二重积分的计算方法(1),二重积分的计算方法1+x^2+y^2

('...wd1利用直角坐标系计算1.1积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数在积分区域上连续时，假设为型区域〔如图1〕，即，其中在上连续，那么有；〔1〕假设为型区域〔如图2〕，即，其中在上连续，那么有．[1]〔2〕例1计算，其中是由，，及所围成．分析积分区域如图3所示，为型区域．确定了积分区域然后可以利用公式〔1〕进展求解．解积分区域为型区域那么1.2积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比拟容易求出，但积分区域并不是简单的型或型区域，不能直接使用公式〔1〕或者〔2〕进展计算，这是可以将复杂的积分区域划分为假设干型或型区域，然后利用公式yy=xxy=1D2D1xO2112图3图1图4...wd〔3〕进展计算，例2计算二重积分，其中为直线及所围成的区域．分析：积分区域如图5所示，区域既不是型区域也不是型区域，但是将可划分为均为型区域，进而通过公式〔3〕和〔1〕可进展计算．解划分为，那么1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进展，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进展计算．例3计算二重积分，其中为区域，．分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进展计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为，两局部后，被积函数在每一个积分区域都可以化为根本函数，其原函数很容易求得．解区域如图6可分为，其中OyxD1D2图6yxOx=2yy=2xx+y=3图5...wd，由公式〔3〕那么2利用变量变换法计算定理1设在有界区域上可积，变换，，将平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成平面上的区域，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式，．那么〔4〕〔4〕式叫做二重积分的变量变换公式，2.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进展计算．例4求，其中是由所围曲线〔图7〕分析由于被积函数含有的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换：在变换作用下区域的原像如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解做变换所以DyxO图7图8vuO...wd2.2根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比拟简单，积分区域却比拟复杂时，可考虑积分区域，假设有且，那么把平面上的积分区域对应到平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式〔4〕进展计算．例5求抛物线和直线所围区域的面积．分析的面积．实际是计算二重积分，其被积函数很简单，但是积分区域却比拟复杂，观察积分区域不难发现；，如果设，那么有，解的面积作变换，所以．例6求．所围区域．分析积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T：，它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域．解令在变换作用下，区域的原像，...wd所以．2.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有、或形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比拟方便，如圆形及圆形区域的一局部，可考虑用极坐标变换，这个变换除原点和正实轴外是一一对应的〔严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式〔1〕仍然成立〕，其雅可比行列式为.〔1〕如果原点，且平面上射线常数与积分区域的边界至多交于两点，那么必可表示为，．那么有〔5〕类似地，假设平面上的圆常数与积分区域的边界至多交于两点，那么必可表示为，那么〔6〕〔2〕如果原点为积分区域的内点，的边界的极坐标方程为，那么可表示成，那么有〔7〕〔3〕如果原点在积分区域的边界上，那么为yx图8...wd，那么〔8〕例7计算，其中为圆域：分析观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为，且原点为的内点，故可采用极坐标变换，可以到达简化被积函数的目的．解作变换，那么有．例8计算二重积分，其中是由直线，以及曲线所围成的平面区域．分析首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域与一起围成规那么图形正方形，且为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数．解积分区域如图15所示，为正方形区域，为半圆区域，那么有...wd，而，又故原式．2.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：并且雅可比行列式同样有〔9〕例9计算，其中分析根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换，可以到达简化积分区域和被积函数的目的．解作广义极坐标变换，由〔9〕知3某些特殊函数的计算3.1利用积分区域的对称性简化二重积分的计算...wd如果可以分为具有某种对称性〔例如关于某直线对称，关于某点对称〕的两局部和，那么有如果在上各点处的值与其在上各对称点处的值互为相反数，那么如果在上各点处的值与其在上各对称点处的值恒相等，那么[3]例10计算，其中为双曲线及所围成区域．分析首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到为的偶函数，另一方面关于轴对称，且在在上各点处的值与其在上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解积分区域如图11所示：为在第一象限内的局部，关于轴对称，又为的偶函数，由对称性有宜选择先对后对的积分次序故原式．3.2分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成假设干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成假设干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．例11求，其中为围成的区域．分析被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得的两局部，在两局部上分别积分后，再相加．解为去绝对值号，将分成假设干个子区域，即在内在内故原式，利用极坐标计算有xyOD1D211...wd故原式．例12求,其中,由和所围成.分析首先划出积分区域,将区域分解为如下图三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.解如图12,并由表达式可得.在上有,那么.因而D1D2xyaa+bD312a',)