双曲线及其标准方程 (1),双曲线及其标准方程118页探究

('双曲线及其标准方程一、教学内容分析前郭蒙中陈玲本节课是《普通高中课程标准实验教科书·（2-1）》（人教A版）第二章第三节第一课（2.3.1）《双曲线及其标准方程》。在学习本节课知识之前，学生已经学习了椭圆，了解了椭圆的定义，经历了根据t椭园的几何性质建立适当的直角坐标系求椭圆的标准方程的过程，也了解了椭圆的简单的几何性质，知道建立曲线方程的依据是：弄清曲线上的动点运动的过程中所满足的几何条件，则类比椭圆，首先要了解双曲线的画法，掌握双曲线的定义，弄清楚双曲线上的点所满足的几何条件，建立适当的直角坐标系，求其标准方程。在这个过程中注意与建立椭圆的标准方程进行比较。二、学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力。通过前面对椭圆及其标准方程及简单几何性质的学习，学生已经体会到了根据几何图形的特征及动点所满足的几何条件建立平面直角坐标系，求其标准方程，因此，学生已经具备了探索发现研究双曲线及其标准方程的基础，故应通过指导，教会学生独立思考，大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想和学习方法。三、设计思想学生是教学的主体，本节课以建构主意基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计。以培养学生学会学习、学会探究为重要前提，倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。四、教学目标1.掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；2.能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程；3.能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；4.培养学生观察、分析，归纳和逻辑推理能力。五、教学重点与难点教学重点：双曲线的定义和标准方程。教学难点：双曲线标准方程的推导过程。六、教学过程设计（一）创设情境，引入新课教师：我们已经学习过椭圆，知道椭圆是平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹，那么平面上到两个定点距离的差是一个非零常数的点的轨迹是什么呢？【设计意图】：数学教学应当从问题开始。首先设疑，提出新的问题，打破知识结构的平衡，引发学生的学习兴趣。图2.3-1学生活动：可以由学生动手实验，如图2.3-1，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一个点，分别固定在点F1,F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。问题1：在运动的过程中，这条曲线上的点所满足的几何条件是什么？学生：小组交流讨论，分析实验中的“变”与“不变”的条件。在拉链未拉开时MF1=MF;拉链拉开后，F2F是定长，MF1,MF2都在变化，但是他们的差MF1-MF2是不变的。图2.3-1（A）中是MF1-MF2=常数，得到的是双曲线的左支，而图2.3-1（B）中是MF2-MF1=常数，得到的是双曲线的另一支。【设计意图】弄清楚曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一。新教材为引导学生自主发现、探索留有比较充分的空间，在教学中我们应充分利用这些空白空间，目标问题化，问题设疑化，过程探讨化，再给予学生发挥的空间，促进他们主动地学习和发展，让空白的地方丰富多彩也是学习方式丰富的表现。教师：问题2：应该如何描述动点M所满足的几何条件呢？学生：双曲线是平面上一个动点到两个定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹。即P=｛MF2-MF1=常数｝。【设计意图】：整理实验，教会学生独立思考，大胆探索和灵活运用类比、归纳的数学思想的学习方法。教师：问题3：还有其它的约束条件吗？学生：通过观察图2.3-1（A）（B），知道这个“差”要小于这两个定点间的距离F1F2<2a.师生活动：师生共同讨论，平面上一个动点到两个定点距离之差等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？类比椭圆的定义，由学生给出双曲线的定义，教师总结.（二）新课讲解1.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。说明：（1）MF2-MF1=2a.(a>0)（2）F1F2=2c且2a<2c2.定义探究教师：为什么要有2a<2c这样的限制条件呢？其它的情况又会是怎样呢？我们一起来分析一下。3、双曲线标准方程的推导过程探究：类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样适当选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？师生活动：所谓适当，应该分析双曲线的某些特征（如对称性等），使方程比较简单：以线段F1F2的中点为原点，以F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.教师：我们学习过去曲线方程的一般步骤，现在我们一起根据定义，求双曲线的标准方程（师生互动，共同推导）第一步：建立直角坐标系；oF2F1MF2F1MxOy第二步：设点：设M（x,y）是双曲线上的任意一点，焦点分别为F1(-c，0)和F2(c,0)，M点到焦点的距离差的绝对值等于2a；第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集：第四步：建立方程，因为所以，第五步：化简方程,得【设计意图】：与化简椭圆的方程联系，运用化简椭圆方程的经验。师生活动：请3~4名学生板演化简方程，教师在教室中走动，观察一些同学（尤其是学习有困难的学生）的化简过程。教师：引导学生评价板演情况，肯定好的，如表达规范、运算简洁；如有问题找出问题的原因。①类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得两边同除以由双曲线的定义可知，2c>2a,即c>a,所以类比椭圆标准方程的建立过程，我们令，其中b>0,代入上式，得②从上述过程中可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x,y)为坐标的点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上。由双曲线与方程的关系可知，方程②是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程。它表示焦点在x轴上，焦点分别为的双曲线，这里。教科书边空问题：“你能在y轴上找到一点B,使得OB=b吗？”【设计意图】：学生对椭圆标准方程中b的认识已经很清楚，这里对a的意义认识也很容易，借助（形似勾股定理，找一条直角边，又指定要在y轴上找），找点B，应该不困难。学生：以双曲线与x轴的焦点A为圆心，以线段OF2(或OF1)为半径画圆交y轴于点B1,B2.教师：问题4：椭圆有两个标准方程，双曲线也有两个吗？另一个是如何得到的？【设计意图】：反复与椭圆类比，既加强与已有知识联系，又找出与旧知识的不同之处（“同化”与“顺应”）学生：有。另一个是把方程中的x,y对调。教师：我们在求双曲线标准方程的过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要，那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？学生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为和我们发现焦点所在轴相关的未知数的分母总是a,所以可以由a来判定。教师：很好，如果我们知道的方程是，那么如何寻找a?学生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。教师：如果方程是呢？学生：先化成标准方程。教师：请学生总结一下。学生：化标准，找正号。4.指导应用、例题分析练习：已知方程表示双曲线，则m的取值范围是什么？此时双曲线的焦点坐标是多少？焦距是多少？变式：若将9改称2+m，则m的取值范围又是多少？【设计意图】：通过本题加深对双曲线定义的了解。例1.已知双曲线两个焦点分别为,双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以因此，双曲线的标准方程为变式：已知两个定点的坐标分别为，动点P到F1,F2距离的差等于6，求P点轨迹方程。解：因为所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线的标准方程为因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以因此，双曲线的标准方程为【设计意图】：根据双曲线的定义，求双曲线的标准方程，进一步了解双曲线的定义及其双曲线的标准方程。学会对双曲线定义的应用，并会求其标准方程5.课堂练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程。（1）焦点在x轴上，a=4,b=3;（2）焦点在x轴上，经过点（3）焦点为且经过点.6.作业习题2.3A组第2，3题.七．教学反思课堂教学中我充分发挥自制课件的优势，将自己的想法和教学目标充分融入到自制的课件中，丰富了课堂内容，使学生对双曲线的形成过程非常直观形象。为了体现新课改的精神，要培养学生积极参与的习惯，激发学生的学习兴趣，让学生尽可能的从要我学转变为我要学。但是仍有不足之处，今后的课堂教学应该把更多的主动权交给学生，让学生在课堂中体现自我，自己学会寻找问题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推动整个教学程序的展开。总之，今后要在教学中体现“学生是学习的主体，教师是引导者参与者、组织者、合作者”的新课程理念，在教学中不断的渗透数学思想方法，提高综合运用能力。在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡量学生，尽量做到让不同的学生得到不同的发展。',)