§2-8-曲线的曲率

('§2-8曲线的曲率§2-8曲线的曲率在§2-7中研究了平面曲线的弯曲方向(下凸或上凸)，而没有考虑到曲线的弯曲程度.我们将用曲线的曲率表示曲线的弯曲程度，在研究物体的运动(包括与运动有关的工程或机械设计)时，它有很重要的理论和实际意义.直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为.一般情形下，如图2-38，弧的全曲率规定为起点处切线方向与终点处切线方向的偏差.可是，弧的全曲率与弧的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些.这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关.因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为的弧的全曲率同弧长的比值，称为该弧的平均曲率.它有点像质点运动的平均速度.像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限定义为弧在点处的曲率(其中为弧的全曲率,为弧的长度).对于半径为的圆周来说(图2-39)，由于，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲9090\uf071\uf044A\uf071\uf044R图2-39OB\uf071\uf044BA图2-38Cs\uf044DR\uf0b7图2-40xO曲率圆y),1(aA曲率圆2\uf03dyax第2章微分和微分法·导数的简单应用率可能不尽相同，但是当弧上点处的曲率时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点相切(即有公切线)且半径.这样的圆周就称为弧上点处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点处的曲率中心.如图2-40中那个抛物线在原点或点的曲率圆.请读者注意，因为曲率有可能是负数，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半径也有可能是负数.保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向.在实际应用中，有时把绝对值称为曲率.对于用方程表示的弧(图2-41)，由于，所以，若有二阶导数，则注意到，则弧上点处的曲率为(2-10)当时，曲率半径为(2-11)其中，时，曲率和曲率半径都大于，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图2-41).反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧9191图2-41xθx()\uf03dyyxyO曲率圆A§2-8曲线的曲率的下方.例32对于图2-40中那个抛物线，因为，所以(曲率),(曲率半径)显然，原点处有最大曲率，最小曲率半径.点处的曲率和曲率半径依次为，可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大.对于用参数方程表示的曲线弧，其中和有二阶导数且[不妨认为]因为，把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得(曲率公式)(2-12)(曲率半径公式)(2-13)习题1.求下列曲线的曲率和曲率半径：9292第2章微分和微分法·导数的简单应用⑴(双曲线)；⑵(抛物线)；⑶.答案：⑴；⑵；⑶.2.在对数曲线上，求出曲率绝对值最大的点.答案：.3.极坐标系中曲线的曲率公式证明：极坐标系中曲线的曲率公式为[提示:]并由此求下列曲线的曲率:⑴(阿基米德螺线)；⑵(对数螺线)；⑶(心形线)；⑷(双纽线).答案：⑴；⑵；⑶；⑷.9393',)