第二节二重积分计算,二重积分的计算方法

('第二节二重积分的计算教学目的：掌握二重积分的计算方式，能正确计算二重积分教学重点：二重积分计算教学难点：利用极坐标计算二重积分、应用教学时数：6教学内容：一般情形下，直接利用二重积分的概念计算二重积分是超级困难的，二重积分的计算能够归结为求二次定积分（即二次积分）。此刻咱们由二重积分的几何意义导出二重积分的计算方式。一、利用直角坐标系计算二重积分若二重积分存在，和式极限值与区域D的分法无关，故在直角坐标系下咱们用与坐标轴平行的两组直线把D划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形（如图所示），于是小矩形的面积Δσ=ΔxΔy，因此在直角坐标系下，面积元素为：dσ=dxdy于是二重积分可写成∬Df(x,y)dσ=∬Df(x,y)dxdy此刻，咱们按照二重积分的几何意义，结合积分区域的几种形状，推导二重积分的计算方式。1．积分区域D为：a≤x≤b，ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)其中函数ϕ1(x)，ϕ2(x)在[a,b]上持续（如图所示）。不妨设f(x,y)≥0，由二重积分的几何意义知，∬Df(x,y)dxdy表示以D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积（如图所示）．咱们能够应用第五章中计算“平行截面面积为巳知的立体的体积”的方式，来计算那个曲顶柱体的体积．先计算截面面积。在区间[a,b]中任意取定一点x0，过x0作平行于yoz面的平面x=x0，那个平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[ϕ1(x0),ϕ2(x0)]为底，曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形（图中阴影部份），其面积为A(x0)=∫ϕ1(x0)ϕ2(x0)f(x0,y)dy一般地，过区间[a,b]上任意一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A(x)=∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy于是，由计算平行截面面积为已知的立体体积的方式，得曲顶柱体的体积为V=∫abA(x)dx=∫ab[∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy]dx即∬Df(x,y)dxdy=∫ab[∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy]dx上式右端是一个先对y、再对x的二次积分．就是说，先把x看做常数，把f(x,y)只看做y的函数，并对y计算从ϕ1(x)到ϕ2(x)的定积分，然后把所得的结果（是x的函数）再对x计算从a到b的定积分．那个先对y、再对x的二次积分也常记作∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy从而把二重积分化为先对y，再对x的二次积分的公式写作∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy在上述讨论中，咱们假定f(x,y)≥0．但实际上公式的成立并非受此条件限制。2．积分区域D为：ψ1(y)≤x≤ψ2(y)，c≤y≤d其中函数ψ1(y)，ψ2(y)在区间[c,d]上持续（如图所示）。仿照第一种类型的计算方式，有∬Df(x,y)dxdy=∫cd[∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx]dy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx这就是把二重积分化为先对x、再对y的二次积分的公式。3．若是积分区域D不能表示成上面两种形式中的任何一种，那么，可将D分割，使其各部份符合第一种类型或第二种类型（如图所示）。例1：计算积分∬D(x+y)2dxdy，其中D为矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤2。解法一：矩形区域既属于第一种类型，也属于第二种类型，所以，能够先对x积分，也能够先对y积分。先选择先对y积分。∬D(x+y)2dxdy=∫01dx∫02(x+y)2dy=∫0113(x+y)302dx=∫01[(x+2)33−x33]dx=112(x+2)401−112x401=163解法二：再选择先对积分例2：计算积分∬Dxexydxdy，其中D为矩形区域：0≤x≤1，−1≤y≤0。解：积分区域虽然是矩形区域，但先对x进行积分，需要用分步积分法，比较麻烦。若是先对y积分，则比较简单。所以此题选择先对y积分。∬Dxexydxdy=∫01dx∫−10xexydy=∫01exy−10dx=∫−10(1−e−x)dx=(x+e−x)01=1e例3：计算∬D12(2−x−y)dxdy，其中D是直线y=x与抛物线y=x2围成的区域。解：积分区域D如图所示。直线y=x与抛物线y=x2的交点是(0,0)与(1,1)。(1)若先对y后对x积分，则积分区域D表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x故∬D12(2−x−y)dxdy=∫01dx∫x2x12(2−x−y)dy=∫01(y−12xy−14y2)x2xdx=∫0114(4x−7x2+2x3+x4)dx=11120(2)若先对x后对y积分，则积分区域D表示为：0≤y≤1，y≤x≤√y故∬D12(2−x−y)dxdy=∫01dy∫y√y12(2−x−y)dx=∫01(x−14x2−12xy)y√ydy=∫0114(4√y−5y−2y√y+3y2)dy=11120例4：计算二重积分∬Dy2dxdy，其中D是抛物线x=y2，直线2x−y−1=0所围成。解：画出积分区域的图形（如图所示），解方程组{x=y22x−y−1=0得抛物线和直线的两个交点(1,1)，(14,−12)。选择先对x积分，后对y积分，则积分区域D表示为：−12≤y≤1，y2≤x≤y+12∬Dy2dxdy=∫−121dy∫y2y+12y2dx=∫−121y2(y+12−y2)dy=∫−121(y32+y22−y4)dy=(18y4+16y3−15y5)−121=63640固然，那个积分也能够选择另一种积分顺序，即先对y后对x积分，如图所示。但必需把积分区域D划分成两个区域D1和D2，别离表示为：D1：0≤x≤14，−√x≤y≤√xD2：14≤x≤1，2x−1≤y≤√x∬Dy2dxdy=∬D1y2dxdy+∬D2y2dxdy=∫014dx∫−√x√xy2dy+∫141dx∫2x−1√xy2dy=63640例5：计算二重积分∬Dx2y2dxdy，其中D是由直线x=2，y=x及双曲线xy=1所围成的区域（如图所示）。解：直线y=x与双曲线xy=1在第一象限的交点为(1,1)，选择先对y后对x积分，则积分区域D可表示为：1≤x≤2，1x≤y≤x于是∬Dx2y2dxdy=∫12dx∫1xxx2y2dy=∫12x2(−1y)1xxdx=∫12(−x+x3)dx=94固然，那个积分也能够选择另一种积分顺序，即先对x后对y积分。但必需把积分区域D划分成两个区域，别离表示为：12≤y≤1，1y≤x≤21≤y≤2，y≤x≤2∬Dx2y2dxdy=∫121dy∫1y2x2y2dx+∫12dy∫y2x2y2dx=94从例4、例5两例能够看出，积分顺序的选择直接影响着二重积分计算的繁简程度。显然，积分顺序的选择与积分区域有关。例6：计算∬De−y2dxdy，其中D是由直线x=0，y=x，y=1围成的（如图所示）。解：选选对x后对y积分，则积分区域D表示为：0≤y≤1，0≤x≤y∬De−y2dxdy=∫01dy∫0ye−y2dx=∫01ye−y2dy=−12e−y201=12(1−1e)若是改变积分顺序，即先对y积分，后对x积分，则得∬De−y2dxdy==∫01dx∫x1e−y2dy由于e−y2的原函数不能用初等函数表示，所以无法计算出二重积分的结果．从例6明白，选择积分顺序也要考虑到被积函数的特点。从咱们所作的这些例题看到，计算二重积分关键是如何化为二次积分，而在化二重积分为二次积分的进程中又要注意积分顺序的选择。由于二重积分化为二次积分时，有两种积分顺序，所以通过二重积分能够将已给的二次积分进行改换积分顺序，这种积分顺序的改换，有时能够简化问题的计算。二、利用极坐标计算二重积分对于某些被积函数和某些积分区域，利用直角坐标系计算二重积分往往是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。下面介绍在极坐标系下，二重积分∬Df(x,y)dσ的计算方式。在极坐标系下计算二重积分，只要将积分区域和被积函数都化为极坐标表示即可。为此，分割积分区域，用r取一系列的常数（取得一族中心在极点的同心圆）和θ取一系列的常数（取得一族过极点的射线）的两组曲线将D分成小区域Δσ。如图所示。设Δσ是半径为r和r+Δr的两个圆弧及极角θ和θ+Δθ的两条射线所围成的小区域，其面积可近似地表示为Δσ=rΔr⋅Δθ因此在极坐标系下的面积元素为dσ=rdrdθ再别离用x=rcosθ，y=rsinθ代替被积函数中的x，y。于是取得二重积分在极坐标系下的表达式∬Df(x,y)dσ=∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ下面分三种情形，给出在极坐标系下如何把二重积分化成二次积分1．极点O在区域D之外，D是由θ=α，θ=β，r=r1(θ)和r=r2(θ)围成（如图所示），这时有公式∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr2．极点O在区域D的边界上，D是由θ=α，θ=β，r=r(θ)围成（如图所示），这时有公式∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβdθ∫0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr3．极点O在区域D之内，区域是由r=r(θ)所围成（如图所示），这时有公式∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫02πdθ∫0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr例7：计算二重积分∬D√x2+y2dσ，其中D：(x−a)2+y2≤a2(a>0)。解：积分区域D（如图所示），D的边界曲线(x−a)2+y2≤a2(a>0)的极坐标方程为r=2acosθ(a>0)。属于第二种情形，于是∬D√x2+y2dσ=∫−π2π2dθ∫02acosθr2dr=8a33∫−π2π2cos3θdθ=8a33∫−π2π2(1−sin2θ)cosθdθ=8a33∫−π2π2(1−sin2θ)dsinθ=8a33(sinθ−13sin3θ)−π2π2=329a3例8：计算二重积分∬Dsin√x2+y2dxdy，其中D为二圆x2+y2=π2和x2+y2=4π2之间的环形区域。解：积分区域D（如图所示），属于第一种情形。在极坐标下D可表示为：0≤θ≤2π，π≤r≤2π于是∬Dsin√x2+y2dxdy=∫02πdθ∫π2πsinr⋅rdr=∫02π(−rcosr+sinr)π2πdθ=∫02π(−3π)dθ=−3πθ02π=−6π2例9：计算球体x2+y2+z2≤4a2被圆柱面x2+y2=2ax(a>0)所截得的（含在圆柱面内的部份）立体的体积（如图所示）。解：由对称性V=4∬D√4a2−x2−y2dxdy其中D为半圆周y=√2ax−x2及x轴所围成的区域，在极坐标系中，D可表示为：0≤θ≤π2，0≤r≤2acosθ于是V=4∬D√4a2−x2−y2dxdy=4∫0π2dθ∫02acosθ√4a2−r2⋅rdr=323a3∫0π2(1−sin3θ)dθ=323a3(π2−23)一般说来，当被积函数为f(x2+y2)的形式，而积分区域为圆形，扇形，圆环形时，在直角坐标系下计算往往很困难，通常都是在极坐标系下来计算。三、无界域上的反常二重积分和一元函数一样，能够引进无界域上的反常二重积分。它是在概率统计中有普遍应用的一种积分形式，一般可先在有界域上积分，然后令有界域趋于原无界域时取极限求解。例10：计算二重积分，其中是以曲线和及轴为边界的无界区域。解：令由曲线和及围成，则于是',)