中考专题-十字模型,中考对角互补模型专题

中考专题十字模型【活动目的】运用所学的知识探究正方形中十字图形的特点及相关结论．活动1：【分析图形】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，AF、DE相交于点G.图①【提出问题】根据题干信息，请从下列条件中选择一个，作为已知条件，其他条件作为结论，并进行证明：①CE＝DF，②AF＝DE，③AF⊥DE，④△ADG∽△AFD.你添加的条件是________，证明结论是____________________．【解决问题】③①②④(答案不唯一)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，图①∵∠ADG＋∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；ADFDCEADCDDAFCDE图①ADFDCEADCDDAFCDE在△ADG和△AFD中，，∴△ADG∽△AFD.AGDADFDAGFAD【总结结论】______________________________________________________________________________________________________________________________________________________；如题图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，AF、DE相交于点G.若AF⊥DE，则有CE＝DF，AF＝DE，△ADG∽△AFD.图①AGDADFDAGFAD活动2：【类比探究】如图②当点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上时，活动1中添加条件是否仍然可以证明相应的结论？说明理由．图②仍然可以．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°，∵∠ADG＋∠CDE＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE(ASA)，∴DF＝CE，AF＝DE；ADFDCEADCDDAFCDE图②ADFDCEADCDDAFCDE在△ADG和△AFD中，，∴△ADG∽△AFD.AGDADFDAGFAD图②AGDADFDAGFAD活动3：【挖掘本质】问题1：如图③，当点E、F分别在BC、CD上运动，且CE＝DF，点G到哪条边中点的距离始终不变？为什么？图③AD理由：∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴点G的运动轨迹是以AD中点为圆心，以AD为直径的一条圆弧，∴点G到AD的中点的距离始终不变．1414问题2：根据点G的运动轨迹你能发现什么结论？图③点G的运动轨迹是以AD中点为圆心，以AD为直径的一条圆弧．1414活动4：【知识迁移】运用所学的知识探究矩形中十字图形的特点．问题：如图④，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，点E是AD上一点，且CE⊥BD，则CE与BD之间有什么数量关系？然后给予证明．图④CE与BD之间的数量关系为.CEmBDn证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠CDE＝90°，∴∠BDE＋∠BDC＝90°，CEmBDn∵CE⊥BD，∴∠BDE＋∠DEC＝90°，∴∠BDC＝∠DEC，∴△CDE∽△BCD，∴.CECDABmBDBCADn图④CECDABmBDBCADn【真题再现】1.在正方形ABCD中，如图①，点E是AB边上的一个动点(点E与点A、B不重合)，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.(1)求证：△ABF≌△BCE；图①第1题图(1)证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＋∠GBC＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB，∠FAB＝∠EBC＝90°，∠GBA＋∠GBC＝90°，∴∠GCB＝∠FBA，在△ABF与△BCE中，，∴△ABF≌△BCE(ASA)；FBAECBABBCFABEBC图①第1题图FBAECBABBCFABEBC(2)当点E运动到AB中点时，连接DG.①如图②，若AB＝2，求DG的长；图②第1题图∵E为AB中点，AB＝2，∴EB＝1，BC＝AB＝2，∴CE＝，在Rt△CEB中，由CE·BG＝EB·BC得BG＝，∴CG＝，222215BCEB122555EBBCCE22455BCBG∟H(2)解：①如解图①，过点D作DH⊥CE于点H，222215BCEB122555EBBCCE22455BCBG∵∠DCE＋∠BCE＝∠BCE＋∠CBF＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，在△CHD与△BGC中，∴△CHD≌△BGC(AAS)，∴CH＝BG＝，∴GH＝CG－CH＝＝CH，,CHDBGCDCHCBGDCCB255255图②第1题图∟H,CHDBGCDCHCBGDCCB255255在△DGH与△DCH中，∴△DGH≌△DCH(SAS)，∴DG＝DC＝2；,GHCHGHDCHDDHDH图②第1题图∟H,GHCHGHDCHDDHDH②如图③，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD、BF于点M、N，求的值．图③第1题图②设正方形ABCD的边长是m，则BE＝，∴CE＝m.易得△BCG∽△ECB，∴，∴CG＝m.2mCGBCCEEC2255BCCE22522mm2mCGBCCEEC2255BCCE22522mm∴CP＝CG＝m，∴DP＝.∴S△DCG＝CG·DP＝.又∵S△DCG＝DG·CH，由(2)得DG＝DC＝m，∴CH＝.易得△CGN∽△CHG，△CDM∽△CHD，55122252555mmm1221252522555mmm1245m图③第1题图如解图②，作DP⊥CG于点P，由(2)可知点P是CG的中点，∟P55122252555mmm1221252522555mmm1245m∴，∴CN＝，CM＝，∴MN＝CM－CN＝，NH＝CN－CH＝m－＝，∴.,CNCGCMCDCGCHCHCH254CDmCH2CGmCH4m45m5m54MNNH图③第1题图∟P,CNCGCMCDCGCHCHCH254CDmCH2CGmCH4m45m5m54MNNH