利用相似三角形测高(课件)-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂(北师大版)

新课标北师大版九年级上册4.6利用相似三角形测高第四章图形的相似学习目标1．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的高度(如测量旗杆高度问题)等的一些实际问题．2．能综合应用三角形相似的判定条件和性质解决问题，加深对相似三角形的理解和认识．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．情境导入在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯。一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的。你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？情境导入据传说泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.探究新知核心知识点一：运用相似三角形解决高度(长度)测量问题每个星期一早晨学校都会举行升旗仪式，同学们站在五星红旗下有没有想过我们学校的旗杆有多高呢？怎样利用已学知识测量旗杆的高度？活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度.活动方式：分组活动、全班交流研讨.活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.探究新知方法一：利用阳光下的影子测量旗杆高度如图4-26，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。图4-26探究新知点拨∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CDB，∴ABCD＝BEDB，即CD＝AB·BDBE，代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．探究新知归纳总结类型原理操作图操作说明相关算式利用阳光下的影子测高(如测量旗杆的高度)同一时刻物高与影长成比例(1)需测参照物(人)的高度及参照物(人)的影长;(2)测量被测物体(旗杆)的影长=,则AB=ABDFBCEFDFBCEF利用阳光下的影子测量高度探究新知方法二：利用标杆测量旗杆高度如图4-27，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆。观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高。根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。图4-27探究新知需要测量的数据：人与标杆的距离AM人与旗杆的距离AN标杆的高度EF人眼到地面的距离AB分析：过A作ANCD⊥交DC于点N，交EF于M∵EFCN∥∴△AMEANC∽△ABCDEFMNANAMCNEM∴AMANEMCN∴∵四边形ABDN为矩形∴DN=AB∴CD=CN+DN探究新知归纳总结利用标杆测量高度类型原理操作图操作说明相关算式利用标杆测高(如测量古塔的高度)构造相似三角形,把被测物体分成两部分求解(1)人眼、标杆顶端和被测物体(古塔)的顶端三点要共线,即人眼恰好看不见被测物体(古塔);(2)需测人眼高、标杆高、人与古塔的距离及人与标杆的距离=,则PB=,从而PO=PB+ADPBFGBDGDBDFGGD探究新知方法三：利用镜子的反射测量旗杆高度如图4-28，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。测量所需的数据，根据所测的结果，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。图4-28探究新知操作方法：如图3，选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．探究新知图3点拨：∵入射角＝反射角，∴∠AEB＝∠CED.∵人、旗杆都垂直于地面，∴∠B＝∠D＝90°，∴△AEB∽△CED，∴ABCD＝BEDE，∴CD＝AB·DEBE.因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高探究新知归纳总结利用镜子的反射测量高度类型原理操作图操作说明相关算式利用镜子的反射测高(如测量旗杆的高度)根据反射角等于入射角构造相似三角形(1)人来回移动,恰好在镜子里看到旗杆的顶端;(2)需测人眼的高度、人到镜子的距离和旗杆底端到镜子的距离=,则AB=ABDEBCECBCDEEC探究新知例1：高2m的旗杆在水平地面上的影子长3m,同时测得附近一建筑物的影子长12m,求该建筑物的高度.解析：画出示意图如图,由题意得=,则B’C’===8(m).即该建筑物的高度为8m.''ABAB''BCBC''ABBCAB1223探究新知例2:如图,直立在点B处的标杆AB高2.5m,站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶端A、旗杆顶端C在一条直线上.已知BD=18m,FB=3m,EF=1.6m,求旗杆的高CD.探究新知解析:过E作EH⊥CD交CD于点H,交AB于点G,如图所示.则EF=GB=DH=1.6m,EG=FB=3m,GH=BD=18m,∴AG=AB-GB=0.9m.∵AB⊥FD,CD⊥FD,∴AG∥CH,∴△AEG∽△CEH,∴AG∶CH=EG∶EH,∵EH=EG+GH=21m,∴CH==6.3m,∴CD=CH+HD=7.9m.答:旗杆的高CD为7.9m.AGEHEG探究新知例3:某同学要测量一烟囱的高度,他将一面镜子放在地面上某一位置,然后站到与镜子、烟囱成一条直线的地方,刚好从镜子中看到烟囱顶部.如果这名同学的眼高为1.65m,他到镜子的距离是2m,测得镜子到烟囱的距离为20m,求烟囱的高度.探究新知解析:如图4-6-4,用AB长表示该同学的眼高,CD长表示烟囱的高度,O表示放镜子的地点.由光学知识及等角的余角相等,得∠AOB=∠COD.又因为∠B=∠D=90°,所以△AOB∽△COD,则=,即=,解得CD=16.5(m).故烟囱的高度是16.5m.ABCDOBOD1.65CD2201.上述三种测量方法的基本思路是什么？综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，其方法是：（1）将实际问题转化为相似三角形问题；（2）想方设法找出一对相似三角形；（3）根据相似三角形性质，建立比例式，求出相应的量.探究新知（1）测量数据较少，结果较准确；但需要有阳光即影子．（2）不依靠影子，结果准确；但测量数据较多．（3）测量数据较少，不依靠影子；但镜子角度有一点误差，结果就会误差很大．2.上述几种测量方法各有哪些优缺点？探究新知随堂练习1.小明在测量楼高时,测出楼房落在地面上的影长BA为15米,同时在A处竖立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为()A.10米B.12米C.15米D.22.5米A随堂练习2.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是()A．6.4米B．7.0米C．8.0米D．9.0米C随堂练习3.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是()A．3.25mB．4.25mC．4.45mD．4.75mC随堂练习4.如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10cm，BC＝20cm，PCAC⊥，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离SA的长为.12cm随堂练习5.高4m的旗杆在水平面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，则该建筑物的高度为m.16随堂练习解：设树高xm.∵∠D=B∠，∠CED=AEB,∠∴△ABECDE∽△，∴解得x=12.答：树高12m.6.如图，在距离树18m的地面上平放着一面镜子E，人退后到距镜子2.1m的D处，在镜子里恰看见树顶，若人眼距地面1.4m，求树高.18m1.4m2.1mDBCEAABBE,CDDEx181.42.1，随堂练习7.如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚离标杆的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼睛离地面的高度AB为1.5m，那么大树EF的高度为多少？随堂练习由题意得AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，故四边形ABDG、四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形，所以AB＝GD＝HF，BF＝AH，BD＝AG，CD∥EF，所以∠AGC＝∠AHE＝90°.又因为∠CAG＝∠EAH，所以△ACG∽△AEH，所以AGAH＝CGEH，即19＝2－1.5EH，所以EH＝4.5(m)，所以EF＝EH＋HF＝4.5＋1.5＝6(m)．答：大树EF的高度为6m.解：如图所示，过点A作AH⊥EF，垂足为H，交CD于点G.GH课堂小结利用相似三角形测高利用阳光下的影子（物高与影长成正比）利用标杆利用镜子的反射（反射角=入射角）谢谢~