D、B三点共线，则kND＝kBD，即，∴，得y2y4＝﹣8，即y4＝﹣；同理由M、D、A三点共线，得y3＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则tanα＝，tanβ＝，则tan（α﹣β）＝＝，当m＞0时，tan（α﹣β）＝≤＝；当m＜0时，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，等号成立，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，第23页（共26又∵y3+y4＝﹣＝8m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为4x﹣4y﹣16＝0，即x﹣y﹣4＝0．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣a．（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＜1．【分析】（1）对函数求导研究其在定义域内单调性，由于函数在（0，+∞）恒大于等于0，故f（x）min＝f（1）＝e+1﹣a＞0，解出a的范围即可．（2）首先将原不等式转化为证明，再利用函数f（x）在（1，+∞）单调递增，即转化为证明⇔，继而构造函数证明其在（0，1）恒小于0即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＞0，解得x＞1，故函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，故f（x）min＝f（1）＝e+1﹣a，要使得f（x）≥0恒成立，仅需e+1﹣a≥0，故a≤e+1，故a的取值范围是（﹣∞，e+1]；（2）证明：由已知有函数f（x）要有两个零点，故f（1）＝e+1﹣a＜0，即a＞e+1，不妨设0＜x1＜1＜x2，要证明x1x2＜1，即证明，∵0＜x1＜1，∴，即证明：，又因为f（x）在（1，+∞）单调递增，即证明：⇔，构造函数，0＜x＜1，构造函数m（x）＝第24页（共26＝，，，因为0＜x＜1，所以，故m′（x）＞0在（0，1）恒成立，故m（x）在（0，1）单调递增，故m（x）＜m（1）＝0又因为x﹣1＜0，故h′（x）＞0在（0，1）恒成立，故h（x）在（0，1）单调递增，又因为h（1）＝0，故h（x）＜h（1）＝0，故，即x1x2＜1．得证．【点评】本题主要考查利用导函数研究函数单调性，即构造函数证明不等式恒成立问题，属于较难题目．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．【分析】（1）消去参数t，可得C1的普通方程；（2）消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标．【解答】解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得C1的普通方程为y2＝6x﹣2（y≥0）；（2）由（s为参数），消去参数s，第25页（共26可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由2cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝0，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝0．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（1，2）；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3．【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a2+b2+4c2）（12+12+12）≥（a+b+2c）2，即3×3≥（a+b+2c）2，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝2c，即a＝b＝1，c＝时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝2c，故0＜a+4c≤3，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，即a＝1，c＝时取等号，故+≥3．【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．第1页（共262022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x0≤x＜}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则iz+3＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）第2页（共26A．8B．12C．16D．205．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A．B．第3页（共26C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．19．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若•＝﹣1，则C的方程为（）A．+＝1B．+＝1第4页（共26C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝．14．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为．15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．准点班次数未准点班次数A24020B21030P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635第5页（共2618．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）第6页（共2622．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3．第7页（共262022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x0≤x＜}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x0≤x＜}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差第8页（共26D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【解答】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）若z＝1+i，则iz+3＝（）A．4B．4C．2D．2【分析】先求出iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝2﹣2i，由此能求出iz+3．【解答】解：z＝1+i，∴iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝i﹣1+3﹣3i＝2﹣2i，则iz+3＝＝2．故选：D．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．第9页（共264．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．20【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B．【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（）A．B．C．D．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，第10页（共26求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，k∈Z，即ω＝2k+，k∈Z，则令k＝0，可得ω的最小值是，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）第11页（共26A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（）第12页（共26A．﹣1B．﹣C．D．1【分析】由已知求得b，再由题意可得f′（1）＝0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′（2）．【解答】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+2＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故x＝1处，函数取得极大值，也是最大值，则f′（2）＝．故选：B．【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°【分析】不妨令AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【解答】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝1，第13页（共26在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB1中，BB1＝AA1＝1，，在Rt△ADB1中，DB1＝2，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB1C1C上的射影为B1C，所以∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC，所以∠DB1C＝45°，第14页（共26所以选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则可求得r1＝2，r2＝1，，进而求得体积之比．【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2πr1＝4π，2πr2＝2π，解得r1＝2，r2＝1，由勾股定理可得，∴．故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若•＝﹣1，则C的方程为（）第15页（共26A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝1【分析】首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，∴m2＝1，则椭圆方程为．故选：B．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．12．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a【分析】首先由9m＝10得到m＝log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的单调性比较f（10）与f（8）大小关系即可．【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣1﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜x＜1，故f（x）在（1，+∞）单调递增，第16页（共26故f（10）＞f（8），又因为，故a＞0＞b，故选：A．【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝﹣．【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，3），＝（1，m+1）．⊥，∴＝m+3（m+1）＝0，则m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5．【分析】设出圆心坐标（a，1﹣2a），根据半径相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程．【解答】解：由点M在直线2x+y﹣1＝0上，可设M（a，1﹣2a），由于点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，∴圆的半径为＝，求得a＝1，可得半径为，圆心M（1，﹣1），故⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5，故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2＝5．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线第17页（共26y＝2x与C无公共点”的e的一个值2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．【分析】求出双曲线渐近线方程，利用直线y＝2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得≤2，即，即，可得1＜，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为：2．故答案为：2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝．【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝4x2+4﹣2•2x•2•cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•2•cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．第18页（共26三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，∴，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．18．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．准点班次数未准点班次数A24020B21030P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635第19页（共26【分析】（1）由已知把n换为n+1作差可得递推关系从而证明，（2）由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出an正负分界点计算即可．【解答】解：（1）证明：由已知有：⋯①，把n换成n+1，⋯②，②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n，整理得：an+1＝an+1，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+6）2＝（x+3）（x+8），解得x＝﹣12，故a1＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a3＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞0，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．第20页（共26【分析】（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE'⊥AB于点E'，做FF'⊥BC于点F'，由于底面为正方形，△ABE，△BCF均为等边三角形，故等边三角形的高相等，即EE'＝FF'，由面面垂直的性质可知EE'，FF'均与底面垂直，则EE'∥FF'，四边形EE'F'F为平行四边形，则EF∥E'F'，由于EF不在平面ABCD内，E'F'在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD．，第21页（共26（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积则包装盒的容积为．【点评】本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．【分析】（1）由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；（2）由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得f'（x）＝3x2﹣1，则切线的斜率k＝f'（﹣1）＝2，且f（﹣1）＝0，故切线方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0，由g'（x）＝2x＝2可得x＝1，则切点坐标为（1，1+a），由于切点在直线2x﹣y+2＝0上，故2﹣（1+a）+2＝0，解得a＝3．（2）由题意可得f'（x）＝3x2﹣1，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，且函数的零点为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝0，绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，第22页（共26观察可得，当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（1，1）处有公共点，函数存在公切线，当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．【分析】（1）由已知求得MD＝，FD＝，则在Rt△MFD中，利用勾股定理得p＝2，则C的方程可求；，；第23页（共26（2）设M，N，A，B的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p2，得yM＝p，可知MD＝p，FD＝．则在Rt△MFD中，FD2+DM2＝FM2，得＝9，解得p＝2．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），由（1）可知F（1，0），D（2，0），则tanα＝kMN＝，又N、D、B三点共线，则kND＝kBD，即，∴，得y2y4＝﹣8，即y4＝﹣；同理由M、D、A三点共线，得y3＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则tanα＝，tanβ＝，第24页（共26则tan（α﹣β）＝＝，当m＞0时，tan（α﹣β）＝≤＝；当m＜0时，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，等号成立，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，又∵y3+y4＝﹣＝8m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为4x﹣4y﹣16＝0，即x﹣y﹣4＝0．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．【分析】（1）消去参数t，可得C1的普通方程；（2）消去参数s，可得C2的普通方程，化C3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C3与C1、C3与C2交点的直角坐标．【解答】解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得C1的普通方程为y2＝6x﹣2（y≥0）；第25页（共26（2）由（s为参数），消去参数s，可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由2cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝0，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝0．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（1，2）；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3．【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a2+b2+4c2）（12+12+12）≥（a+b+2c）2，即3×3≥（a+b+2c）2，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝2c，即a＝b＝1，c＝时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝2c，故0＜a+4c≤3，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，即a＝1，c＝时取等号，第26页（共26故+≥3．【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．第1页（共252022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（）A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M2．（5分）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（）A．a＝1，b＝﹣2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝2D．a＝﹣1，b＝﹣23．（5分）已知向量，满足＝1，＝，﹣2＝3，则•＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此类推，其中αk∈N（k＝1，2，…）．则（）A．b1＜b5B．b3＜b8C．b6＜b2D．b4＜b75．（5分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若AF＝BF，则AB＝（）A．2B．2C．3D．36．（5分）执行如图的程序框图，输出的n＝（）第2页（共25A．3B．4C．5D．67．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D8．（5分）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．14B．12C．6D．39．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大（多选）11．（5分）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为（）f第3页（共25A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则（k）＝（）A．﹣21B．﹣22C．﹣23D．﹣24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．14．（5分）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为．15．（5分）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为．16．（5分）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）证明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．18．（12分）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．第4页（共2519．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r＝，≈1.377．20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．（1）求E的方程；（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9第5页（共25（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：（1）abc≤；（2）++≤．第6页（共252022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（）A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M【分析】根据补集的定义写出集合M，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3∉M，4∈M，5∈M．故选：A．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．2．（5分）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（）A．a＝1，b＝﹣2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】根据复数与共轭复数的定义，利用复数相等列方程求出a、b的值．【解答】解：因为z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，所以，解得a＝1，b＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了复数与共轭复数以及复数相等的应用问题，是基础题．3．（5分）已知向量，满足＝1，＝，﹣2＝3，则•＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】利用﹣2＝，结合数量积的性质计算可得结果．【解答】解：因为向量，满足＝1，＝，﹣2＝3，所以﹣2＝＝＝＝3，两边平方得，第7页（共2513﹣4＝9，解得＝1，故选：C．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．4．（5分）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此类推，其中αk∈N（k＝1，2，…）．则（）A．b1＜b5B．b3＜b8C．b6＜b2D．b4＜b7【分析】αk∈N（k＝1，2，…），可以取αk＝1，依次求出数列的前8项，能求出正确选项．【解答】解：∵αk∈N（k＝1，2，…），∴可以取αk＝1，则b1＝1+＝2，b2＝1+＝，b3＝1+＝，b4＝1+＝，b5＝1+＝，第8页（共25b6＝1+＝，b7＝＝，b8＝1+＝，∴b1＞b5，故A错误；b3＞b8，故B错误；b6＞b2，故C错误；b4＜b7，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，巧妙地把人造行星融入高考数学题，培养学生爱国热情，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若AF＝BF，则AB＝（）A．2B．2C．3D．3【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．【解答】解：F为抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），点A在C上，点B（3，0），AF＝BF＝2，由抛物线的定义可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以AB＝＝2．故选：B．第9页（共25【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．6．（5分）执行如图的程序框图，输出的n＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下：输入a＝1，b＝1，n＝1，计算b＝1+2＝3，a＝3﹣1＝2，n＝2，判断﹣2＝＝0.25≥0.01，计算b＝3+4＝7，a＝7﹣2＝5，n＝3，判断﹣2＝＝0.04≥0.01；计算b＝7+10＝17，a＝17﹣5＝12，n＝4，判断﹣2＝＜0.01；输出n＝4．故选：B．【点评】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）第10页（共25A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D【分析】对于A，易知EF∥AC，AC⊥平面BDD1，从而判断选项A正确；对于B，由选项A及平面BDD1∩平面A1BD＝BD可判断选项B错误；对于C，由于AA1与B1E必相交，容易判断选项C错误；对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，由此可判断选项D错误．【解答】解：对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF∥AC，又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1，选项A正确；对于B，由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在该正方体中，试想D1运动至A1时，平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，选项B错误；对于C，在平面ABB1A1上，易知AA1与B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，选项C错误；对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，选项D错误．故选：A．【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．8．（5分）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．14B．12C．6D．3第11页（共25【分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得a6的值．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．＝当且仅当，即第12页（共25∵前3项和为a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1•q﹣a1•q4＝a1•q（1﹣q3）＝42，∴q＝，a1＝96，则a6＝a1•q5＝96×＝3，故选：D．【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．9．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，由勾股定理可知该四棱锥的高h＝，所以该四棱锥的体积V＝，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此时a的值，进而求出h的值．【解答】解：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r＝，∴该四棱锥的高h＝，∴该四棱锥的体积V＝＝≤＝，时，等号成立，∴该四棱锥的体积最大时，其高h＝＝＝，故选：C．第13页（共25【点评】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【分析】已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，A错误；再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率，比较大小即可．【解答】解：A选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，故A错误；设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙，P甲＝2p1[p2（1﹣p3）+p3（1﹣p2）]＝2p1p2+2p1p3﹣4p1p2p3，P乙＝2p2[p1（1﹣p3）+p3（1﹣p1）]＝2p1p2+2p2p3﹣4p1p2p3，P丙＝2p3[p1（1﹣p2）+p2（1﹣p1）]＝2p1p3+2p2p3﹣4p1p2p3，P丙﹣P甲＝2p2（p3﹣p1）＞0，P丙﹣P乙＝2p1（p3﹣p2）＞0，∴所以P丙最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．（多选）11．（5分）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为（）第14页（共25A．B．C．D．【分析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），设过F1的切线与圆D：x2+y2＝a2相切于点P，从而可求得PF1，过点F2作F2Q⊥MN于点Q，由中位线的性质可求得F1Q，QF2，在Rt△QNF2中，可求得NF2，NQ，利用双曲线的定义可得a，b的关系，再由离心率公式求解即可．情况二当直线与双曲线交于一支时，同理可求得离心率．【解答】解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），设过F1的切线与圆D：x2+y2＝a2相切于点P，则OP＝a，OP⊥PF1，又OF1＝c，所以PF1＝＝＝b，过点F2作F2Q⊥MN于点Q，所以OP∥F2Q，又O为F1F2的中点，所以F1Q＝2PF1＝2b，QF2＝2OP＝2a，因为cos∠F1NF2＝，∠F1NF2＜，所以sin∠F1NF2＝，f第15页（共25所以NF2＝＝，则NQ＝NF2•cos∠F1NF2＝，所以NF1＝NQ+F1Q＝+2b，由双曲线的定义可知NF1﹣NF2＝2a，所以+2b﹣＝2a，可得2b＝3a，即＝，所以C的离心率e＝＝＝＝．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为A，连接OA，则OA＝a，F1A＝b，过F2作F2B⊥MN于B，则F2B＝2a，因为cos∠F1NF2＝，所以NF2＝，NB＝，NF2﹣NF1＝﹣（﹣2b）＝a+2b＝2a，即a＝2b，所以e＝＝＝＝，A正确．故选：AC．【点评】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则（k）＝（）A．﹣21B．﹣22C．﹣23D．﹣24【分析】由y＝g（x）的对称性可得f（x）为偶函数，进而得到f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，所以f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，再结合f（x）的周期为4，即可求出结果．第16页（共25【解答】解：∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，故选：D．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．【解答】解：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，从5人中选3人有以下10个基本事件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁；甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被选中的概率为．方法二：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数＝10，甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数＝3，﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣y＝0或x2+y2﹣第17页（共25根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P＝＝．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．14．（5分）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为x2+y2x﹣x﹣2y﹣＝0）．【分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．【解答】解：设过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，即，解得F＝0，D＝﹣4，E＝﹣6，所以过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6y＝0．同理可得，过点（0，0），（4，0），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0．过点（0，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣y＝0．过点（4，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0．故答案为：x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）．【点评】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．15．（5分）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为3．【分析】由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T＝，若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，则φ＝，所以f（x）＝cos（ωx+）．因为x＝为f（x）的零点，所以cos（+）＝0，故+＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，第18页（共25因为ω＞0，则ω的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．16．（5分）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是．【分析】由已知分析函数f′（x）＝2（axlna﹣ex）至少应该两个变号零点，对其再求导f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，分类讨论0＜a＜1和a＞1时两种情况即可得出结果．【解答】解：对原函数求导f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，当a＞1时，易知f″（x）在R上单调递增，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增，此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1＞x2，不满足题意；当0＜a＜1时，易知f″（x）在R上单调递减，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且，此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，且x1＜x2，故仅需满足f′（x0）＞0，即：⇒⇒⇒，解得：，又因为0＜a＜1，故综上所述：a的取值范围是．【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：第19页（共25共60分。17．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）证明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．【分析】（1）利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论；（2）利用（1）中结论求出b2+c2和2bc的值，即可求出△ABC的周长．【解答】（1）证明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，由正弦定理得a2＝2bccosA，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以2a2＝b2+c2；（2）当a＝5，cosA＝时，b2+c2＝2×52＝50，2bc＝＝＝31，所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，所以△ABC的周长为a+b+c＝5+9＝14．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．18．（12分）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．第20页（共25【分析】（1）利用三角形全等可得AB＝BC，可证EB⊥AC，易证DE⊥AC，从而可证平面BED⊥平面ACD；（2）由题意可知△AFC的面积最小时，EF⊥BD，据此计算可求得CF与平面ABD所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，E为AC的中点．∴DE⊥AC，又∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB＝BC，又∵E为AC的中点．∴EB⊥AC，又BE∩DE＝E，BE⊂平面BED，DE⊂平面BED，∴AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD；（2）解：连接EF，由（1）知AC⊥EF，∴S△AFC＝AC×EF，故EF最小时，△AFC的面积最小，∴EF⊥BD时，△AFC的面积最小，又AC⊥平面BED，BD⊂平面BED，∴AC⊥BD，又AC∩EF＝E，AC⊂平面AFC，EF⊂平面AFC，∴BD⊥平面AFC，又BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面AFC，过C作CM⊥AF于点M，则CM⊥平面ABD，故∠CFM，即∠CFA为直线CF与平面ABD所成的角，由AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，知△BAC是2为边长的等边三角形，故AC＝2，由已知可得DE＝1，BE＝，又BD＝2，∴BD2＝ED2+EB2，∴∠BED＝90°，所以EF＝＝，∴CF＝＝，∴AF＝，第20页（共25在△ACF中，由余弦定理得cos∠AFC＝＝﹣，∴sin∠AFC＝．故CF与平面ABD所成的角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r＝，≈1.377．【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．【解答】解：（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，则根据题中数据得：＝＝0.06m2，＝＝0.39m3；样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9第21页（共25（2）由题可知，r＝＝＝＝＝≈0.97；（3）设总根部面积和X，总材积量为Y，则，故Y＝＝1209（m3）．【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题．20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．（1）求E的方程；（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．【分析】（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），将A，B两点坐标代入即可求解；（2）由可得直线，①若过P（1，﹣2）的直线的斜率不存在，直线为x＝1，代入椭圆方程，根据＝即可求解；②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立2，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，结合韦达定理和已知条件即可求解．【解答】解：（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），将两点代入得，解得m＝，n＝，可得得到，过点（0，﹣2）．，，且第22页（共25故E的方程为；（2）由可得直线（1）若过点P（1，﹣2）的直线斜率不存在，直线x＝1．代入，，代入AB方程，可得．求得HN方程：②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，故有（），联立，可得，可求得此时，将（0，﹣2）代入整理得2（x1+x2）﹣6（y1+y2）+x1y2+x2y1﹣3y1y2﹣12＝0，将（）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48＝0，显然成立．综上，可得直线HN过定点（0，﹣2）．【点评】本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．第23页（共25【分析】（1）将a＝1代入，对函数f（x）求导，求出f′（0）及f（0），由点斜式得答案；（2）对函数f（x）求导，分a≥0及a＜0讨论，当a≥0时容易判断不合题意，当a＜0时，令，利用导数判断g（x）的性质，进而判断得到函数f（x）的单调性并结合零点存在性定理即可得解．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，则，∴f′（0）＝1+1＝2，又f（0）＝0，∴所求切线方程为y＝2x；（2），若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；故a＜0，，令，注意到，令g′（x）＜0，解得或，令g′（x）＞0，解得，∴g（x）在单调递减，在单调递增，且x＞1时，g（x）＞0，①若g（0）＝1+a≥0，当x＞0时，g（x）＞0，f（x）单调递增，不合题意；②若g（0）＝1+a＜0，g（0）g（1）＜0，则存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）＝0，f（x）单调递减，则f（x0）＜f（0）＝0，当x＞1时，f（x）＞ln（1+x）+a＞0，f（e﹣a﹣1）＞0，则由零点存在性定理可知f（x）在（1，e﹣a﹣1）上存在一个根，当时，g（x）＜0，f（x）单调递减，，当时，f（x）＜ln（1+x）﹣ae＜0，f（eae﹣1）＜0，则由零点存在性定理可知f（x）在上存在一个根．∴，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴，第24页（共25综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．【分析】（1）由ρsin（θ+）+m＝0，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得l的直角坐标方程；（2）化曲线C的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C的方程，化为关于y的一元二次方程，再求解m的取值范围．【解答】解：（1）由ρsin（θ+）+m＝0，得，即l的直角坐标方程为；（2）由曲线C的参数方程为（t为参数）．消去参数t，可得，联立，得3y2﹣2y﹣4m﹣6＝0（﹣2≤y≤2）．∴4m＝3y2﹣2y﹣6，令g（y）＝3y2﹣2y﹣6（﹣2≤y≤2），可得，当y＝﹣2时，g（y）max＝g（﹣2）＝10，第25页（共25∴﹣≤4m≤10，﹣≤m≤，∴m的取值范围是[，]．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：（1）abc≤；（2）++≤．【分析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．【解答】解：（1）证明：∵a，b，c都是正数，∴++≥3＝3（abc），当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．因为++＝1，所以1≥3（abc），所以≥（abc），所以abc≤，得证．（2）根据基本不等式b+c≥2，a+c≥2，a+b≥2，∴++≤++＝++＝＝，当且仅当a＝b＝c时等号成立，故得证．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．第1页（共232022年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x﹣1＜x＜6}，则M∩N＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，4，6，8}D．{2，4，6，8，10}2．（5分）设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则﹣＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65．（5分）若x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最大值是（）A．﹣2B．4C．8D．126．（5分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若AF＝BF，则AB＝（）A．2B．2C．3D．37．（5分）执行如图的程序框图，输出的n＝（）第2页（共23A．3B．4C．5D．68．（5分）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D10．（5分）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．14B．12C．6D．311．（5分）函数f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（）A．﹣，B．﹣，C．﹣，+2D．﹣，+2第3页（共2312．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，第4页（共23则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝．14．（5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．15．（5分）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为．16．（5分）若f（x）＝lna++b是奇函数，则a＝，b＝．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）若A＝2B，求C；（2）证明：2a2＝b2+c2．18．（12分）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总和第5页（共23根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r＝，≈1.377．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣﹣（a+1）lnx．（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．（1）求E的方程；（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．第6页（共23[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：（1）abc≤；（2）++≤．第7页（共232022年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x﹣1＜x＜6}，则M∩N＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，4，6，8}D．{2，4，6，8，10}【分析】直接利用交集运算求解即可．【解答】解：∵M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x﹣1＜x＜6}，∴M∩N＝{2，4}．故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，属于基础题．2．（5分）设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．【解答】解：∵（1+2i）a+b＝2i，∴a+b+2ai＝2i，即，解得．故选：A．【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．3．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则﹣＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】先计算处的坐标，再利用坐标模长公式即可．【解答】解：，故，故选：D．【点评】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题．4．（5分）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图第8页（共23茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【分析】根据茎叶图逐项分析即可得出答案．【解答】解：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，选项A说法正确；由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项B说法正确；甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项C说法错误；乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项D说法正确．故选：C．【点评】本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题．5．（5分）若x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最大值是（）A．﹣2B．4C．8D．12【分析】作出可行域，根据图象即可得解．【解答】解：作出可行域如下图阴影部分所示，第9页（共23由图可知，当（x，y）取点C（4，0）时，目标函数z＝2x﹣y取得最大值，且最大为8．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．6．（5分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若AF＝BF，则AB＝（）A．2B．2C．3D．3【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．【解答】解：F为抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），点A在C上，点B（3，0），AF＝BF＝2，由抛物线的定义可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以AB＝＝2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．7．（5分）执行如图的程序框图，输出的n＝（）第10页（共2A．3B．4C．5D．6【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下：输入a＝1，b＝1，n＝1，计算b＝1+2＝3，a＝3﹣1＝2，n＝2，判断﹣2＝＝0.25≥0.01，计算b＝3+4＝7，a＝7﹣2＝5，n＝3，判断﹣2＝＝0.04≥0.01；计算b＝7+10＝17，a＝17﹣5＝12，n＝4，判断﹣2＝＜0.01；输出n＝4．故选：B．【点评】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．8．（5分）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（）第10页（共23A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在（1，3）存在零点，可排除B，D选项，再利用cosx在（0，+∞）的周期性可判断C选项错误．【解答】解：首先根据图像判断函数为奇函数，其次观察函数在（1，3）存在零点，而对于B选项：令y＝0，即，解得x＝0，或x＝1或x＝﹣1，故排除B选项；对于D选项，令y＝0，即，解得x＝kπ，k∈Z，故排除D选项；C选项：当x＞0时，2x＞0，x2+1＞0，因为cosx∈[﹣1，1]，故＝，且当x＞0时，，故，而观察图像可知当x＞0时，f（x）max≥1，故C选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D【分析】对于A，易知EF∥AC，AC⊥平面BDD1，从而判断选项A正确；对于B，由选项A及平面BDD1∩平面A1BD＝BD可判断选项B错误；对于C，由于AA1与B1E必相交，容易判断选项C错误；对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面第11页（共23B1EF有公共点B1，由此可判断选项D错误．第12页（共23【解答】解：对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF∥AC，又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1，选项A正确；对于B，由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在该正方体中，试想D1运动至A1时，平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，选项B错误；对于C，在平面ABB1A1上，易知AA1与B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，选项C错误；对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，选项D错误．故选：A．【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．10．（5分）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．14B．12C．6D．3【分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得a6的值．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．∵前3项和为a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1•q﹣a1•q4＝a1•q（1﹣q3）＝42，∴q＝，a1＝96，则a6＝a1•q5＝96×＝3，第13页（共23故选：D．第14页（共23【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．11．（5分）函数f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（）A．﹣，B．﹣，C．﹣，+2D．﹣，+2【分析】先求出导函数f′（x）＝（x+1）cosx，令cosx＝0得，x＝或，根据导函数f′（x）的正负得到函数f（x）的单调性，进而求出函数f（x）的极值，再与端点值比较即可．【解答】解：f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1，x∈[0，2π]，则f′（x）＝﹣sinx+sinx+（x+1）cosx＝（x+1）cosx，令cosx＝0得，x＝或，∴当x∈[0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，2π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在区间[0，2π]上的极大值为f（）＝，极小值为f（）＝﹣，又∵f（0）＝2，f（2π）＝2，∴函数f（x）在区间[0，2π]的最小值为﹣，最大值为，故选：D．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．12．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，由勾股定理可知该四棱锥的高h＝，所以该四棱锥的体积V＝，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此时a的值，进而求出h的值．【解答】解：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r＝，＝当且仅当，即第15页（共23∴该四棱锥的高h＝，∴该四棱锥的体积V＝＝≤＝，时，等号成立，∴该四棱锥的体积最大时，其高h＝＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝2．【分析】根据已知条件，可得2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，再结合等差中项的性质，即可求解．【解答】解：∵2S3＝3S2+6，∴2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，∵{an}为等差数列，∴6a2＝3a1+3a2+6，∴3（a2﹣a1）＝3d＝6，解得d＝2．故答案为：2．第16页（共23【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，考查转化能力，属于基础题．14．（5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣y＝0或x2+y2﹣第17页（共23为．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．【解答】解：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，从5人中选3人有以下10个基本事件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁；甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被选中的概率为．方法二：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数＝10，甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数＝3，根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P＝＝．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．15．（5分）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为x2+y2x﹣x﹣2y﹣＝0）．【分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．【解答】解：设过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，即，解得F＝0，D＝﹣4，E＝﹣6，所以过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6y＝0．同理可得，过点（0，0），（4，0），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0．过点（0，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣y＝0．过点（4，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0．故答案为：x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0第18页（共23或x2+y2﹣x第19页（共23﹣2y﹣＝0）．【点评】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．16．（5分）若f（x）＝lna++b是奇函数，则a＝﹣，b＝ln2．【分析】显然a≠0，根据函数解析式有意义可得，x≠1且x，所以1+＝﹣1，进而求出a的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质f（0）＝0即可求出b的值．【解答】解：f（x）＝lna++b，若a＝0，则函数f（x）的定义域为{xx≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，∴a≠0，由函数解析式有意义可得，x≠1且a+，∴x≠1且x，∵函数f（x）为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，∴1+＝﹣1，解得a＝﹣，∴f（x）＝ln+b，定义域为{xx≠1且x≠﹣1}，由f（0）＝0得，ln+b＝0，∴b＝ln2，故答案为：﹣；ln2．【点评】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）若A＝2B，求C；（2）证明：2a2＝b2+c2．【分析】（1）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），结合A＝2B，可得sinC＝sin（C﹣A），即C+C﹣A＝π，再由三角形内角和定理列式求解C；第20页（共23（2）把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论．【解答】解：（1）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），又A＝2B，∴sinCsinB＝sinBsin（C﹣A），∵sinB≠0，∴sinC＝sin（C﹣A），即C＝C﹣A（舍去）或C+C﹣A＝π，联立，解得C＝；证明：（2）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），得sinCsinAcosB﹣sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA﹣sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB﹣bccosA＝bccosA﹣abcosC，由余弦定理可得：ac•，整理可得：2a2＝b2+c2．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．【分析】（1）易证△ADB≌△CDB，所以AC⊥BE，又AC⊥DE，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BED，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BED⊥平面ACD；（2）由题意可知△ABC是边长为2的等边三角形，进而求出BE＝，AC＝2，AD＝CD＝，DE＝1，由勾股定理可得DE⊥BE，进而证得DE⊥平面ABC，连接EF，因为AF＝CF，则EF⊥AC，所以当EF⊥BD时，EF最短，此时△AFC的面积最小，求出此时点F到平面ABC的距离，从而求得此时三棱锥F﹣ABC的体积．【解答】证明：（1）∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，第21页（共23∴△ADB≌△CDB，∴AB＝BC，又∵E为AC的中点．∴AC⊥BE，∵AD＝CD，E为AC的中点．∴AC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BED，又∵AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD；解：（2）由（1）可知AB＝BC，∴AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，边长为2，∴BE＝，AC＝2，AD＝CD＝，DE＝1，∵DE2+BE2＝BD2，∴DE⊥BE，又∵DE⊥AC，AC∩BE＝E，∴DE⊥平面ABC，由（1）知△ADB≌△CDB，∴AF＝CF，连接EF，则EF⊥AC，∴S△AFC＝＝EF，∴当EF⊥BD时，EF最短，此时△AFC的面积最小，过点F作FG⊥BE于点G，则FG∥DE，∴FG⊥平面ABC，∵EF＝＝，∴BF＝＝，∴FG＝＝，∴三棱锥F﹣ABC的体积V＝＝＝．【点评】本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树第22页（共23木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r＝，≈1.377．【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．【解答】解：（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，则根据题中数据得：＝＝0.06m2，＝＝0.39m3；（2）由题可知，r＝＝＝＝＝≈0.97；（3）设总根部面积和X，总材积量为Y，则，故Y＝＝1209（m3）．样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9第23页（共23【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣﹣（a+1）lnx．（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝0代入，对函数f（x）求导，判断其单调性，由此可得最大值；（2）对函数f（x）求导，分a＝0，a＜0，0＜a＜1，a＝1及a＞1讨论即可得出结论．【解答】解：（1）当a＝0时，，则，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）在x＝1处取得极大值，同时也是最大值，∴函数f（x）的最大值为f（1）＝﹣1；（2）＝，①当a＝0时，由（1）可知，函数f（x）无零点；②当a＜0时，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又f（1）＝a﹣1＜0，故此时函数f（x）无零点；③当0＜a＜1时，易知函数f（x）在上单调递增，在单调递减，且f（1）＝a﹣1＜0，，且当x→+∞时，f（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；④当a＝1时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，故此时函数f（x）有唯一零点；⑤当a＞1时，易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，且f（1）＝a﹣1＞0，且当x→0时，f（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；综上，实数a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题，第20页（共23可得得到，过点（0，﹣2）．考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．21．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．（1）求E的方程；（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．【分析】（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），将A，B两点坐标代入即可求解；（2）由可得直线，①若过P（1，﹣2）的直线的斜率不存在，直线为x＝1，代入椭圆方程，根据＝即可求解；②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立2，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，结合韦达定理和已知条件即可求解．【解答】解：（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），将两点代入得，解得m＝，n＝，故E的方程为；（2）由可得直线（1）若过点P（1，﹣2）的直线斜率不存在，直线x＝1．代入，，代入AB方程，可得．求得HN方程：第21页（共23②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，，，且第22页（共23y2），联立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，故有（），联立，可得，可求得此时，将（0，﹣2）代入整理得2（x1+x2）﹣6（y1+y2）+x1y2+x2y1﹣3y1y2﹣12＝0，将（）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48＝0，显然成立．综上，可得直线HN过定点（0，﹣2）．【点评】本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．【分析】（1）由ρsin（θ+）+m＝0，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得l的直角坐标方程；（2）化曲线C的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C的方程，化为关于y的一元二次方程，再求解m的取值范围．∴，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴，第23页（共23【解答】解：（1）由ρsin（θ+）+m＝0，得，即l的直角坐标方程为；（2）由曲线C的参数方程为（t为参数）．消去参数t，可得，联立，得3y2﹣2y﹣4m﹣6＝0（﹣2≤y≤2）．∴4m＝3y2﹣2y﹣6，令g（y）＝3y2﹣2y﹣6（﹣2≤y≤2），可得，当y＝﹣2时，g（y）max＝g（﹣2）＝10，∴﹣≤4m≤10，﹣≤m≤，∴m的取值范围是[，]．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：（1）abc≤；（2）++≤．【分析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．【解答】解：（1）证明：∵a，b，c都是正数，∴++≥3＝3（abc），当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．因为++＝1，第24页（共23所以1≥3（abc），所以≥（abc），所以abc≤，得证．（2）根据基本不等式b+c≥2，a+c≥2，a+b≥2，∴++≤++＝++＝＝，当且仅当a＝b＝c时等号成立，故得证．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．第1页（共212022年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知全集U＝{x﹣3＜x＜3}，集合A＝{x﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（）A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）C．[﹣2，1）D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）2．（4分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则z＝（）A．1B．5C．7D．253．（4分）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝（）A．B．C．1D．﹣14．（4分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（）A．f（﹣x）+f（x）＝0B．f（﹣x）﹣f（x）＝0C．f（﹣x）+f（x）＝1D．f（﹣x）﹣f（x）＝5．（4分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（）A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减B．f（x）在（﹣，）上单调递增C．f（x）在（0，）上单调递减D．f（x）在（，）上单调递增6．（4分）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）第2页（共21A.当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C.当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态8．（4分）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（）A．40B．41C．﹣40D．﹣419．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈SPQ≤5}，则T表示的区域的面积为（）A．B．πC．2πD．3π10．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（）A．[﹣5，3]B．[﹣3，5]C．[﹣6，4]D．[﹣4，6]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f（x）＝+的定义域是．12．（5分）已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝．13．（5分）若函数（fx）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，则A＝；（f）＝．14．（5分）设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．15．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an•Sn＝9（n＝1，2，…）．给第3页（共21出下列四个结论：①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）在△ABC中，sin2C＝sinC．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；第4页（共21乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当MN＝2时，求k的值．20．（15分）已知函数f（x）＝exln（1+x）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列．（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4；（Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7．第5页（共212022年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知全集U＝{x﹣3＜x＜3}，集合A＝{x﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（）A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）C．[﹣2，1）D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）【分析】由补集的定义直接求解即可．【解答】解：因为全集U＝{x﹣3＜x＜3}，集合A＝{x﹣2＜x≤1}，所以∁UA＝{x﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．故选：D．【点评】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．2．（4分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则z＝（）A．1B．5C．7D．25【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：由i•z＝3﹣4i，得z＝，∴z＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．3．（4分）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝（）A．B．C．1D．﹣1【分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得a值．【解答】解：圆（x﹣a）2+y2＝1的圆心坐标为（a，0），∵直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，∴圆心在直线2x+y﹣1＝0上，可得2a+0﹣1＝0，即a＝．故选：A．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题．，（第6页（共214．（4分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（）A．f（﹣x）+f（x）＝0B．f（﹣x）﹣f（x）＝0C．f（﹣x）+f（x）＝1D．f（﹣x）﹣f（x）＝【分析】根据题意计算f（x）+f（﹣x）的值即可．【解答】解：因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．故选：C．【点评】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．5．（4分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（）A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减B．f（x）在（﹣，）上单调递增C．f（x）在（0，）上单调递减D．f（x）在（，）上单调递增【分析】利用二倍角公式化简得f（x）＝cos2x，周期T＝π，根据余弦函数的单调性可得f（x）的单调递减区间为[kπ，]（k∈Z），单调递增区间为[，π+kπ]（k∈Z），进而逐个判断各个选项的正误即可．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，周期T＝π，∴（fx）的单调递减区间为[kπ]k∈Z），单调递增区间为[，π+kπ（]k∈Z），对于A，f（x）在（﹣，﹣）上单调递增，故A错误，对于B，f（x）在（﹣，0）上单调递增，在（0，）上单调递减，故B错误，对于C，f（x）在（0，）上单调递减，故C正确，对于D，f（x）在（，）上单调递减，在（，）上单调递增，故D错误，故选：C．第7页（共21【点评】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．第8页（共216．（4分）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．【解答】解：因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．7．（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A.当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C.当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态第9页（共21【分析】计算每个选项的lgP的值，结合T与图可判断结论．【解答】解：对于A，当T＝220，P＝1026时，lgP＞3，由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；对于B：当T＝270，P＝128时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；对于C：当T＝300，P＝9987时，lgP≈4，由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；对于D：当T＝360，P＝729时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确；故选：D．【点评】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题．8．（4分）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（）A．40B．41C．﹣40D．﹣41【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出a0和a2，以及a4的值，可得结论．【解答】解：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，∴a0+a2+a4＝+•22+＝1+24+16＝41，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．9．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈SPQ≤5}，则T表示的区域的面积为（）A．B．πC．2πD．3π【分析】设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，根据正三角形的性质求得OA的长，并由勾股定理求得OP的长，进而知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆．【解答】解：设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，则OA＝＝2，所以OP＝＝＝2，由＝＝1，知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆，所以其面积S＝π．第10页（共2故选：B．【点评】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．10．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（）A．[﹣5，3]B．[﹣3，5]C．[﹣6，4]D．[﹣4，6]【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设P（x，y），计算可得＝﹣3x﹣4y+1，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解．【解答】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则A（3，0），B（0，4），C（0，0），设P（x，y），因为PC＝1，所以x2+y2＝1，又＝（3﹣x，﹣y），＝（﹣x，4﹣y），第10页（共21所以＝﹣x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y＝﹣3x﹣4y+1，设x＝cosθ，y＝sinθ，所以＝﹣（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+1，其中tanφ＝，当sin（θ+φ）＝1时，有最小值为﹣4，当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为6，所以∈[﹣4，6]，故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（﹣∞，0）∪（0，1]．【分析】由分母不为0，被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域．【解答】解：要使函数f（x）＝+有意义，则，解得x≤1且x≠0，所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．12．（5分）已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝﹣3．【分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得m＜0，求出渐近线方程，结合已知即可求解m的值．【解答】解：双曲线y2+＝1化为标准方程可得y2﹣＝1，所以m＜0，双曲线的渐近线方程y＝±x，又双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．第11页（共2113．（5分）若函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，则A＝1；f（）＝﹣．【分析】由题意，利用函数的零点，求得A的值，再利用两角差的正弦公式化简f（x），可得f（）的值．【解答】解：∵函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，∴A﹣×＝0，∴A＝1，函数f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），∴f（）＝2sin（﹣）＝2sin（﹣）＝﹣2sin＝﹣，故答案为：1；﹣．【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题．14．（5分）设函数（fx）＝若（fx）存在最小值，则a的一个取值为0；a的最大值为1．【分析】对函数f（x）分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时a的范围即可．【解答】解：当a＜0时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，当a＝0时，函数f（x）图像如图所示，满足题意；当0＜a＜2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足﹣a2+1≥0，解得：0＜a≤1；第12页（共21当a＝2时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，当a＞2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数f（x）有最小值，需（a﹣2）2≤﹣a2+1，无解，故不满足题意；综上所述：a的取值范围是[0，1]，故答案为：0，1．【点评】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目．15．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an•Sn＝9（n＝1，2，…）．给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是①③④．【分析】对于①，求出a2即可得出结论；对于②，假设{an}为等比数列，推出矛盾即第13页（共21可得出结论；对于③，容易推得an＜an﹣1；对于④，假设所有项均大于等于，推出矛盾即可判断．【解答】解：对于①n＝1时，可得a1＝3，当n＝2时，由a2•S2＝9，可得a2•（a1+a2）＝9，可得a2＝＜3，故①正确；对于②，当n≥2时，由得，于是可得，即，若{an}为等比数列，则n≥2时，an+1＝an，即从第二项起为常数，可检验n＝3不成立，故②错误；对于③，因为an•Sn＝9，an＞0，a1＝3，当n≥2时，Sn＝，所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＞0，所以＞⇒＞⇒an＜an﹣1，所以{an}为递减数列，故③正确；对于④，假设所有项均大于等于，取n＞90000，则，则anSn＞9与已知矛盾，故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）在△ABC中，sin2C＝sinC．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式化简可得cosC，进一步计算可得角C；（Ⅱ）根据三角形面积求得a，再根据余弦定理求得c，相加可得三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵sin2C＝sinC，∴2sinCcosC＝sinC，第14页（共21又sinC≠0，∴2cosC＝，∴cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝；（Ⅱ）∵△ABC的面积为6，∴absinC＝6，又b＝6，C＝，∴×a×6×＝6，∴a＝4，又cosC＝，∴＝，∴c＝2，∴a+b+c＝6+6，∴△ABC的周长为6+6．【点评】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．第15页（共21【分析】（1）通过证面面平证线面平行；（2）通过证明BC，BA，BB1两两垂直，从而建立以B为坐标原点，BC，BA，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值．【解答】解：（I）证明：取AB中点K，连接NK，MK，∵M，为A1B1的中点．∴B1M∥BK，且B1M∥BK，∴四边形BKMB1是平行四边形，故MK∥BB1，MK⊄平面BCC1B1；BB1⊂平面BCC1B1，∴MK∥平面BCC1B1，∵K是AB中点，N是AC的点，∴NK∥BC，∵NK⊄平面BCC1B1；BC⊂平面BCC1B1，∴NK∥平面BCC1B1，又NK∩MK＝K，∴平面NMK∥平面BCC1B1，又MN⊂平面NMK，∴MN∥平面BCC1B1；（II）∵侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，平面BCC1B1∩平面ABB1A1＝BB1，∴CB⊥平面ABB1A1，∴CB⊥AB，又NK∥BC，∴AB⊥NK，若选①：AB⊥MN；又MN∩NK＝N，∴AB⊥平面MNK，又MK⊂平面MNK，∴AB⊥MK，又MK∥BB1，∴AB⊥BB1，∴BC，BA，BB1两两垂直，若选②：∵CB⊥平面ABB1A1，NK∥BC，∴NK⊥平面ABB1A1，KM⊂平面ABB1A1，∴MK⊥NK，又BM＝MN，NK＝BC，BK＝AB，∴△BKM≌△NKM，∴∠BKM＝∠NKM＝90°，第16页（共21∴AB⊥MK，又MK∥BB1，∴AB⊥BB1，∴BC，BA，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BC，BA，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），N（1，1，0），M（0，1，2），A（0，2，0），∴＝（0，1，2），＝（1，1，0），设平面BMN的一个法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，则y＝﹣2，x＝2，∴平面BMN的一个法向量为＝（2，﹣2，1），又＝（0，2，0），设直线AB与平面BMN所成角为θ，∴sinθ＝cos＜，＞＝＝＝．∴直线AB与平面BMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题．18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；第17页（共21乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，X的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出EX．（Ⅲ）根据三位同学以往成绩的平均值可知，甲获得冠军的概率估计值最大．【解答】解：（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率＝．（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝，X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝＝，∴EX＝0×＝．（Ⅲ）丙获得冠军的概率估计值最大．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．第18页（共2119．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当MN＝2时，求k的值．【分析】（Ⅰ）利用已知和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程．（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出x1+x2，x1•x2，再表示出MN，化简即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，，∴b＝1，c＝，a＝2，∴椭圆E的方程为+y2＝1．（Ⅱ）设过点P（﹣2，1）的直线为y﹣1＝k（x+2），B（x1，y1），C（x2，y2），联立得，即（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k2+16k＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝[（16k2+8k）]2﹣4（1+4k2）（16k2+16k）＞0，∴k＜0，由韦达定理得x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∵kAB＝，∴直线AB为y＝x+1，令y＝0，则x＝，∴M（，0），同理N（，0），∴MN＝﹣＝﹣＝（﹣）＝•＝•＝＝2，（Ⅱ）由（Ⅰ）有：g（x）＝，令，令x+1＝k（k≥1），第19页（共21∴•＝2，∴＝，∴k＝﹣4．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．20．（15分）已知函数f（x）＝exln（1+x）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．【分析】（Ⅰ）对函数求导，将x＝0代入原函数及导函数得到纵坐标和斜率即可；（Ⅱ）对g（x）求导，并研究g（x）导函数的正负即可．（Ⅲ）构造函数w（x）＝f（x+t）﹣f（x），利用w（x）单调性判断f（s+t）﹣f（s）与f（t）﹣f（0）大小关系即可．【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得：，将x＝0代入原函数可得f（0）＝0，将x＝0代入导函数可得：f′（0）＝1，故在x＝0处切线斜率为1，故y﹣0＝1（x﹣0），化简得：y＝x；，设，恒成立，故h（x）在[0，+∞）单调递增，又因为h（0）＝1，故h（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故g′（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）单调递增；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又g（0）＝1，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）单调递增，设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又因为x+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），故w（x）单调递增，又因为s＞0，故w（s）＞w（0），第20页（共21即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．【点评】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列．（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4；（Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7．【分析】（Ⅰ）直接根据m﹣连续可表数列的定义即可判断；（Ⅱ）采用反证法证明，即假设k的值为3，结合Q是8﹣连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；（Ⅲ）首先m﹣连续可表数列的定义，证明得出k≥6，然后验证k＝6是否成立，进而得出所证的结论．【解答】解：（Ⅰ）若m＝5，则对于任意的n∈{1，2，3，4，5}，a2＝1，a1＝2，a1+a2＝2+1＝3，a3＝4，a2+a3＝1+4＝5，所以Q是5﹣连续可表数列；由于不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6﹣连续可表数列；（Ⅱ）假设k的值为3，则a1，a2，a3最多能表示a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3，共6个数字，与Q是8﹣连续可表数列矛盾，故k≥4；现构造Q：1，2，3，4可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在k＝4满足题意．故k的最小值为4．（Ⅲ）先证明k≥6．从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5+4+3+2+1＝15个正整数，不能表示20个第21页（共21正整数，即k≥6．若k＝6，最多可以表示6+5+4+3+2+1＝21个正整数，由于Q为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，所以其中必有一项为负数．既然5个正整数都不能连续可表1﹣20的正整数，所以至少要有6个正整数连续可表1﹣20的正整数，所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，这是不可能成立的，故k≠6．故k≥7．【点评】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．第1页（共252022年广东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x＜4}，N＝{x3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x0≤x＜2}B．{x≤x＜2}C．{x3≤x＜16}D．{x≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。第2页（共25（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．OP•OQ＞OA2D．BP•BQ＞BA2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE＝6，则△ADE的周长是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．第3页（共25（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（AB），P（A）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R第4页（共25的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．第5页（共252022年广东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x＜4}，N＝{x3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x0≤x＜2}B．{x≤x＜2}C．{x3≤x＜16}D．{x≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x＜4}＝{x0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x3x≥1}＝{xx}，∴M∩N＝{x0≤x＜16}∩{xx}＝{x≤x＜16}．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．【解答】解：如图，第6页（共25＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）第7页（共25A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为．故选：D．【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．3【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则（f）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b第8页（共25【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f'（x）＝，x＞0，当f'（x）＝0时，x＝1，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，∴，∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e0.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）第9页（共25A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，∴，∴，∴l2＝6h，又∵3≤l≤3，∴，∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），∴当时，V'（h）＞0，V（h）单调递增；当4时，V'（h）＜0，V（h）单调递减，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝，V（）＝，且，∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．第10页（共25【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，第11页（共25∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y＝2x是曲线y＝（fx）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，第12页（共25过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．OP•OQ＞OA2D．BP•BQ＞BA2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及第13页（共25了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，∴x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，进而可得g（）＝g（）＝0，故x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，第14页（共25∴（，t）关于x＝的对称点为（﹣，t），∴g（﹣）＝f′（）＝0，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错第15页（共25误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r2＝4，如图：∵OC＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0，第16页（共25由，解得b＝（负值舍去），则l1：3x+4y﹣5＝0；由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣1，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，第17页（共25即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE＝6，则△ADE的周长是13．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，AD＝DF2，AE＝EF2，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，DE＝＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于DE+DF2+EF2＝4a＝8c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第18页（共2517．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，........，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．第19页（共2518．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、第20页（共25转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V＝V，∴S•d＝，∴×2•d＝，解得d＝．（2）连接AB1交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，第20页（共25∵AA1＝AB，∴BC×AB×＝2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则＝（0，2，0），＝（1，1，1），＝（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，0，﹣1），设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，c），，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（0，1，﹣1），cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（AB），P（A）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R第21页（共25：＝的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（AB）＝＝，＝＝，P（B）＝1﹣P（AB）＝，P（）＝1﹣P（A）＝，所以R＝×＝6．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，第22页（共25Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得，化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化简得：2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣1）＝0，而直线l不过A点，故k＝﹣1；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，β（α＜β），因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，第23页（共25因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，点A到直线PQ的距离，故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f'（x）和g'（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f'（x）＝ex﹣a，g'（x）＝a﹣，∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣在x∈（0，+∞）上单调递增，∴函数f'（x）和函数g'（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f'（x）＝0时，x＝lna，当g'（x）＝0时，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，第24页（共25∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝1+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，所以函数u（x）在（1，+∞）上单调递增，因为u（1）＝e﹣2＞0，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x≥1时恒成立，所以x≥1时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，1）上存在唯一交点，设该交点为（m，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），即b＝f（m），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣2m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，由0＜m＜1，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由0＜m＜1，得m＜1＜em，第25页（共25所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣2m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．第1页（共252022年湖南省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x＜4}，N＝{x3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x0≤x＜2}B．{x≤x＜2}C．{x3≤x＜16}D．{x≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。第2页（共25（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．OP•OQ＞OA2D．BP•BQ＞BA2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE＝6，则△ADE的周长是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．第3页（共25（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（AB），P（A）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R第4页（共25的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．第5页（共252022年湖南省高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x＜4}，N＝{x3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x0≤x＜2}B．{x≤x＜2}C．{x3≤x＜16}D．{x≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x＜4}＝{x0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x3x≥1}＝{xx}，∴M∩N＝{x0≤x＜16}∩{xx}＝{x≤x＜16}．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．【解答】解：如图，第6页（共25＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）第7页（共25A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为．故选：D．【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．3【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则（f）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b第8页（共25【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f'（x）＝，x＞0，当f'（x）＝0时，x＝1，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，∴，∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e0.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）第9页（共25A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，∴，∴，∴l2＝6h，又∵3≤l≤3，∴，∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），∴当时，V'（h）＞0，V（h）单调递增；当4时，V'（h）＜0，V（h）单调递减，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝，V（）＝，且，∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．第10页（共25【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，第11页（共25∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y＝2x是曲线y＝（fx）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，第12页（共25过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．OP•OQ＞OA2D．BP•BQ＞BA2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及第13页（共25了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，∴x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，进而可得g（）＝g（）＝0，故x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，第14页（共25∴（，t）关于x＝的对称点为（﹣，t），∴g（﹣）＝f′（）＝0，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错第15页（共25误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r2＝4，如图：∵OC＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0，第16页（共25由，解得b＝（负值舍去），则l1：3x+4y﹣5＝0；由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣1，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，第17页（共25即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE＝6，则△ADE的周长是13．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，AD＝DF2，AE＝EF2，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，DE＝＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于DE+DF2+EF2＝4a＝8c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第18页（共2517．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，........，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．第19页（共2518．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、第20页（共25转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V＝V，∴S•d＝，∴×2•d＝，解得d＝．（2）连接AB1交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，第20页（共25∵AA1＝AB，∴BC×AB×＝2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则＝（0，2，0），＝（1，1，1），＝（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，0，﹣1），设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，c），，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（0，1，﹣1），cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（AB），P（A）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R第21页（共25：＝的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（AB）＝＝，＝＝，P（B）＝1﹣P（AB）＝，P（）＝1﹣P（A）＝，所以R＝×＝6．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，第22页（共25Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得，化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化简得：2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣1）＝0，而直线l不过A点，故k＝﹣1；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，β（α＜β），因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，第23页（共25因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，点A到直线PQ的距离，故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f'（x）和g'（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f'（x）＝ex﹣a，g'（x）＝a﹣，∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣在x∈（0，+∞）上单调递增，∴函数f'（x）和函数g'（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f'（x）＝0时，x＝lna，当g'（x）＝0时，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，第24页（共25∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝1+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，所以函数u（x）在（1，+∞）上单调递增，因为u（1）＝e﹣2＞0，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x≥1时恒成立，所以x≥1时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，1）上存在唯一交点，设该交点为（m，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），即b＝f（m），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣2m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，由0＜m＜1，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由0＜m＜1，得m＜1＜em，第25页（共25所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣2m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．第1页（共252022年山东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x＜4}，N＝{x3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x0≤x＜2}B．{x≤x＜2}C．{x3≤x＜16}D．{x≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。第2页（共25（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．OP•OQ＞OA2D．BP•BQ＞BA2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE＝6，则△ADE的周长是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．第3页（共25（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（AB），P（A）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R第4页（共25的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．第5页（共252022年山东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x＜4}，N＝{x3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x0≤x＜2}B．{x≤x＜2}C．{x3≤x＜16}D．{x≤x＜16}【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x＜4}＝{x0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x3x≥1}＝{xx}，∴M∩N＝{x0≤x＜16}∩{xx}＝{x≤x＜16}．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出z+．【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．【解答】解：如图，第6页（共25＝，∴，即．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．【解答】解：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）第7页（共25A．B．C．D．【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为．故选：D．【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．3【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则（f）可求．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b第8页（共25【分析】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能求出结果．【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f'（x）＝，x＞0，当f'（x）＝0时，x＝1，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，∴，∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e0.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）第9页（共25A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，由勾股定理可得，又，所以l2＝6h，由l的取值范围求出h的取值范围，又因为a2＝12h﹣2h2，所以该正四棱锥体积V（h）＝，利用导数即可求出V（h）的取值范围．【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，∴，∴，∴l2＝6h，又∵3≤l≤3，∴，∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），∴当时，V'（h）＞0，V（h）单调递增；当4时，V'（h）＜0，V（h）单调递减，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝，V（）＝，且，∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．第10页（共25【点评】本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【分析】求出异面直线所成角判断A；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B；分别求出线面角判断C与D．【解答】解：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，第11页（共25∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB；由f（x）+f（﹣x）＝2，可判断选项C；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），求出a，b的值，验证点（a，b）是否在曲线y＝f（x）上即可．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y＝2x是曲线y＝（fx）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，第12页（共25过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．OP•OQ＞OA2D．BP•BQ＞BA2【分析】对于A，根据题意求得p的值，进而得到准线；对于B，求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可得出结论；对于C，设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD．【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及第13页（共25了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）【分析】由f（﹣2x）为偶函数，可得f（x）关于x＝对称，可判断C；g（2+x）为偶函数，可得g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，可判断D；由g（）＝0，g（x）关于x＝2对称，可得g（）＝0，得到x＝是f（x）的极值点，x＝﹣也是极值点，从而判断B；f（x）图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A．【解答】解：∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，∴x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，进而可得g（）＝g（）＝0，故x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，第14页（共25∴（，t）关于x＝的对称点为（﹣，t），∴g（﹣）＝f′（）＝0，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错第15页（共25误．故选：BC．【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【分析】由题意依次求出（x+y）8中x2y6，x3y5项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r2＝4，如图：∵OC＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0，第16页（共25由，解得b＝（负值舍去），则l1：3x+4y﹣5＝0；由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣1，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点坐标为（x0，（x0+a）），利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ＞0即可求出a的取值范围．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，第17页（共25即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE＝6，则△ADE的周长是13．【分析】根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，AD＝DF2，AE＝EF2，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，DE＝＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于DE+DF2+EF2＝4a＝8c＝．故答案为：13．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第18页（共2517．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，........，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．第19页（共2518．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、第20页（共25转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面A1BC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V＝V，∴S•d＝，∴×2•d＝，解得d＝．（2）连接AB1交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，第20页（共25∵AA1＝AB，∴BC×AB×＝2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则＝（0，2，0），＝（1，1，1），＝（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，0，﹣1），设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，c），，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（0，1，﹣1），cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（AB），P（A）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R第21页（共25：＝的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据计算K2，对照附表得出结论．（2）（i）根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】解：（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（AB）＝＝，＝＝，P（B）＝1﹣P（AB）＝，P（）＝1﹣P（A）＝，所以R＝×＝6．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，第22页（共25Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．【分析】（1）将点A代入双曲线方程得，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，得，联立，及，根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得，化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化简得：2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣1）＝0，而直线l不过A点，故k＝﹣1；（2）不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，β（α＜β），因为kAP+kAQ＝0，所以α+β＝π，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，第23页（共25因为方程有一个根为2，所以，同理可得，．所以，点A到直线PQ的距离，故△PAQ的面积为．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f（x）和g（x）的单调性，从而求得f'（x）和g'（x）的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）由a的值可求得函数f（x）与函数g（x）的表达式，对函数f（x）与函数g（x）在（0，+∞）上的大小进行比较，可作出曲线函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，根据该图象可确定直线y＝b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，∴f'（x）＝ex﹣a，g'（x）＝a﹣，∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣在x∈（0，+∞）上单调递增，∴函数f'（x）和函数g'（x）在各自定义域上单调递增，又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，∴当f'（x）＝0时，x＝lna，当g'（x）＝0时，x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，第24页（共25∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值∴a﹣alna＝1+lna，解得：a＝1．（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，所以函数u（x）在（1，+∞）上单调递增，因为u（1）＝e﹣2＞0，所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x≥1时恒成立，所以x≥1时，f（x）＞g（x），因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，1）上存在唯一交点，设该交点为（m，f（m））（0＜m＜1），此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，直线y＝b必经过点M（m，f（m）），即b＝f（m），因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣2m+lnm＝0，令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，由0＜m＜1，得lnm＜0＜m，令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由0＜m＜1，得m＜1＜em，第25页（共25所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，因为em﹣2m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，所以lnm，m，em成等差数列．∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．第1页（共152022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝．3．（4分）不等式＜0的解集为．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的第2页（共15四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．1216．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A.若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列B.若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．第3页（共1519．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求CD的最小值．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：f（x+t）﹣f（x），其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．第4页（共152022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝2﹣i．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：2﹣i．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝（1，2）．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．4．（4分）若tanα＝3，则tan（α+）＝﹣2．【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．第5页（共15故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（4分）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），整理得；所以f﹣1（27）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为66．【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，得k＝10，即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为4．【分析】根据题意，分析可得直线x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解，则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故m＝4．故答案为：43第6页（共15【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．8．（5分）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数字作答）【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A3＝12种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，故有12+5＝17个比2134大的四位数，故答案为：17．【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为﹣．【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2x2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则B（2，0），C（0，2），M（1，0），直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，第7页（共15点P在直线上，设P（x，2﹣x），∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，∴•的最小值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为[1，+∞）．【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以实数a的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．第8页（共15【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．（5分）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝2．【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图象，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，∴（xn+1﹣xn）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）下列函数定义域为R的是（）A．y＝B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答】解：，定义域为{xx＞0}，第9页（共15，定义域为{xx≠0}，，定义域为R，，定义域为{xx≥0}．∴定义域为R的是．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．（5分）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（）A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bdD．ad＞bc【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．15．（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A．0B．2C．4D．12【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，第10页（共15∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）A.若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列B.若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列C.若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021D.若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021【分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．【解答】解：如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；故选：D．【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三第11页（共15角函数值表示）（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．【解答】解：（1）因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π•12•2＝2π，圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．18．（14分）已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入S2n≥n，对n分类分析得答案．【解答】解：（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，第12页（共15∴公比q＝，则，∴Sn＝＝4；（2）若{an}是等差数列，则≥n，即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．综上所述，d∈[0，1]．【点评】本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）作DH⊥EF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设∠ADE＝θ，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足为H，则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），30tanθ+15×，当且仅当3tanθ＝，即tan为450﹣≈255.14m2．第13页（共15S四边形ADEF＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，＝（30tanθ+15cot2θ）＝（）＝时取等号，此时AE＝15tanθ＝5，最大面积【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求CD的最小值．【分析】（1）根据条件可得tan∠AFB＝，解出c，利用a²＝b²+c²，求得a，即可求得答案；（2）分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；（3）设P（acosθ，sinθ），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出CD，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题可得B（0，﹣1），F（c，0），因为∠AFB＝，所以tan∠AFB＝＝＝tan＝，解得c＝，，，第14页（共15所以a²＝1+（）²＝4，故Γ的标准方程为+y²＝1；（2）直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），则直线BC：y＝x﹣1，直线AD：y＝x+，交点为（），满足，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），则直线BP：y＝x﹣1，所以C（a，﹣1），A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），则直线AQ：y＝（x+a），所以D（a），所以CD＝﹣1﹣＝﹣﹣1，设tan＝t，则CD＝2（）﹣2，因为≥，所以≥＝4，则CD≥6，即CD的最小值为6．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：f（x+t）﹣f（x），其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．第15页（共15（2）推导出x2≥（x+t）2﹣x2＝2tx+t2，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]，先求出v（x）＝f（x+t）﹣f（x），从而h2（x）＝f（x+t）﹣f（x）﹣f（x）﹣f（x﹣t），由h1（x）＝h2（x），得f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]＝f（x+t）﹣f（x）﹣f（x）﹣f（x﹣t），再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥（x+t）2﹣x2＝2tx+t2，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝f（x+t）﹣f（x），h2（x）＝f（x+t）﹣f（x）﹣f（x）﹣f（x﹣t），∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]＝f（x+t）﹣f（x）﹣f（x）﹣f（x﹣t），∵t＞0，∴，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．第1页（共242022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝33．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．64．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．22πB．8πC．πD．π6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度n第2页（共24C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，ax﹣b+x﹣4﹣2x﹣5≥0，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤310．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣a2（n∈N），则（）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．第3页（共2413．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若FB＝3FA，则双曲线的离心率是．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a＝c，cosC＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．第4页（共2420．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；第5页（共24（Ⅱ）若对于每个n∈N，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点，且点Q（0，）在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝﹣x+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求CD的最小值．22．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）第6页（共242022年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{2}B．{1，2}C．{2，4，6}D．{1，2，4，6}【分析】利用并集运算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，故选：D．【点评】本题考查了并集及其运算，属于基础题．2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得A（2，3），由图可知：当直线3x+4y﹣z＝0过点A时，z取最大值，则z＝3x+4y的最大值是3×2+4×3＝18，第7页（共24故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．4．（4分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，①当sinx＝1时，则cosx＝0，∴充分性成立，②当cosx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，∴sinx＝1是cosx＝0的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）第8页（共24A．22πB．8πC．πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，所以几何体的体积为：+π×12×2+＝π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6．（4分）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移各单位可得y＝2sin[3（x﹣）+]＝2sin3x的图象．故选：D．第9页（共24【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（）A．25B．5C．D．【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．【解答】解：由2a＝5，log83＝b，可得8b＝23b＝3，则4a﹣3b＝＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F﹣BC﹣A的平面角为γ，则（）A．α≤β≤γB．β≤α≤γC．β≤γ≤αD．α≤γ≤β【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化求解即可．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过F作FG⊥AC，垂足点为G，连接GE，则A1A∥FG，∴EF与AA1所成的角为∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，1]，∴tanα∈[0，1]，∴EF与平面ABC所成的角为∠FEG＝β，且tanβ＝∈[1，+∞），∴tanβ≥tanα，...①，第10页（共2再过G点作GH⊥BC，垂足点为H，连接HF，n第11页（共2又易知FG⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴BC⊥平面GHF，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠GHF＝γ，且tanγ＝，又GH∈[0，1]，∴tanγ∈[1，+∞），∴tanγ≥tanα，...②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，...③，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，γ∈[0，），y＝tanx在[0，）单调递增，∴α≤β≤γ，故选：A．【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属中档题．9．（4分）已知a，b∈R，若对任意x∈R，ax﹣b+x﹣4﹣2x﹣5≥0，则（）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤3【分析】取特值，结合选项直接得出答案．【解答】解：取x＝4，则不等式为a4﹣b﹣3≥0，显然a≠0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特值法，排除法等提高解题效率，属于基础题．10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣a2（n∈N），则（）A．2＜100a100＜B．＜100a100＜3第10页（共24∴，∴，∴，则∴，累加可得，，∴∴；C．3＜100a100＜D．＜100a100＜4【分析】分析可知数列{an}是单调递减数列，根据题意先确定上限，得到，由此可推得100an＜3，再将原式变形确定下限，可得，由此可推得，综合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an2＜0，∴{an}为递减数列，又，且an≠0，∴，又a1＝1＞0，则an＞0，，；由得，得，综上，．故选：B．【点评】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．第11页（共24二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝．【分析】直接由秦九韶计算可得面积．【解答】解：由S＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查学生的阅读能力，考查学生计算能力，属基础题．12．（6分）已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝8，a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1）4展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1）4展开式中的二次项系数之和，分别令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣4x3+6x2﹣4x+1，∴a2＝﹣4+12＝8；令x＝0，则a0＝2，令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5＝0，∴a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．故答案为：8，﹣2．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝，cos2β＝．【分析】由诱导公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，由此能求出cos2β的值．第12页（共24【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴3sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+（3sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝，cos2β＝2cos2β﹣1＝2×﹣1＝．故答案为：；．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（6分）已知函数f（x）＝则f（f（））＝；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是3+．【分析】直接由分段函数解析式求f（f（））；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝﹣+2＝，∴f（f（））＝f（）＝+﹣1＝；作出函数f（x）的图象如图：由图可知，若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是．第13页（共24故答案为：；3+．【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．15．（6分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解．【解答】解：根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，∴E（ξ）＝1×+2×+3×+4×＝，故答案为：；．【点评】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题．16．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A（x1，y1），交双曲线的渐近线于点B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若FB＝3FA，则双曲线的离心率是．【分析】过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，依题意，点B在渐近线上，不妨设，根据题设条件可求得点A的坐标为，代入双曲线方程，化简可得a，c的关系，进而得到离心率．【解答】解：如图，过点A作AA′⊥x轴于点A′，过点B作BB′⊥x轴于点B′，由于B（x2，y2）且x2＞0，则点B在渐近线上，第14页（共24不妨设，∴．故答案为：．第15页（共24设直线AB的倾斜角为θ，则，则，即，则FB′＝4m，∴OF＝c＝3m，又，则＝，又，则，则，∴点A的坐标为，∴，即，【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．17．（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是[12+2，16]．【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角第16页（共24坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，y），进而得到2+2+…+2＝8则A1（0，1），，，A7（﹣1，0），第17页（共24（x2+y2）+8，根据点P的位置可求出x2+y2的范围，从而得到2+2+…+2的取值范围．【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，A3（1，0），，A5（0，﹣1），，设P（x，y），则2+2+…+2＝PA12+PA22+PA32+PA42+PA52+PA62+PA72+PA82＝8（x2+y2）+8，∵cos22.5°≤OP≤1，∴，∴，∴12≤8（x2+y2）+8≤16，即2+2+…+2的取值范围是[12+2，16]，故答案为：[12+2，16]．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第18页（共2418．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a＝c，cosC＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据cosC＝，确定C的范围，再求出sinC，由正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞0，所以C∈（0，），且sinC＝＝，由正弦定理可得：＝，即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为4a＝c⇒a＝c＜c，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；由正弦定理可得：＝＝＝5，所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝×5×11×＝22．【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．19．（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．，则，第19页（共24【分析】（Ⅰ）根据题意证出FN⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】证明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF⊂平面CDEF，CB⊂平面ABCD，所以∠FCB为二面角F﹣DC﹣B的平面角，则∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF，则CD⊥FN．又，则△BCF是等边三角形，则CB⊥FN，因为DC⊥FC，DC⊥BC，FC∩BC＝C，FC⊂平面FCB，BC⊂平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因为FN⊂平面FCB，所以DC⊥FN，又因为DC∩CB＝C，DC⊂平面ABCD，CB⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，故FN⊥AD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如图建系：于是，第20页（共24设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，∴，令x＝，则y＝﹣1，z＝，∴平面ADE的法向量，设BM与平面ADE所成角为θ，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若对于每个n∈N，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．【分析】（Ⅰ）由等差数列{an}的首项a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得关于公差d的方程，再由公差d的范围可得d的值，再由等差数列的前n项和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式大于0可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1，因为S4﹣2a2a3+6＝0，可得﹣2a2a3+6＝0，即2（a1+a4）﹣2a2a3+6＝0，a1+a1+3d﹣（a1+d）（a1+2d）+3＝0，即﹣1﹣1+3d﹣（﹣1+d）（﹣1+2d）+3＝0，整理可得：d2＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na1+d＝﹣n+＝，即Sn＝；（Ⅱ）因为对于每个n∈N，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，则（a1+nd+4cn）2＝[a1+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+1）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn2+[（14﹣8n）d+8]cn+d2＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]2﹣4d2≥0，即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣4n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣2n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣1，第21页（共24当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣1，而d＞1，第22页（共24所以d≤﹣1（舍），所以d的范围为（1，+∞）；n＝2时，d≤2或∅，而d＞1，所以此时d∈（1，2]，当n为大于2的任何整数，d≤或d≥，而d＞1，所以d≤（舍），d＞1恒成立；综上所述，n＝2时，d∈（1，2]；n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，+∞），都存在cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列．【点评】本题考查等差数列的性质的应用及等比数列的性质的应用，恒成立的判断方法，属于中档题．21．（15分）如图，已知椭圆+y2＝1．设A，B是椭圆上异于P（0，1）的两点，且点Q（0，）在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝﹣x+3于C，D两点．（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求CD的最小值．【分析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出x1﹣x2，再分别联立直线AP，直线BP与直线，得到C，D两点的坐标，由此可表示出CD，再转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M（x，y），则PM2＝x2+（y﹣1）2＝12﹣12y2+y2第20页（共24﹣2y+1＝﹣11y2﹣2y+13，y∈[﹣1，1]，而函数z＝﹣11y2﹣2y+13的对称轴为，则其最大值为，∴，即点P到椭圆上点的距离的最大值为；（Ⅱ）设直线AB：，联立直线AB与椭圆方程有，消去y并整理可得，（12k2+1）x2+12kx﹣9＝0，由韦达定理可得，，∴＝，设C（x3，y3），D（x4，y4），直线AP：，直线BP：，联立以及，可得，∴由弦长公式可得＝＝＝＝，当且仅当时等号成立，∴CD的最小值为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．第21页（共2422．（15分）设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间．（Ⅱ）（i）设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），求出切线l的方程为（﹣）a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，推导出g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，b＜，要证明b﹣f（a）＜，只需证明lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，利用导数性质能证明a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，推导出要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，由此能证明+＜+＜﹣．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），∴+＝，（x＞0），由＞0，得x＞，∴f（x）在（，+∞）上单调递增；第22页（共24由＜0，得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上单调递减．（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为第23页（共24（），则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x0）（x﹣x0），∵，∴切线l的方程为（﹣）x﹣y+，∴（﹣）a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b），∴函数g（x）有三个不同的零点，∵＝，∵a＞e，∴x＜e，或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，e＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，∴，且②，由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，只需证明，即lna+，令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）单调递增，∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），综上，若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，∴只需证明，∵lnn＞，∴＞[2n﹣（1﹣）]第24页（共24∵h（t1）＝h（t3），∴e（t1﹣t3）﹣ln+，∴，解得•，③要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，即，把③式代入得只需证明（e+a﹣）•（t1+t3）+（）（）≤0，即﹣（）≤0，令＝s，由题意得s＞，当s＞时，＝2•，（n＝），＝＞＞0，∴+＜+＜﹣．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．",)