2021-2022学年北师大版初二数学八年级下册--1.1--等腰三角形第1课时-三角形的全等和等腰

1.1等腰三角形第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质第一章三角形的证明【学习目标】1.复习全等三角形的判定定理及相关性质；2.理解并掌握等腰三角形的性质及推论,能够用其解决简单的几何问题.【学习重点】等腰三角形性质及推论的理解及应用.【学习难点】等腰三角形三线合一的性质的理解及应用.教学目标问题在七下时曾学习三角形全等，你还记得全等三角形的哪些知识？②两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).③两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA).①三边分别相等的两个三角形全等(SSS).情境引入④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。定义性质判定全等三角形的对应边相等，对应角相等.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.讲授新课全等三角形的判定和性质一已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∴∠C=∠F（等量代换）.∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.FEDCBA定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.问题：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？情境引入问题1：你还记得等腰三角形吗?问题2：你能剪出一个等腰三角形吗?等腰三角形的性质推论二议一议定义:有两边相等的三角形是等腰三角形.议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？性质定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).等腰三角形的两个底角相等.ABC已知：△ABC中，AB=AC,求证：B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中ACBD12∵AB=AC,1=2(∠∠已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=2,∠AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,1=2∠∠（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在△ABC中,性质4:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.总结归纳（等腰三角形的性质）性质3:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ABCD性质2:轴对称图形.性质1:两腰相等(定义).ABCD例1如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.典例精析分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）设∠A=x°,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°,ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=C=BDC∠∠，∠A=ABD∠.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.归纳当堂练习1.如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________________．∠C＝∠D（答案不唯一）2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________；(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°,30°结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.①顶角+2×底角=180°②顶角=180°－2×底角③底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°