2022-2023学年人教版数学九年级上册--二次函数与一元二次方程-课件

22.2二次函数与一元二次方程教学目标知识与技能：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。过程与方法：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。情感、态度、价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重难点教学重点：会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解教学难点：一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系，数形结合思想的灵活。问题:如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。情景导入考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。解：（1）解方程15＝20t—5t2。t2—4t＋3=0。t1＝1,t2＝3。当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。（2）解方程20＝20t－5t2。t2－4t＋4＝0。t1＝t2＝2。当球飞行2s时，它的高度为20m。（3）解方程20.5＝20t－5t2。t2－4t＋4.1＝0。因为（－4）2－4×4.1<0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。（4）解方程0＝20t－5t2。t2－4t＝0。t1＝0,t2＝4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）。反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。图形开口方向顶点坐标对称轴增减性最值a＞0a＜0向上向下直线x=-在对称轴左侧即当x<-时，y随x的增大而减小.在对称轴右侧即当x>-时,y随x的增大而增大.在对称轴左侧即当x<-时,y随x的增大而增大，在对称轴右侧即当x>-时,y随x的增大而减小.当x=-时,y最小值=当x=-时,y最大值=yxx=-x=-以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：h=20t–5t2.考虑下列问题:问题一：球的飞行高度能否达到15m?若能，需要多少时间?【分析】：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．【注意】根据实际问题，讨论h的取值．解：当h=15时，20t-5t2=15，解得，t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.探索二次函数与一元二次方程的联系以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：h=20t–5t2.考虑下列问题:问题二球的飞行高度能否达到20m?若能，需要多少时间?当h=20时，20t-5t2=20，解得，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.探索二次函数与一元二次方程的联系【提问】结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：h=20t–5t2.考虑下列问题:问题三球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？探索二次函数与一元二次方程的联系当h=20.5时，20t-5t2=20.5，化简得，t2-4t+4.1=0，因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.故球的飞行高度达不到20.5m.以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：h=20t–5t2.考虑下列问题:问题四球从飞出到落地要用多少时间?探索二次函数与一元二次方程的联系当h=0时，20t-5t2=0，解得，t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.探索二次函数与一元二次方程的联系从上面发现，一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程。如：y=5时，5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。所以二次函数与一元二次方程关系密切。例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值。就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值。探索二次函数与一元二次方程的联系解题技巧1.画出下列二次函数图象1)y=x2+x-2；2)y=x2-6x+9；3)y=x2-x+1，2.你得出相应的一元二次方程的解吗?654321-1-2-3-4xO-4-3-2-1123456962xxy654321-1-2-3-4二次函数y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1与x轴交点坐标(-2,0)，(1,0)(3,0)无交点相应方程的根x1=-2，x2=1x1=x2=3无实根12xxyy=x2+x-2962xxy12xxy探索二次函数和x轴公共点与一元二次方程的根的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根判别式()△b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）与x轴没有交点xyOxyOxyO有两个不同的解x=x1，x=x2没有实数根有两个重合的公共点有两个相等的实数根探索二次函数和x轴公共点与一元二次方程的根的关系图象伐解一元二次方程由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。例：利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数后一位）。?=?2−2?−2解：如右图它与x轴的公共点的横坐标大致为-0.7，2.7。所以方程的实数根为：探索二次函数与一元二次方程的联系P(2,-2)P’(3,1)重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越接近根的值.因而可以作为根的近似值。?=?2−2?−2当x=2时，y=-2(点(2,-2)在x轴下方）；当x=3时，y=1(点(3,1)在x轴上方)；而二次函数是一条连续不断的曲线，所以二次函数在23或x<-1时，函数值大于0.3yO-33x（已知二次函数函数值求自变量的值）典例2．根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是()A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【详解】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24＜x＜3.25．故选C．（已知二次函数函数值求自变量的值）变式2-1．若抛物线的对称轴是直线，则方程=5的解是（）A．，B．，C．，D．，【详解】解：由题意：，解得：b=-4∴=5解得：，，故选：C（抛物线与x轴有交点，求未知数取值范围）典例3．已知二次函数y=x2x+m1﹣﹣的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞2【详解】∵二次函数y=x2x+m1﹣﹣的图象与x轴有交点，∴△=(-1)2-4×1×(m-1)≥0，解得：m≤5，故选A．（抛物线与x轴有交点，求未知数取值范围）变式3-1．已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是()A．k<4B．k≤4C．k<4且k≠3D．k≤4且k≠3【解析】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.（图像法确定一元二次方程近似根）x…6.176.186.196.20…??2+??+?…-0.03-0.010.020.04…典例4下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是（）A．B．C．D．【详解】利用二次函数和一元二次方程的性质．由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选C．二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系有两个交点根据函数图象求一元二次方程的近似解一个交点无交点有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根