实际问题与反比例函数(第2课时)(课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂(人教版)
实际问题与反比例函数(第2课时)1.通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究,使学生体会数学建模思想和学以致用的数学理念,并能从函数的观点来解决一些实际问题.(重点)2.掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想.(重点、难点)给我一个支点,我可以把地球撬动!---阿基米公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说,杠杆原理为:阻力×阻力臂=动力×动力臂例1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时,撬动石头至少需要多大的力?(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少?解:根据“杠杆原理”,得Fl=1200×0.5,所以F关于l的函数解析式为当l=1.5m时,因此撬动石头至少需要400N的力.600Fl600400N1.5F600Fl600400N1.5F例1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少?解:对于函数,F随l的增大而减小.因此,只要求出F=200N时对应的l的值,就能确定动力臂l至少应加长的量.当F=400×0.5=200N时,3-1.5=1.5m对于函数,当l>0时,l越大,F越小.因此,若想用力不超过400N的一半,则动力臂至少要加长1.5m.6003m200l600Fl600Fl6003m200l600Fl600Fl用反比例函数的知识解释:在我们使用撬棍时,为什么动力臂越长就越省力.阻力×阻力臂=动力×动力臂定值某同学设计了如下杠杆平衡实验:如图,取一根长65cm的质地,均匀木杆,用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来,在中点的左侧,距离中点20cm处挂一个重9N的物体,在中点的右侧,用一个弹簧测力计向下拉,使木杆保持平衡(动力×动力臂=阻力×阻力臂),改变弹簧测力计与中点O的距离L(单位:cm),观察弹簧测力计的示数F(单位:N).通过实验,得到下表数据:第1组第2组第3组第4组第5组L/cm2024252830F/N97.5106(1)解:∵阻力×阻力臂是个定值,∴随着L的增大,F会减小,∴第3组是明显错误的;(2)解:设F•L=k,则k=9×20=180,∴F•L=180;(3)解:∵,∴当F≤10(N)时,,L≥18(cm),∵木杆长65cm,O是木杆的中点,∴L≤32.5(cm),∴18cm≤L≤32.5cm.例2.某校科技小组进行野外考察,利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)也随之变化变化.如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N,那么(1)用含S的代数式表示p,p是S的反比例函数吗?为什么?解:由得FpS600.pSp是S的反比例函数,因为给定一个S的值,对应的就有唯一的一个p值和它对应,根据函数定义,则p是S的反比例函数.FpS600.pS(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少?解:当S=0.2m2时,故当木板面积为0.2m2时,压强是3000Pa.6003000.0.2p6003000.0.2p(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大?解:当p=6000时,由得6006000S6000.1.6000S对于函数,当S>0时,S越大,p越小.因此,若要求压强不超过6000Pa,则木板面积至少要0.1m2.600pS6006000S6000.1.6000S600pS某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强与气球体积之间成反比例关系,其图象如图所示.(1)当时,求P的值;(2)当气球内的气压大于时,气球将爆炸,为确保气球不爆炸,气球的体积应不小于多少?解:(1)设这个函数解析式为:,代入点A的坐标得,,∴,∴这个函数的解析式为;将代入得:∴(Pa),∴P的值是帕;某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强与气球体积之间成反比例关系,其图象如图所示.(1)当时,求P的值;(2)当气球内的气压大于时,气球将爆炸,为确保气球不爆炸,气球的体积应不小于多少?(2)∵气球内气体的压强大于时,气球将爆炸,∴为了安全起见,,,∴为了安全起见,气球的体积不少于.电学知识告诉我们,用电器的功率P(单位:W)、两端的电压U(单位:V)及用电器的电阻R(单位:Ω)有如下关系:PR=U2.这个关系也可写为P=_____,或R=_____.2UR2UP2UR2UP例3.一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110--220Ω.已知电压为220V,这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?(2)这个用电器功率的范围是多少?解:(1)根据电学知识,当U=220时,得2220PR2220PR例3.一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110--220Ω.已知电压为220V,这个用电器的电路图如图所示.(2)这个用电器功率的范围是多少?(2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小.把电阻的最小值R=110代入①式,得到功率的最大值(W)把电阻的最大值R=220代入①式,得到功率的最小值(W)因此用电器功率的范围为220--440W.2220440110P2220220210P2220440110P2220220210P结合例3,想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节.收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速由用电器的功率决定.一辆汽车前灯电路上的电压U(V)保持不变,选用灯泡的电阻为R(),通过的电流强度为I(A),由欧姆定律可知,.当电阻为时,测得通过的电流强度为0.4A.(1)求I关于R的函数表达式.(2)为了保证电流强度不超过0.6A,求选用灯泡电阻的取值范围.(1)解:∵电阻为时,电流强度为0.4A,∴,即(V).∴.一辆汽车前灯电路上的电压U(V)保持不变,选用灯泡的电阻为R(),通过的电流强度为I(A),由欧姆定律可知,.当电阻为时,测得通过的电流强度为0.4A.(1)求I关于R的函数表达式.(2)为了保证电流强度不超过0.6A,求选用灯泡电阻的取值范围.(2)解:∵,,∴,∵,∴解得(),故选用灯泡电阻的取值范围为.1.古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”:杠杆平衡时,阻力×阻力臂=动力×动力臂.几位同学玩撬石头游戏,已知阻力(石头重量)和阻力臂分别为1600N和0.5m,小明最多能使出500N的力量,若要撬动这块大石头,他该选择撬棍的动力臂()A.至多为B.至少为C.至多为D.至少为B2.在对物体做功一定的情况下,力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系,其图象如图所示,点在其图象上,则当力达到10N时,物体在力的方向上移动的距离是()A.2.4mB.1.2mC.1mD.0.5mB3.在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中,电压一定时,油箱中浮子随油面下降而落下,带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动,从而改变电路中的电流,电流表的示数对应油量体积,把电流表刻度改为相应油量体积数,由此知道油箱里剩余油量.在不考虑其他因素的条件下,油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系,电流与也是反比例关系,则与的函数关系是()A.反比例函数B.正比例函数C.二次函数D.以上答案都不对B4.如图1是一个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现,如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象,该图象经过点.根据图象可知,下列说法正确的是()A.当时,B.I与R的函数关系式是C.当时,D.当时,I的取值范围是D5.某气球内充满一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求这个函数的表达式及写出变量V的取值范围;(2)当气体体积为1m3时,气压是多少?(3)当气球内的气压大于128kPa时,气球将爆炸,为了安全考虑,气体的体积应不小于多少?(1)解:设该函数表达式为.将点A代入表达式中可得,∴,∴该函数表达式为.5.某气球内充满一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求这个函数的表达式及写出变量V的取值范围;(2)当气体体积为1m3时,气压是多少?(3)当气球内的气压大于128kPa时,气球将爆炸,为了安全考虑,气体的体积应不小于多少?(2)解:将代入表达式中可得,∴气体体积为1m3时,气压是96kPa.(3)由题意可知,解得,∴为了安全考虑,气体的体积应不小于0.75m3.6.在某一电路中,保持电压U(V)不变,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,如图是某电路电流、电阻的关系图,其图象经过点A(4,9).(1)求I与R的函数表达式;(2)当电阻为3Ω时,求电流大小;(3)如图该电路的限制电流不能超过10A,那么该电路的可变电阻控制在什么范围?(1)解:由题意可得,∵图象过点A(4,9),∴(V).∴I与R的函数表达式为.6.在某一电路中,保持电压U(V)不变,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,如图是某电路电流、电阻的关系图,其图象经过点A(4,9).(1)求I与R的函数表达式;(2)当电阻为3Ω时,求电流大小;(3)如图该电路的限制电流不能超过10A,那么该电路的可变电阻控制在什么范围?(2)解:当Ω时,(A),∴电流大小为12A.6.在某一电路中,保持电压U(V)不变,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,如图是某电路电流、电阻的关系图,其图象经过点A(4,9).(1)求I与R的函数表达式;(2)当电阻为3Ω时,求电流大小;(3)如图该电路的限制电流不能超过10A,那么该电路的可变电阻控制在什么范围?(3)解:由函数图像可知,电路中可变电阻越大,电流越小,当A时,Ω所以,该电路的限制电流不能超过10A时,可变电阻控制范围为Ω.
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