双曲线、抛物线的参数方程,双曲线抛物线的参数方程

('双曲线、抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)的参数方程是(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠．(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)的参数方程是(φ为参数)．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)．(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．参数方程(t为参数)表示的曲线不在()A．x轴上方B．x轴下方C．y轴右方D．y轴左方解析：选D.原参数方程可化为y2＝8x，故图象不在y轴左方．选D.2．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是()A.，(t为参数)B．，(t为参数)C.，(t为参数)D．，(t为参数)解析：选D.逐一验证知D不满足y2＝4x.3．双曲线，(α为参数)的两焦点坐标是()A．(0，－4)，(0，4)B．(－4，0)，(4，0)C．(0，－)，(0，)D．(－，0)，(，0)解析：选A.tanα＝，secα＝，由sec2α－tan2α＝1，得－＝1，即－＝1.焦点在y轴上，且c2＝a2＋b2＝48，易得双曲线的焦点坐标是(0，－4)，(0，4)．4．双曲线x2－y2＝1的参数方程是____________．解析：由x2－y2＝1，又sec2θ－tan2θ＝1，所以令x＝secθ，y＝tanθ.故参数方程为，(θ为参数)．答案：，(θ为参数)由参数方程求解双曲线、抛物线的几何性质(1)双曲线，(α为参数)的焦点坐标是____________．(2)将方程，化为普通方程是____________．[解析](1)将，化为－x2＝1，可知双曲线焦点在y轴，且c＝＝，故焦点坐标是(0，±)．(2)由y＝＝＝tan2t，将tant＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．1[答案](1)(0，±)(2)y＝x2(1)给出双曲线、抛物线的参数方程就可以化为普通方程，进而化成标准方程，然后获得相应的几何性质．(2)注意双曲线的两种标准方程、抛物线的四种标准方程对应的参数方程的区别，重视参数的取值范围对曲线形状的影响．1.如果双曲线，(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点的距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a＝1，故P到它左焦点F的距离PF＝10或PF＝6.答案：10或62．过抛物线，(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则AB＝________．解析：化为普通方程是：x＝，即y2＝4x，所以p＝2.所以AB＝x1＋x2＋p＝8.答案：8双曲线参数方程的应用已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一点P，与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．[解]双曲线x2－y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则Q(secθ，tanθ)，又圆心C(0，2)，则CQ2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tanθ－2)2＝2(tanθ－1)2＋3.当tanθ＝1，即θ＝时，CQ2取最小值3，此时有CQmin＝.又因为PC＝1，所以PQmin＝－1.(1)用(θ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asecθ，btanθ)．这样可以将两个变量x，y的关系简化为一个变量θ的解析式．此外，我们可以利用θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广泛．(2)本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去圆半径的方法．1.求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．证明：由双曲线－＝1，得两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asecφ，btanφ)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝·＝＝(定值)．2．如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：PF1·PF2＝OP2.2证明：设P(secφ，tanφ)，因为F1(－，0)，F2(，0)．所以PF1＝＝，PF2＝＝，PF1·PF2＝＝2sec2φ－1.因为OP2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，所以PF1·PF2＝OP2.抛物线参数方程的应用设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．[解]设P点的坐标为(2pt2，2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，QF的方程为y＝－2t，它们的交点M(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y2＝－2x，所以点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)．当t＝0时，M(0，0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.(1)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．(2)用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．1.已知抛物线的参数方程为，(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若EF＝MF，点M的横坐标是3，则p＝________．解析：⇒y2＝2px，焦点F，过点M作x轴的垂线，垂足为N(图略)，由题意可知，△MEF是正三角形，所以∠MFN＝60°，在Rt△MFN中，FN＝MFcos60°＝.所以3－＝⇒p＝2.答案：22．连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使OM＝MP，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．解：设M(x1，y1)为抛物线上的动点，P(x，y)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为因为M(x1，y1)在抛物线上，所以，由中点坐标公式得，即(t为参数)，3消去参数t得x2＝4y.它表示的是抛物线．1．双曲线的参数方程中参数φ的几何意义参数φ是双曲线上的点M所对应的圆的半径OA的旋转角称为点M的离心角，而不是OM的旋转角，可类比椭圆的离心角进行理解记忆，双曲线的参数φ的最大取值范围是φ∈R，且φ≠kπ＋(k∈Z)，最小范围是φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠.通常规定，离心角φ的取值范围是φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠.2．双曲线的普通方程与参数方程的互化双曲线的普通方程与参数方程依据公式sec2φ－tan2φ＝1进行互化．由－＝1(a>0，b>0)⇒－＝1⇒令＝secφ，＝tanφ可得参数方程为(φ为参数)．由⇒⇒代入sec2φ－tan2φ＝1得普通方程－＝1(a>0，b>0)．3．抛物线参数方程中参数t的几何意义t＝(α是以射线OM为终边的角)，即参数t表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．4．抛物线的普通方程与参数方程的互化将抛物线的参数方程化为普通方程时只需一式平方与另一式相除即可，将抛物线y2＝2px(p>0)化为参数方程时，必须令x＝2pt2代入y2＝2px中求出y＝±2pt后取y＝2pt得到的参数方程为(t为参数)．5．抛物线另外三种标准方程的参数方程y2＝－2px(p>0)的参数方程是(t为参数)，x2＝2py(p>0)的参数方程是(t为参数)，x2＝－2py(p>0)的参数方程是(t为参数)．6．圆锥曲线的参数方程不是唯一的圆锥曲线的参数方程与所选定的参数有关，不同的参数求出的参数方程也不一样．1．点P(1，0)到曲线，(参数t∈R)上的点的最短距离为()A．0B．1C.D．2解析：选B.设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝PQ2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.2．P为双曲线，(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：选A.由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，故F1(－5，0)，F2(5，0)，设P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，则x＝＝secθ，y＝＝tanθ.从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．3．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为，(t为参数)，曲线C的参数方程为，(θ为参数)，则直线l与曲线C的交点坐标为____________．解析：直线l的参数方程化为普通方程为2x－y－2＝0，同理曲线C的普通方程为y2＝42x，由解得或故直线l与曲线C的交点坐标为(2，2)，.答案：(2，2)，4．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．解析：根据题意，两曲线分别是椭圆＋y2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y2＝x，联立易得它们的交点坐标为.答案：[A基础达标]1．曲线(t为参数)的焦点坐标是()A．(1，0)B．(0，1)C．(－1，0)D．(0，－1)解析：选B.将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．2．已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数)，则该曲线是()A．线段B．圆C．双曲线D．圆的一部分解析：选C.将所给参数方程的两式平方后相减，得x2－y2＝1.并且由x＝a＋≥1，得x≥1或x≤－1，从而易知结果．3．方程，(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：选B.因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2.所以表示双曲线的右支．4．过点M(2，4)且与抛物线只有一个公共点的直线有()A．0条B．1条C．2条D．3条解析：选C.由得y2＝8x.所以点M(2，4)在抛物线上．所以过点M(2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．5．若曲线(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是()A．t1＋t2B．t1－t2C.D．解析：选A.依题意M1(2pt1，2pt)，M2(2pt2，2pt)所以k＝＝＝t1＋t2.6．圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．解析：将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4⇒p＝2，则焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)7．双曲线(θ为参数)的两条渐近线所成的角为________．解析：双曲线(θ为参数)化为普通方程为y2－＝1，故a＝1，b＝，渐近线方程为y＝±x，则两条渐近线所夹的锐角是60°.5答案：60°8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为，(t为参数)和，(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．解析：C1的普通方程为y2＝x(x≥0，y≥0)，C2的普通方程为x2＋y2＝2.由得所以C1与C2的交点坐标为(1，1)．答案：(1，1)9．已知抛物线C：(t为参数)，设O为坐标原点，点M在抛物线C上，且点M的纵坐标为2，求点M到抛物线焦点的距离．解：由，得y2＝2x，即抛物线的标准方程为y2＝2x.又因为M点的纵坐标为2，不妨令M点的横坐标也为2.即M(2，2)．又因为抛物线的准线方程为x＝－.所以由抛物线的定义知MF＝2－＝2＋＝.即点M到抛物线焦点的距离为.10．在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为.解：设P的坐标为(secφ，tanφ)，由P到直线x－y＝0的距离为得＝，得＝2，1－sinφ＝2cosφ，平方得1－2sinφ＋sin2φ＝4(1－sin2φ)，即5sin2φ－2sinφ－3＝0.解得sinφ＝1或sinφ＝－.sinφ＝1时，cosφ＝0(舍去)．sinφ＝－时，cosφ＝±.所以P的坐标为或.[B能力提升]11．已知抛物线C1：，(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝()A．1B．C．D．2解析：选C.抛物线C1的普通方程为y2＝8x，焦点为(2，0)，故直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，由题意＝r，得r＝.12．已知抛物线，(t为参数，p>0)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，则M，N两点间的距离为________．解析：由题知M，N两点的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)，所以MN＝＝＝2pt1－t2＝2p＝4p2.故M，N两点间的距离为4p2.答案：4p213．求证：以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．证明：设双曲线为x2－y2＝a2，取顶点A(a，0)，6弦B′B∥Ox，B(asecα，atanα)，则B′(－asecα，atanα)．因为kB′A＝，kBA＝，所以kB′A·kBA＝－1.所以以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．14．(选做题)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上的一个定点，BC是垂直于x轴的一条弦，直线AB交抛物线的对称轴于D点，直线AC交抛物线的对称轴于E点，求证：抛物线的顶点平分线段DE.证明：设抛物线上的点A的坐标是(，a)，点B的坐标是(，t)，则点C的坐标是(，－t)，于是AB的方程是y－a＝(x－)，即y－a＝(x－)，AB与x轴的交点为D(－，0)，同理直线AC的方程是y－a＝(x－)，所以点E的坐标为(，0)，所以抛物线的顶点平分线段DE.7',)