双曲线及其标准方程 (1),双曲线及其标准方程118页探究

('双曲线及其标准方程自主预习·探新知情景引入通过前面的学习，我们已经知道，平面内与两个定点距离之和为常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．如果我们把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹还存在吗？如果存在，点的轨迹又是什么呢？它的方程又是怎样的呢？新知导学1．双曲线的定义(1)在平面内到两个定点F1、F2距离之__差__的绝对值等于定值2a(大于0且小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点之间的距离叫做双曲线的__焦距__.(2)定义中为何强调“绝对值”和“0<2aF1F2，则动点的轨迹是__不存在__.②双曲线定义中应注意关键词“__绝对值__”，若去掉定义中“__绝对值__”三个字，动点轨迹只能是__双曲线的一支__.2．双曲线方程焦点在x轴上的双曲线的标准方程为__－＝1(a>0，b>0)__，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为__－＝1(a>0，b>0)__.其中在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为__a2＋b2＝c2__.3．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系椭圆双曲线定义MF1＋MF2＝2a定义MF1－MF2＝±2a因为a>c>0，所以令a2－c2＝b2(b>0)因为00)＋＝1或＋＝1(a>b>0)－＝1或－＝1(a>0，b>0，a不一定大于b)预习自测1．双曲线x2－＝1的焦点坐标是(B)A．(0，±2)B．(±2,0)C．(0，±)D．(±，0)2．已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(A)A．PF1－PF2＝5B．PF1－PF2＝6C．PF1－PF2＝7D．PF1－PF2＝0[解析]A中，∵F1F2＝6，∴PF1－PF2＝5F1F2，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵PF1－PF2＝0，即PF1＝PF2，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A．3．双曲线－＝1的焦距为(D)A．3B．4C．3D．4[解析]c＝＝＝2，焦距2c＝4.4．(2019－2020学年辽宁葫芦岛协作校考试)若方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是__(4，＋∞)__.[解析]由题意可得，解得m＞4.故答案为(4，＋∞)．5．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则PF1－PF2＝__－8__.[解析]双曲线方程为－＝1，∴a＝4，∴PF1－PF2＝2a＝8，又∵P在左支上，F1为左焦点，∴PF1－PF2＝－8.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶双曲线的定义典例1已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[思路分析]利用两圆内、外切的充要条件找出M点所满足的几何条件，结合双曲线定义求解．[规范解答]设动圆M的半径为r，则由已知MC1＝r＋，MC2＝r－，∴MC1－MC2＝2.又C1(－4,0)、C2(4,0)，∴C1C2＝8，∴20，cosθ<0，故选A．┃┃跟踪练习2__■已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(A)A．(－1,3)B．(－1，)C．(0,3)D．(0，)[解析]由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)，代入点的坐标，解方程组求出a2、b2，也可以直接设方程Ax2＋By2＝1(A>0，B<0)．[规范解答](1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a＝4.∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∵焦点在x轴上，∴所求的双曲线标准方程是－＝1.(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则，∴，∴双曲线方程为－＝1.『规律总结』利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求．┃┃跟踪练习3__■根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；(2)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．[解析](1)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝a2＋b2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(2)已知双曲线经过两个已知点，因焦点位置不确定，需分类讨论求解，或设出一般方程求解．(1)解法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20，①∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.解法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)解法一：当焦点在x轴上时，设标准方程为－＝1(a>0，b>0)．∵点P，Q在双曲线上，∴此方程无解．当焦点在y轴上时，设标准方程为－＝1(a>0，b>0)．∵点P，Q在双曲线上，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1.解法二：设双曲线的方程为＋＝1，mn<0.∵点P，Q在双曲线上，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1.命题方向❹焦点三角形问题典例4设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上．(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积；(2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2的面积又是多少？[思路分析]由于三角形面积S△F1PF2＝PF1·PF2·sinθ，所以只要求出PF1·PF2即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出PF1·PF2.[规范解答](1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，设PF1＝r1，PF2＝r2(r1>r2)，如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得r＋r－2r1r2＝16.∵∠F1PF2＝90°，∴r＋r＝4c2＝4×()2＝52.∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝r1r2＝9.(2)若∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，由余弦定理得F1F22＝r＋r－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋r1r2，而r1－r2＝4，F1F2＝2，∴r1r2＝36.于是S△F1PF2＝r1r2sin60°＝×36×＝9.同理可求得若∠F1PF2＝120°时，S△F1PF2＝3.『规律总结』双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ，因F1F2＝2c，所以有(1)定义：r1－r2＝2a.(2)余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cosθ(3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sinθ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，求问题就会顺利解决．┃┃跟踪练习4__■设P为双曲线－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为__9__.[解析]由双曲线－＝1知：a＝4，b＝3，故c＝＝5，所以F1F2＝2c＝10.又由双曲线的定义，得PF1－PF2＝8，两边平方，得PF12＋PF22－2PF1·PF2＝64，①在△PF1F2中，由余弦定理，得F1F22＝PF12＋PF22－2PF1PF2cos60°，即PF12＋PF22－PF1PF2＝100，②①－②，得PF1PF2＝36，所以S△PF1F2＝PF1·PF2sin60°＝×36×＝9.故填9.命题方向❺双曲线的实际应用典例5相距2000m的两个哨所A、B，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间迟4s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．[思路分析]爆炸点与哨所A、B的“距离差”等于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间差”，且爆炸点距B哨所较近．[规范解答]设爆炸点为P，由已知可得PA－PB＝330×4＝1320>0.因为AB＝2000>1320，所以点P在以A、B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上．建立如图平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，线段AB的中点为坐标原点．由2a＝1320,2c＝2000得，a＝660，c＝1000，b2＝c2－a2＝564400.因此，点P所在曲线的方程是－＝1(x>0)．『规律总结』解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．┃┃跟踪练习5__■A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此经过4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，则炮击的方向角是__北__(南、北)偏__东__(东、西)__30__度．[解析]如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B(－3,0)、A(3,0)、C(－5,2)．因为PB＝PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上．因为kBC＝－，BC中点D(－4，)，所以直线PD：y－＝(x＋4)．①又PB－PA＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．设P(x，y)，则双曲线方程为－＝1(x≥0)②联立①、②式，得x＝8，y＝5，所以P(8,5)．因此kPA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°.故答案为：北；东；30.学科核心素养双曲线的其他形式(1)双曲线的一般方程：当ABC≠0时，方程Ax2＋By2＝C可以变形为＋＝1，由此可以看出方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号．此时称方程Ax2＋By2＝C为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，将其化为标准方程，即＋＝1.因此，当A>0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当B>0时，表示焦点在y轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．典例6下列各选项中，与－＝1共焦点的双曲线是(C)A．＋＝1B．－＝1C．－＝1D．＋＝1[规范解答]方法一：因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B．方法二：与－＝1共焦点的双曲线系方程为－＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．故选C．┃┃跟踪练习6__■与双曲线－＝1有相同焦点，且过点的双曲线方程为__－＝1__.[解析]设所求双曲线的方程为－＝1(－64<λ<36)．将x＝10，y＝代入方程，得－＝1，解得λ＝－4或λ＝(舍去)．故所求双曲线的方程为－＝1.易混易错警示典例7已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．[错解]将双曲线方程化为标准方程－＝1.因为焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝，所以c＝＝＝3，即＝9，所以k＝.[辨析]上述解法有两处错误：一是a2、b2确定错误，应该是a2＝－，b2＝－；二是a、b、c的关系式用错了．在双曲线中应为c2＝a2＋b2.[正解]将双曲线方程化为kx2－y2＝1，即－＝1.因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c＝3，a2＝－，b2＝－，所以a2＋b2＝－－＝－＝c2＝9.所以k＝－1.课堂达标·固基础1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(B)A．B．1C．1或－2D．1或[解析]由题意得4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2(舍去)故选B．2．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点(a>0)，且PF1⊥PF2，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程是(D)A．－＝1B．－＝1C．x2－＝1D．－y2＝1[解析]由题意知c＝，∵PF1⊥PF2，∴在△ABC中，PF12＋PF22＝20.又PF1·PF2＝2，∴(PF1－PF2)2＝16，∴a2＝4，∴b2＝1.∴方程为－y2＝1.故选D．3．(2019－2020福州一中学段模考)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，且PF2的中点M在以O为圆心OF1为半径的圆上，则PF2＝(C)A．12B．9C．4D．2[解析]如图，连接F1M、F1P，由圆的性质可得F1M⊥F2P，又M为PF2的中点，所以F1P＝F1F2＝2＝12，则PF2＝F1P－8＝4.故选C．4．(2020·浙江湖州期末调研)双曲线C：－y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，则PF1－PF2＝__2__.5．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)c＝，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0,5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.[解析](1)因为c＝，且焦点在x轴上，故可设标准方程为－＝1(a2<6)．因为双曲线经过点(－5,2)，所以－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)．所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.(2)因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5.所以b2＝52－32＝16.所以所求双曲线标准方程为－＝1.课时作业·练素能A级基础巩固一、选择题1．双曲线－＝1的焦距是(C)A．16B．4C．8D．22．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是(D)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线[解析]方程mx2－my2＝n可化为：－＝1，∵mn<0，∴－>0，∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．3．(2019－2020学年房山区期末检测)已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，P为其上一点．若点P到F1的距离为15，则点P到F2的距离是(A)A．31B．1C．－1D．－1或31[解析]双曲线－＝1的焦点为F1，F2，P为其上一点．所以PF1－PF2＝2a＝16，若点P到F1的距离为PF1＝15，∴15－PF2＝16，解得PF2＝31或PF2＝－1(舍去)，所以点P到F2的距离是31.故选A．4．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(C)A．k<－3B．k>－2C．－3－2[思路分析]由于方程表示焦点在x轴上的双曲线，故k＋3>0，k＋2<0.[解析]由题意可知，，解得－30，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)、B(－，4)，由点A在双曲线上知，－＝1.解方程组，得.∴所求曲线的方程为－＝1.三、解答题9．已知双曲线经过两点M(1,1)、N(－2,5)，求双曲线的标准方程．[解析]设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点M(1,1)、N(－2,5)代入上述方程，得到，解得.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.10．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解析]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，∴MF2－MF1＝33m2－2>0，解得－m>，则当x∈∪时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，A正确；若3m2－2>m2＋2，解得m<－或m>，此时曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；若3m2－2<0，解得－PF2，由双曲线的定义知PF1－PF2＝2，∴PF1＝8，PF2＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴F1F2＝10，∴△PF1F2为直角三角形S△PF1F2＝PF1PF2＝24.6．双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，若焦点在x轴上，那么m＝__7__，若焦点在y轴上，那么m＝__－2__.[解析]当焦点在x轴上时，有m>5，则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；当焦点在y轴上时，有m<0，则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2.三、解答题7．已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且＝，求双曲线的方程．[解析]易得直线5x－2y＋20＝0与两坐标轴交点为(－4，0)和(0,10)．若(－4,0)为焦点，则c＝4，而＝，所以a＝，b2＝16－＝.故双曲线的方程为－＝1.若(0,10)为焦点，则c＝10，故a＝6，b2＝100－36＝64.故双曲线的方程为－＝1.综上，双曲线的方程为－＝1或－＝1.8．在△ABC中，A、B、C所对三边分别为a、b、c，B(－1,0)、C(1,0)，求满足sinC－sinB＝sinA时顶点A的轨迹，并画出图形．[解析]∵sinC－sinB＝sinA，∴c－b＝a＝×2＝1，即AB－AC＝1b就是AB>AC，可知A点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点如图所示．',)