正定矩阵的判定,正定矩阵的判定条件

('正定矩阵的判定摘要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型TheDeterminationOfThePositiveDefiniteMatrixName:ZhengShashaStudentNumber:200640501443Abstract:Inviewoftheimportanceandthewiderangeofapplicationsofpositivedefinitematrix,thispapergivesseveralequivalentconditionsoftheofthedetermintionpositivedefinitematrix,alsoprovesthemonebyone,andassistsometypicalexamples.Keywords:Positivedefinitematrix;Orthogonalmatrix;determinant;Characteristicvalue;Positivedefinitequadraticform一、利用定义（一）阶实对称矩阵称为正定矩阵，如果对于任意的维实非零列向量，都有。正定的实对称矩阵简称为正定矩阵，记作。例设是正定矩阵，是非奇异实方阵，则也是正定矩阵。证明：因为是实对称阵，故显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量，由于(是非奇阵),故,即是正定阵。．实对称矩阵是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的维实非零列向量X=,二次型是正定二次型。．实对角矩阵是正定矩阵的充分而且必要条件是(,,)。．实对称矩阵是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型的秩与符号差都等于。二、利用主子式（一）阶实对称矩阵的一切顺序主子式都大于，则为正定矩阵。证明：对作数学归纳法。当时，，由条件，显然有是正定的。假设该论断论断对元二次型已经成立，现在来证元的情形。令，于是矩阵可以分块写成。既然的顺序主子式全大于零，当然的顺序主子式也全大于零。由归纳法假定，是正定矩阵，换句话说，有可逆的级矩阵使，这里代表级矩阵。令,于是\uf03d\uf03d再令,有\uf03d\uf03d令,,有\uf03d两边取行列式，\uf03d。由条件，，因此。显然\uf03d这就是说，矩阵与单位矩阵合同，因之是正定矩阵。例判断二次型是否正定。解：二次型的矩阵为三角矩阵的任意的阶顺序主子式，所以矩阵为正定矩阵，原二次型为正定二次型。（二）阶实对称矩阵的一切主子式都大于，则为正定矩阵。证明：设是的一个阶主子矩阵,由于的任意一个顺序主子式均为的一个主子式,所以它们都大于。所以为正定矩阵。例证明若称为正定矩阵，则的一切主子式都大于。证明：(反证法)设\uf03d是正定矩阵,若存在阶主子矩阵则由于是阶实对称矩阵,由引理知存在阶正交矩阵使,其中为的特征值。由于，且知的特征值中至少有一个小于。不失一般性,设，令,则且，再令，当时，；当为其他时，。则,且,这与为正定矩阵的假设矛盾。（三）阶实对称矩阵的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵，则为正定矩阵。证明：由于的一切主子矩阵都是正定矩阵,也是它自身的一个主子矩阵,所以也是正定矩阵。例取何值时，二次型是正定二次型。解：二次型对应的矩阵为，要使二次型正定，必须的各顺序主子式全大于零，即满足，,。得到，所以当时，二次型为正定二次型。三、利用标准型（一）合同于n阶单位矩阵，则为正定矩阵。证明：若合同于,则存在可逆矩阵,使得\uf03d。任取\uf0b9,,则。于是，故为正定矩阵。例设,是实对称矩阵，是正定矩阵，证明：存在实可逆阵，使为对角阵。证明：由于是正定阵，从而合同于，即存在实可逆阵，使。而仍为是对称阵，从而存在正交阵，使\uf03d,其中是的特征值，令，则得证。（二）若存在正定矩阵,使得\uf03d，则为正定矩阵。证明：如果正定,使得\uf03d,则为对称可逆矩阵,且有\uf03d\uf03d\uf03d,即合同于,所以正定。（三）阶实对称矩阵的所有特征值都大于，则为正定矩阵。证明：设的全部特征值全大于零，由引理得\uf03d\uf03d,其中\uf03d。因为为实对称矩阵，且特征值，,所以为正定矩阵。例试证二次型：为正定二次型。证明：设对应的矩阵为，则计算可得\uf03d。所以的特征值为由于的特征值全为正，所以为正定阵，从而为正定二次型。（四）半正定,且≠，则为正定矩阵。证明：设的特征值为，，，由半正定可知,，，所以正定。例设是阶正定矩阵，是阶半正定矩阵，求证:，当且仅当或时等号成立。证明:由知，存在阶可逆矩阵，使得，有，又因为显然是半正定的，设，则有\uf03d\uf03d其中是的所有阶主子式之和，。因为,它的主子式都非负，因此所以由此得当或时显然成立；当且时易知，于是至少有一个，此时的一阶主子式，不能为零，否则\uf03d，这与半正定矛盾。于是，进一步有,从而成立。（五）对任意可逆矩阵,都有正定，则为正定矩阵。证明：由正定,为可逆矩阵,可得,即与合同，而合同不改变矩阵的正定性,所以为正定矩阵。例如果,都是阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。证明：因为,为正定矩阵，所以为正定二次型，且，,因此+于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。四、以下几个重要结论也常用来判定矩阵是正定的（一）与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。（二）正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。证明:因为正定矩阵与单位矩阵合同，所以存在可逆矩阵，使得,取逆矩阵,记，即有,则与合同，所以是正定阵。（三）正定矩阵的任何主子式阵必为正定矩阵。证明：假设是一个阶正定矩阵，它的阶主子式阵，其中由于，从而知的任何主子式阵都是正定的。（四）对于任意的实对称矩阵，必有实数，，使得与是正定矩阵。证明：实对称矩阵的特征根都是实数，不妨记其中绝对值最大的一个特征根为，只要取，即可使是正定阵。这是因为假设是正交阵，使则+\uf03d其中由于，可知是正定阵。当取时，则,是正定矩阵。（五）假设都是正定矩阵，并且，则也必为正定矩阵。证明：易知的特征根大于零，当时，,说明又是对称的，从而可知是正定的。例判断二次型是否正定。解：二次型对应的矩阵显然的元素绝对值最大值者为，为非对角元，则为非正定矩阵，所以二次型也是非正定的。五、小结：正定矩阵的判定在矩阵理论中占有重要的地位，因此，对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面，或是实际应用方面都有重要的意义。参考文献：[1]PullmanNP.MatrixTheoryanditsApplications[M].AcademicPress,1976．[2]COMPA.PrinciplesandPracticeofMathematics[M].Springer-Verlag,BerlinHeidelberg,1998.[3]JohnsonCR.Positivedefinitematrices[J].AmerMathMothly,1970,77:259-264.[4]胡跃进,骈俊生.广义正定矩阵的一个不等式[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2001,18(1):10-11.[5]北京大学数学系.高等代数[M].2版.北京:高等教育出版社,1988.[6]张禾瑞,郝丙新.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,1983.[7]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社，2002.',)