第3章离散时间傅里叶变换,离散傅里叶变换对照表

('~第3章离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。3.1非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列，则序列的傅里叶变换(DTFT)为：正变换：(3-1-1)反变换：(3-1-2)记为：当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是或其它任何一个周期。[例3-1]设序列的波形如图3-1所示，求的傅里叶变换解：由定义式(3-1-1)可得~2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列的傅里叶变换存在且连续的条件为满足绝对可和。即：（3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。3.1.2非周期序列傅里叶变换的性质从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z变换在单位圆上的取值(当序列的z变换在单位圆上收敛时)，即：因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z变换得到。正因如此，下面所述的性质，读者可仿z变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。1.线性设，，则：(3-1-4)2．移位设，则：(3-1-5)证明：图3-1~3．频移性设，则：(3-1-6)4．对称性为了较方便地讨论非周期序列傅里叶变换的对称性，首先我们引入一些有关序列的基本概念—共轭对称序列与共轭反对称序列。若序列满足下式：(3-1-7)则称序列为共轭对称序列。对实序列而言，有，即序列为偶对称序列。若序列满足下式：(3-1-8)则称序列为共轭反对称序列。对实序列而言，有，即序列为奇对称序列。因此，根据共轭对称序列与共轭反对称序列的定义，共轭对称序列和共轭反对称序列可由任意一个序列按下构成(3-1-9)(3-1-10)也就是说，对任意一个序列都可以用共轭对称序列和共轭反对称序列之和来表示，即：(3-1-11)同类可定义傅里叶变换的共轭对称分量和共轭反对称分量：~(3-1-12)(3-1-13)(3-1-14)其中称为傅里叶变换的共轭对称分量，满足；称为共轭反对称分量，满足。式(3-1-12)表示序列的傅里叶变换也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和。与序列的情况相同，若为实函数，且满足共轭对称，即，则称为频率的偶函数。若为实函数，且满足共轭反对称，即，则称为频率的奇函数。若对式(3-1-9)、式(3-1-10)和式(3-1-11)两边进行序列傅里叶变换，可得序列有如下性质：(1)序列的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即(3-1-15)(2)序列的虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即(3-1-16)(3)序列的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅里叶变换分别等于序列的傅里叶变换的实部和乘以虚部，即(3-1-17)(3-1-18)(4)若是实序列，则其傅里叶变换满足共轭对称性，即(3-1-19)也就是说：(3-1-20)(3-1-21)~由此可以看出，实序列的傅里叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数。(5)序列的傅里叶变换的极坐标表示形式为：(3-1-22)对实序列，有：(3-1-23)(3-1-24)也就是说，实序列的傅里叶变换的幅度是的偶函数，而相角是的奇函数。5．时域卷积定理若，则有：(3-1-25)证明：由卷积和定义有，等式两边作傅里叶变换得：令，则上式可改写为：6．频域卷积定理若，则（3-1-26）7．帕塞瓦尔（Parseval）定理(3-1-27)表3-1综合了DTFT的性质，这些性质在以后的分析问题和实际应用中是非常重要的。表3-1给出了常用序列的傅里叶变换，这在以后的实际应用中很重要。表3-1序列的傅里叶变换的性质序列傅里叶变换序列傅里叶变换~==[例3-2]若的傅里叶变换为，求下面序列的傅里叶变换：(1)(为常数)(2)(3)(4)解：根据序列傅里叶变换的定义及性质有：(1)(2)(3)(4)表3-2常用序列傅里叶变换序列傅里叶变换1~(为无理数)(为无理数)(为无理数)[例3-3]若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部为。求序列及其傅里叶变换。解：利用三角函数关系得：由序列傅里变换的定义有：。比较两式可得：，，由于是实因果序列，因此，，当，。所以根据式(3-1-9)得以下关系：所以，。3.1.3序列傅里叶变换、z变换和拉氏变换的关系1．拉普拉斯变换与z变换的关系~首先研究序列的z变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换之间的关系。设连续时间信号为，经理想抽样后的抽样信号为，它们的拉普拉斯变换分别为(3-1-28)(3-1-29)由于代入可得：利用函数的筛选性，上式可改写为：(3-1-30)由于抽样序列的z变换为:(3-1-31)因此，比较式(3-1-30)与式(3-1-31)可得出结论：当时，抽样序列的z变换就等于其理想抽样信号的拉普拉斯变换。(3-1-32)该式表明了这两种变换之间的关系，是由复变量s平面到z平面的映射，其映射关系为:(3-1-33)(3-1-34)若设s平面用直角坐标来表示:(3-1-35)而z平面用极坐标表示:(3-1-36)将它们代入式(3-1-33)，可得：(3-1-37)即：~(3-1-38)也就是说，的模对应于的实部，的相角对应于的虚部，它们之间有如下对应关系：(1)与的关系：当（s平面的虚轴）时，（z平面单位园上）当（s的左半平面）时，（z平面单位园内部）当（s的右半平面）时，（z平面单位园外部）其映射关系如图3-2所示图3-2(映射成()图3-3s平面与z平面的多值映射关系(2)与的关系：当（s平面的实轴）时，（z平面正实轴）当（s平面平行于实轴的直线）时，T（z平面始于原点幅角为的辐射线）当由增加至0时，由增加至0。当由0增加至时，由0增加至其映射关系如图3-3所示。由此可见，由增加至时，对应由经0增加至。即在z平面上旋转一周。综上所述，s平面上宽度为的水平带映射到整个z平面。同样，每当增加一个抽样角频率，则的响应增加一个。即在z平面重复旋转一周，如图3-3所示，因此，s平面到z平面的映射是多值映射。从映射关系上可以看出，对时域信号抽样，则是在s域沿轴（s平面的虚轴）的周期延拓。(3-1-39)~将此式代入式（3-1-32）可得连续时间信号的拉普拉斯变换与抽样序列的z变换之间的关系(3-1-40)2．连续信号的傅里叶变换与序列的z变换之间的关系由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即，映射到z平面上是单位园，将其代入式（3-1-32）可得：（3-1-41）这表明抽样序列在单位园上的变换，等于其理想抽样信号的傅里叶变换。[例3-4]已知，其中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试求：(1)写出的傅里叶变换；(2)写出和的表达式；(3)写出和的傅里叶变换。解：(1)由连续信号傅里叶变换定义可得：(2)其中，。(3)利用式(3-1-41)得式中。由定义式得：~式中。3.1.4周期序列的离散傅里叶级数(DFS)及性质1．周期序列的离散傅里叶级数从第一章已知，若离散时间序列为周期序列，则一定满足：(3-1-42)其中N（正整数）为信号的周期，r为任意整数。为了与非周期序列区分，在本书中，周期序列用表示。周期序列不是绝对可和的，所以不能用傅里叶变换来表示。但是，与连续周期时间信号可以用傅里叶级数表示类似，周期序列也可以用离散傅里叶级数(DFS)来表示。(3-1-43)其中为周期序列傅里叶级数的系数，也称为周期序列的频谱，其大小为：(3-1-44)式(3-1-43)和式(3-1-44)称为周期序列的傅里叶变换对。值得注意的是，对于周期为N的周期序列，其离散傅里叶级数的谐波成份只有N个是独立成分，这是与连续傅里叶级数不同之处(后者有无穷多个谐波成分)，基率为，次谐波序列为()。其二，从式(3-1-44)可以看出，周期序列的频谱也是一个以N为周期的周期序列，即这表明时域周期序列的离散傅里叶级数在频域(即其系数)也是一个周期序列。为了书写方便，通常令符号(3-1-45)这样周期序列的傅里叶变换对可改写为：~正变换：(3-1-46)反变换：(3-1-47)[例3-5]设，将以为周期作周期延拓，得到周期信号，如图3-4所示，求的DFS。图3-4周期序列图3-5序列的DFS变换幅度特性解：由定义式(3-1-46)得：其幅度特性如图3-5所示。2．周期序列傅里叶级数的性质由于和两者都具有周期性，在时域和频域之间具有严格的对偶关系，这是序列z变换表示所不具有的。因此，周期序列傅里叶级数的性质也有一些重要差别。(1)线性设和皆是周期为N的周期序列，其傅里叶级数DFS分别为：，(3-1-48)则：(3-1-49)~其中a、b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，其周期为N。(2)移位设是周期为N的周期序列，则：(3-1-50)(3)调制特性设是周期为N的周期序列，则：(3-1-51)(4)周期卷积和若，则(3-1-52)式(3-1-52)是一个卷积和公式。它与非周期序列的线性卷积和不同，在这里和(或和)都是变量为的周期序列，故它们的乘积也是周期序列，其周期为，另外其求和在一个周期内进行，即从到，因此上式卷积和称为周期卷积和，表示为：(3-1-53)该性质表明，时域周期序列的卷积和对应着频域周期序列的积。[例3-6]两个周期(N＝6)序列和如图3-6(a、b)所示，求它们的周期卷积和解：求解过程见图3-6，其求解过程与线性卷积和的求解过程类似，由翻褶、移位、相乘、求和四个步骤完成，但又有本质上的不同。其一，移位只移次；其二，相乘、求和运算在0到N-1=5区间内进行。首先将进行翻褶形成，如图3-6(c)所示，然后分别将右移位形成如图3-6(d、e、f)所示。从图中可以看出，在移位过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就移入计算区间。然后，将所移位形成周期序列()分别与对应点相乘并求和，如图3-6(g)所示，运算在到N-1=5区间内进行，从而求得()在一个周期内的所有点对应的值。~最后，将所得结果周期N延拓，就得到所求的整个周期序列，如图3-6(h)所示。(5)周期序列相乘如果，则(3-1-54)该式表明，时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。3.2离散傅里叶变换(DFT)经过上一节的讨论，我们知道，周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它与有限长序列有着本质的联系。这一节我们将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示，即离散傅里叶变换（DFT），并介绍离散傅里叶变换的性质及离散时间傅里叶变换(DTFT)与离散傅里叶变换(DFT)之间的关系。图3-6两周期（N＝6）序列卷积和的求解过程~3.2.1有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)及性质1．有限长序列与周期序列的关系设为有限长序列，长度为，即只在有值，其它时，。因此，可以把看成周期为的周期序列的一个周期，即取一个周期。(3-2-1)或利用前面介绍的矩形序列表示成：(3-2-2)把看成有限长序列以为周期的周期延拓，即表示为：()()rxnxnrN\uf0a5\uf03d\uf02d\uf0a5\uf03d\uf02b\uf0e5\uf025(3-2-3)这个关系可以用图3-7表示。通常我们把的第一个周期定义为“主值区间”，称为的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称为的周期延拓。显然，对于不同的值，之间并不重叠。图3-7序列周期延拓及主值区间为了书写方便，我们将式(3-2-3)可写为(3-2-4)其中表示数学上“对取余数”，或称为“对取模值”。令，(，为整数)，则有。例如，是周期为的序列，则有，，。2．有限长序列的离散傅里叶变换由于傅里叶级数是频域的周期序列，因此，同样可以看成是有限长序列的周期性延拓；而有限长序列也可以看成是周期序列的主值序列，即：~(3-2-6)(3-2-7)我们再回顾一下周期序列的傅里叶变换对：(3-2-8)(3-2-9)显然，以上两式的求和只限定在到及到的主值区间进行，故完全适用于主值序列和，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)的定义：正变换：(3-2-10)反变换：(3-2-11)称式(3-2-10)和式(3-2-11)为有限长序列的离散傅里叶变换对。此外，应该注意的是，在使用离散傅里叶变换对时，我们所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，而，，即离散傅里叶变换隐含有周期性。[例3-7]已知，求的8点和16点的DFT。解：当时当时~[例3-8]已知，求的点DFT。解：3．离散傅里叶变换(DFT)的性质由离散傅里叶变换的定义可知，离散傅里叶变换(DFT)的性质本质上与周期序列离散傅里叶级数(DFS)是一致的。为讨论方便，我们假设以下序列都是点有限长序列，且设(1)线性设两个有限长序列和，则(3-2-12)式中、为任意常数。该式可根据DFT定义直接证明，留给读者自己去做。需要注意的是，若两序列的长度不相时，例如长度分别为和，这时式(3-2-12)的点DFT的必须取、中最大者，。比如，，则，序列需补上个零值点后，再作点DFT，这时和的大小分别为：(3-2-13)(2)序列的圆周移位性所谓序列的圆周移位是指将有限长的进行周期延拓，得到周期序列，再将移位得到，然后，对移位后的序列取主值序列(到)，得到圆周移位后的序列。因此，有限长序列圆周移位后得到的序列仍然是一个具有相同长度的序列。若设是的圆周移位，即(3-2-14)则(3-2-15)这表明，有限长序列的圆周移位，在离散频域中只引入一个和频率成正比的线性相移，而~对频谱的幅度没有影响。（3）圆周卷积和设有限长序列和，长度分别为和，，和的N点DFT分别为：(3-2-16)若(3-2-17)则(3-2-18)通常，称式(3-2-18)所表示的运算为与的N点圆周卷积(或循环卷积)，记为，即(3-2-19)下面先证明式（3-2-18），再说明其计算方法。证明：对式（3-2-18）两边进行DFT，则(3-2-20)令，则由于上式中的求和项是以N为周期的，对其在任一个周期上求和的结果不变。所以上式可改写为：证毕圆周卷积过程如图3-8所示，圆周卷积过程中，求和变量为，为变参量。先将周期化，形成，再翻褶形成，取主值序列得到，通常称之为的圆周翻褶。对的圆周翻褶序列循环移位，形成，当时，分别将与相乘，并对在区间上求和，便得到与的圆周卷积。~图3-8两个有限长序列(N=7)的圆周卷积和在圆周卷积过程中，要求对圆周翻褶，循环移位，因此，两个长度为N的序列的循环卷积长度仍为N。由于(3-2-21)所以＝(3-2-22)即圆周卷积亦满足交换律。利用时域与频域的对称性，可以证明，如果则=(3-2-23)或＝(3-2-24)~式(3-2-23)和式(3-2-24)表明，时域序列相乘，乘积的DFT等于各个DFT的圆周卷积再乘以1/N。（4）圆周相关性质无论是在模拟信号处理还是数字信号处理中，线性相关是一个十分重要的概念。所谓相关是指两个确定信号或两个随机信号之间的相似性。对于序列和，线性相关定义为：(3-2-25)或(3-2-26)从定义可以得出，相关函数不满足交换律。另外，在相关函数中的延时是由(3-2-25)式中信号的时间减去信号的时间得到的，即，所以，通常与的相似程度是和与的相似程度不同的，即。当信号与自身相关时，称为的自相关函数(3-2-27)从式（3-2-25）可以看出，相关的求解与卷积和的求解是相似的，它包括了平移、相乘与相加三个步骤，只是没有“翻褶”这一步骤。对式(3-2-25)取变换，可得相关函数的变换为：(3-2-28)代入，可得其频谱为(3-2-29)可以看出，只有当和都不为零时，才不为零，这就说明，相关函数只包含两个信号所共有的频率成分。若，则有：(3-2-30)~圆周相关定理：若两有限长序列与圆周相关，即(3-2-31)则相关序列的DFT与两序列与的DFT满足(3-2-32)当与为实序列时，则有：(3-2-33)（5）共轭对称性前面我们已经详细讨论了序列傅里叶变换的对称性，那里的对称性是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。DFT也有类似的对称性，但这里所涉及到的序列及其离散傅里叶变换均为有限长序列，且定义区间为到，所以这里的对称性是关于点的对称性。■设为的共轭复序列，则(3-2-34)且证明：这里利用了，因为的隐含周期性，故有。用同样的方法也可以证明■(3-2-35)与3.1节讨论类似，引入序列的两个基本概念―圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量。设有限长序~列的长度为点，则它的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量分别定义为：(3-2-36)(3-2-37)因此，任何有限长序列都可以表示成其圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量之和，即(3-2-38)可以证明圆周共轭对称分量及圆周共轭反对称分量的DFT满足：■(3-2-39)■(3-2-40)证明：利用式(3-2-35)，可得则式(3-2-39)得证。同理可证式(3-2-40)。■(3-2-41)■(3-2-42)式中和分别表示有限长序列的实部及虚部。证明：由于，所以~同理可证式(3-2-42)。式(3-2-41)这说明复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称分量。式(3-2-42)说明复序列虚部乘以的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称分量。若是实序列，这时，两边进行离散傅里叶变换并利用式(3-2-34)，有(3-2-43)若是纯虚序列，则显然只有圆周共轭反对称分量，即满足(3-2-44)上述两种情况，不论哪一种，只要知道一半数目就可以了；另一半可利用对称性求得，这些性在计算DFT时可以节约运算，提高效率。（6）帕塞瓦尔定理(3-2-45)证明：如果令，则式(3-2-50)变成：即：(3-2-46)这表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。在表3-3中列出了DFT的性质，以供参考。3.2.2有限长序列的线性卷积与圆周卷积时域圆周卷积在频域上等于两序列的DFT相乘，由于DFT有快速算法—快速傅里叶变换(FFT)算法(将在第四章中作详细介绍)，它与线性卷积相比，计算速度可以大大提高。因此，自然会想到，如果信号以及LTI系统的单位冲激响应都是有限长序列，那么是否能用圆周卷积运算来代替线性卷积计算呢？如果能替代，受什么条件限制？下面就此问题加以讨论。设是点的有限长序列，是点的有限长序列。首先，讨论它们的线性卷积：~(3-2-47)由于序列的非零区间为：序列的非零区间为：将两个不等式相加，得到：因此，线性卷积所得序列也是有限长序列，即在区间外，其长度等于参与卷积的两序列的长度之和减1，即。例如，如图3-9所示，为的矩形序列(图3-9(a))，为的矩形序列(图3-9(b))，则它们的线性卷积为点的有限长序列(图3-9(c))。表3-3DFT性质表(序列长皆为N点)序列DFT123456789101112是任意实序列~13，DFT形式下的帕塞维尔定理对于与的圆周卷积。先假设圆周卷积的点数为L，再讨论L取何值时，圆周卷积才能代表线性卷积。设是两序列的L点圆周卷积，其中，因此，要在中补上个零值点，在中补上个零值点。根据圆周卷积的定义有：(3-2-48)其中，并代入上式得：图3-9有限长序列的线性卷积与圆周卷积~(3-2-49)式(3-2-49)表明，L点圆周卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列。如前所述，有个非零值，所以只有当圆周卷积长度时，以L为周期进行的周期延拓才不出混叠现象。所以，L点的圆周卷积能代替线性卷积的条件为：(3-2-50)图3-9(d)，(e)，(f)，(g)反映了圆周卷积与线性卷积的关系，在图3-9(d)，(e)中，小于，产生混叠现象，其圆周卷积不代表线性卷积；而在图3-9(f)中，此时圆周卷积等于线性卷积；在图3-9(g)中，所以圆周卷积前7点序列等于线性卷积，第8点为零值，没有影响。所以，只要，圆周卷积就等于线性卷积。3.3利用DFT对连续时间信号处理时注意的问题在信号处理过程中经常要对信号进行频谱分析，所谓频谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析，由于积分原因，不便于直接用计算机进行计算处理，使其应用受到限制。DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。因此，对连续信号和系统的频谱分析，可以通过时域抽样，利用DFT进行近似频谱分析。3.3.1混叠失真与参数选择在工程实际中，经常处理的连续信号，一般是非周期的，其频谱函数也是连续非周期的。为了利用DFT对进行频谱分析，首先需要对进行时域抽样(设抽样周期为)，得到离散时间信号，再对进行DFT，得到的则是的傅里叶变换在频率区间上的点等间隔抽样。这里和均为有限长序列。然而，在连续信号的抽样却要受Nyquist抽样定理的限制。由傅里叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。而实际所处理的连续信号，一般是时限信号，即其频谱无限宽。显然，对时限信号进行抽样时，不满足抽样定理，出现谱混叠失真。或者说，按抽样定理抽样时，抽样序列应为无限长，不满足DFT的变换条件。因此，在实际应用中，对频谱很宽的信号，为防止时域抽样后产生频谱混叠失真，通常用预滤波法滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。对于持续时间很长的信号，抽样点数太多以致无法存贮和计算，只好截取有限点进行DFT。由上述可见，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、抽样频率和截取~长度有关。实际上从工程角度看，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。因此，在下面分析中，假设是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。设连续信号持续时间为，最高频率为，如图3-10(a)所示。的傅里叶变换为：(3-3-1)其中模拟角频率。若对进行等间隔抽样，抽样间隔(或抽样周期)为：(3-3-2)一般应取。通过抽样得，抽样点数为，对作零阶近似，即，，式(3-3-1)可近似为:(3-3-3)图3-12连续信号频谱的近似分析显然，由式(3-3-3)所得的仍然是的连续周期函数，如图3-10(b)所示。因此，从频域角度，需要对在区间上等间隔抽样点，抽样间隔为，表示抽样后的频谱间隔，也称为频谱分辨率，则(3-3-4)由于，则(3-3-5)对抽样后，频域离散化了，因此，将代入到式(3-3-3)可得:~(3-3-6)若令，，则式(3-3-6)可改写为：(3-3-7)式(3-3-7)说明，连续信号的频谱可以通过对连续信号抽样并进行DFT近似得到。对持续时间有限的带限信号，在满足时域抽样定理时，上述分析不丢失信息。按类似方法，时域抽样信号可由下式得出：(3-3-8)从式(3-3-2)和式(3-3-5)来看，在DFT对连续信号频谱的近似分析时，信号的最高频率分量与频率分辨力间有着矛盾关系。从理论上讲，我们希望随着增加时，频率的分辨力能力也提高，即要求减少。但实事并非如此，这是因为随着增加，则时域抽样间隔就一定减少(式(3-3-2))，即抽样频率就增加，由于抽样点数满足：(3-3-9)则此时增加。若是固定的情况下，必须要增加而不是减少，所以频率分辨力下降而不是提高。反之，要提高分辨力(减少)，就要增加，当N给定时，必然导致的增加(减少)。要不产生混叠失真，则必然会减少高频容量(信号的最高频率分量)。因此，要想兼顾高频容量与频率分辨力F，即一个性能提高而另一个性能不变(或也得提高)的唯一办法就是增加记录长度的点数N，三者要满足：(3-3-10)该条件是未采用任何特殊数据处理(如窗处理)的情况下，为实现基本DFT算法所必须满足的最低条件。关于信号的最高频率的确定问题。在实际应用中，往往并不知道实际信号的最高频率时，而仅只有观测或记录下来某一段时间的波形或数据，如图3-13所示，这时可根据时域变化越快，则高频分量越丰富这一原则，可选择幅度变化最大的两相邻的峰谷点之间的时间的两倍作为最高频率周期，即~从而知道后就能确定抽样频率。图3-13估算信号最高频率若已知信号频谱为无限宽，则可选取占信号总能量98%左右的频带宽度(范围内的能量)的作为信号的最高频率，从而可确定抽样频率。[例3-9]对实信号进行频谱分析，若要求频谱分辨率，信号最高频率，试确定最小记录时间，最大抽样间隔，最少抽样点数。如果不变，要求频谱分辨率增加一倍，重新确定上述各量。解:由式(3-3-5)得：所以，最小记录时间。由抽样定理，，即所以，最大抽样间隔，由式(3-3-3)得若频谱分辨率增加一倍，则应减少一半，即，则~3.3.2频谱泄漏对于持续时间很长的信号，抽样点数太多以致无法存贮和计算，只好截短形成有限长序列进行DFT。其中，称为矩形窗函数。序列进行截短处理后，其频谱显然与原频谱不一样，与原频谱相比，将发生频谱泄漏现象。下面，我们将举例说明。根据频域卷积定理，时域相乘频域相卷，所以有：(3-3-11)其中其幅度谱如图3-12所示。图3-12矩阵窗的频谱图3-13信号截断时产生的频谱泄漏现象设，其频谱为：的频谱如图3-13(a)所示，加窗处理后的频谱如图3-13(b)所示。由图3-13可以看出，原序列的频谱是离散的谱线，经截短后，原频谱的离散谱线向附近~展宽。通常，我们称这种展宽为频谱泄漏。频谱泄漏使频谱变得模糊，频谱分辨率降低。同时，在原主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰，影响频谱分辨率。我们称这种干扰为谱间干扰。特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者可能把强信号谱的旁瓣误认为是另一信号的谱线，使频谱分析产生偏差。上述两种影响都是由于对信号进行截断引起的，我们统称为截断效应。减少泄漏的方法，首先是取更长的数据，也就是窗宽加宽，当然数据也不能太长，否则会增加运算量和存储量；其次是数据不要突然截断，也就是说不要加矩形窗，而是要缓慢截断。3.3.3栅栏效应在利用DFT对连续时间信号处理时，先对进行时域抽样，得到，再对进行DFT，得到的是的傅里叶变换在频率区间上的点等间隔抽样。也就是说，这种频谱分析，我们只能知道个离散的频谱值，各个抽样点之间的频谱函数是不知道的。这就好像从个栅栏缝隙中观察信号的频谱情况，仅得到个缝隙中看到的频谱函数值。我们称这种现象为栅栏效应。由于栅栏效应，有可能漏掉大的、重要的频谱分量。为了把原来被漏掉的频谱分量检测出来，我们可以采用在原序列尾部补零的方法，增加序列长度，即增加DFT变换的点数。这样，可以增加频域抽样点数和抽样点位置，使得原来被漏掉的某些频谱分量被检测出来。对于连续信号的谱分析，只要抽样频率足够高，且抽样点数满足频率分辨率要求，就可以认为DFT后所得的离散频谱的包络近似代表原信号的频谱。3.5小结本章首先介绍了离散时间非周期序列的傅里叶变换及其主要性质，给出了离散信号的频谱分析方法。然后，比较了序列傅里叶变换、z变换和拉氏变换之间的关系。接着给出了离散时间周期序列的频谱分析方法——离散傅里叶级数(DFS)，并介绍了DFS的性质。在3.2节，我们介绍了有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）的定义，DFT与DFS之间的内在联系，并详细介绍了离散傅里叶变换（DFT）的主要性质。如线性性质、序列的圆周移位性质、频域圆周移位性质、圆周卷积和性质、圆周相关定理、共轭对称性质、帕塞瓦尔定理以及有限长序列的线性卷积与圆周卷积之间的关系，当圆周卷积的点数大于两序列长度之和减1时，圆周卷积可以替代有限长序列的线性卷积。最后，在3.3节，介绍了利用DFT对连续时间信号处理时注意的问题，如频谱的混叠失真、截断效应、栅栏效应等。习题3.1求以下序列的频谱，其中。(1)(2)(3)(4)~(5)(6)3.2设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)3.3求出下面序列的傅里叶变换(1)(2)(3),(4)3.4已知，求的傅里叶反变换。3.5已知某序列，其傅里叶变换为，不必求，完成下列计算。(1)(2)(3)(4)(5)3.6设，，试分别求出其偶函数和奇函数的傅里叶变换。3.7若序列为实因果序列，，其傅里叶变换的虚部为，求序列及其傅里叶变换。3.8已知系统的单位脉冲响应，，输入序列为（1）求出系统的输出序列；（2）分别求出、和的傅里叶变换。3.9试证当为实序列且具有偶或奇对称时，频谱具有线性相位。3.10设，将以4为周期进行周期延拓，得周期序列，求的傅里叶级数~和傅里叶变换。3.11设，，求。3.12如果是一个周期为的周期序列，那么它也是周期为的周期序列。设把看做周期为的周期序列有，把看作周期为的周期序列有，试用表示。3.13计在变换区间内，计算下列序列的点DFT。(1)(2)(3)(4)3.14长度为的两个有限长序列作图表示、和⑩。3.15证明若实偶对称，即，则也实偶对称；若实奇对称，即，则为纯虚函数并奇对称。3.16已知长度为，，若求与的关系。3.17用闭合形式表示下列序列的DFT。(1)(2)(3)(4)3.18已知以下，求，其中。(1)(2)~3.19已知有限长序列，，,试求(1)⑩(2)⑩(3)⑩3.20已知，，试求(1)(2)3.21已知是长度为N的有限长序列，，现将的每两点之间补进个零值，得到一个长度为的有限长序列试求与的关系。3.22是长度为N的有限长序列，试证明3.23证明DFT的对称定理，即假设，试证明：3.24已知和为实有限长序列，若，，试求以下两种情况的、及和。(1)(2)3.25是长度点的有限长序列，是长度点的有限长序列，为两个序列20点的离散傅里叶变换相乘，求，并指出的哪些点与、的线性卷积相同。3.26用微处理器对实序列作谱分析，要求频谱分辨率，信号最高频率为，试确定以下各参数：(1)最小记录时间；(2)最大抽样间隔；(3)最少抽样点数；(4)在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的值。3.27已知调幅信号的载波频率，调制信号频率，用DFT进行频谱分析，求(1)最小记录时间；(2)最低抽样频率；(3)最少抽样点数。3.28模拟数据以10.24Hz速率抽样，且计算了1024个抽样的离散傅里叶变换，求频谱抽样之间的间隔，上述数据经处理后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后抽样点的间隔是多少？整个1024点的时宽是多少?~',)