北师大版八年级上册数学《1-1--第1课时-认识勾股定理》

1.1探索勾股定理第一章勾股定理第1课时认识勾股定理八年级数学·北师版情境引入1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点）2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点）学习目标导入新课如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.情境引入（图中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面积是平方厘米；（2）正方形Q的面积是平方厘米；（3）正方形R的面积是平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2勾股定理的初步认识一讲授新课上面三个正方形的面积之间有什么关系？做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面.ABCCBA填一填：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.A的面积B的面积C的面积左图右图4？怎样计算正方形C的面积呢？9169方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？A的面积B的面积C的面积左图4913右图16925结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.1313551212AABBCC做一做几何语言：∵在RtABC△中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟总结归纳定理揭示了直角三角形三边之间的关系.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．勾股定理求下列直角三角形中未知边的长:练一练8x17125x解：由勾股定理可得：82+x2=172即:x2=172-82x=15解:由勾股定理可得：52+122=x2即：x2=52+122x=13我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：ABC穿越毕达哥拉斯做客现场正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+=一直角边2另一直角边2斜边2+=知识链接例1已知∠ACB=90°,CDAB,AC=3,BC=4.⊥求CD的长.利用勾股定理进行计算二典例精析解：由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC342121512方法总结由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．例2如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．证明：如图，过点A作AEBC⊥于点E.在RtACE△、RtABE△和RtADE△中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．E方法总结构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在RtABD△中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在RtACD△中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.例3在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结解析：因为AE＝BE，所以SABE△＝AE·BE＝AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以SABE△＝AB2＝；同理可得SAHC△＋SBCF△＝AC2＋BC2.又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为AB2＝.例4如图，以RtABC△的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________．2121414941412129方法总结求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．求下列图形中未知正方形的面积及未知边的长度（口答）：?225100已知直角三角形两边，求第三边.练一练当堂练习1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为.8cm10cm36cm²x14481y1441692.求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得：81+144=x2即:x2=225x=15解：由勾股定理可得：y2+144=169即:y2=25y=53.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=6，b=8，则c=.（2）若c=13，b=12，则a=.4.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（）A25B14C7D7或25105D5.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?ABC解：在RtABC△中，根据勾股定理，得：BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，所以BC=0.7.答：梯脚与墙的距离是0.7米.6.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.解：设另一条直角边长是xcm.由勾股定理得:152+x2=172，x2=172-152=289–225=64，所以x=±8（负值舍去），所以另一直角边长为8cm，直角三角形的面积是:6015821(cm2).思维拓展S1S2S3S4S5S6S7S5=S1+S2=4，S7=S5+S6=10.已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7的值.S6=S3+S4=6，认识勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2课堂小结利用勾股定理进行计算谢谢大家