二次根式(第1课时)(课件)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂(人教版)

16.1二次根式（第1课时）第16章二次根式二次根式的概念二次根式的双重非负性二次根式有意义的条件010302CONTANTS目录二次根式的概念01正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根，用表示.a1.什么是一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根，用表示.a复习引入aa3.平方根的性质是什么?一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.复习引入用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为m.3S6531303S65S探究新知3S65(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t该怎么表示?3S65h=5t2=5ht探究新知=5ht一般地，我们把形如_________的式子叫做二次根式，“____”称为二次根号．它们都是表示正数的算术平方根．观察上面的式子，你能发现什么规律？上面问题中，得到的结果分别是：.3655hS、、、0aa你能写出二次根式的定义吗？二次根式的定义探究新知3655hS、、、0aa例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？23(1)32;(2)6;(3)12;(4)-0(5),;(6)1;(7)5.mmxyxya≤；异号解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典型例题23(1)32;(2)6;(3)12;(4)-0(5),;(6)1;(7)5.mmxyxya≤；异号二次根式有意义的条件0212221.xx；当x取何值时，下列根式有意义？二次根式有意义的条件被开方数大于或等于0，即a≥0.解：(1)由x2≥0，得x≥；(2)由-2x+1≥0，得x≤.12探究新知12221.xx；12解：由x2≥0，得x是任意实数，∴当x为任意实数时，都有意义.2x思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？2x3x由x3≥0，得x≥0，∴当x≥0时，有意义.3x探究新知2x2x3x3x112.112aaa；例2当a取何值时，下列根式有意义？(2)由12a＞0，得a＜.12若有分母，则还需保证分母不为0.二次根式有意义的条件解：(1)由a≥0，且a1≠0，得a≥0，且a≠1；典型例题112.112aaa；12例3当x是什么实数时，下列各式有意义？(2)由x+4≥0，且x2≠0，得x≥4，且x≠2；(3)由x2≥0，得x=0；2413423.2xxxx；；分析：(1)由34x≥0，得x≤34提示：关键是被开方数a≥0；若有分母，分母不为0.典型例题2413423.2xxxx；；343(2).1xx（2）∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？111x（）；解（1）由题意得x-1＞0，∴x＞1.针对练习3(2).1xx111x（）；2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？2(1)21;xx2(2)23.xx解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.221xx223xx222110xxx≤，针对练习2(1)21;xx2(2)23.xx221xx223xx222110xxx≤，1.单个二次根式如有意义的条件：A≥0；A2.多个二次根式相加如有意义的条件：...ABN00...0ABN≥；≥；≥；3.二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；BA4.二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.1AB归纳小结A...ABN00...0ABN≥；≥；≥；BA1AB二次根式的双重非负性03问题1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？2x3x前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.aaaaa问题2二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？a探究新知2x3xaaaaaa二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.aa二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性探究新知aaa例4若，求a-b+c的值.223(4)0abc解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.典型例题223(4)0abc例5已知y=,求3x+2y的算术平方根.338xx解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．3030xx≥，≥，典型例题338xx3030xx≥，≥，1.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．3264baa解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．30260aa≥，≥，针对练习3264baa30260aa≥，≥，2.已知3x-y-1和互为相反数，求x+4y的平方根．24xy解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.针对练习24xy1.下列式子中，二次根式的个数是（）A.1B.2C.3D.42331522345xx；；；；A解:(1)5∵＜0，∴不是二次根式；5(2)∵x2+2＞0，∴是二次根式；5(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴不一定是二次根式；3x(4)∵的根指数是3，∴不是二次根式.3535课堂练习2331522345xx；；；；553x35352.当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义?分析：(1)由x＋7≥0可得，x≥－7；2517231.1xxx；；(2)由，且x－1≠0可得，x－1＜0，即x＜1；501x(3)x为任意实数时，＞0，可得，在实数范围内有意义.21x课堂练习2517231.1xxx；；501x21x3.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．222mmm解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2．(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．26xxm解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.课堂练习222mmm26xxm4.若x，y是实数，且y＜,求的值.1112xx11yy解：根据题意得，∴x=1.∵y＜,∴y＜，∴.1112xx1211111yyyy1010xx≥，≥，课堂练习1112xx11yy1112xx1211111yyyy1010xx≥，≥，5.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0由乘法法则得解得x≥1或x≤0即当x≥1或x≤0时，有意义.1xx001010xxxx≥，≤，或≥，≤，1xx课堂练习1xx001010xxxx≥，≤，或≥，≤，1xx体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？221xx解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．2021xx≥，2020210210xxxx≥，≤，或＞，＜，1212221xx课堂练习221xx2021xx≥，2020210210xxxx≥，≤，或＞，＜，1212221xx一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.a二次根式①被开方数大于或等于0，即a≥0；②若有分母，则还需保证分母不为0.00.aaa中≥；≥定义条件双重非负性二次根式课堂小结a00.aaa中≥；≥感谢观看