2022-2023学年湘教版数学九年级上册同步多媒体教学-第3章3-4-2相似形三角的性质第2课时

第三章图形的相似3.4.2相似三角形的性质1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点）2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）学习目标问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ABCA1B1C1问题引入相似三角形周长比等于相似比一问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？(1)(2)(3)123(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，1∶2结论：相似三角形的周长比等于______．相似比（都相似）1∶31∶21∶3有什么规律吗？证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，111111,,,ABkABBCkBCCAkCA求证：相似三角形的周长比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么证明这一结论呢？相似三角形周长的比等于相似比.归纳总结(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的面积比=______相似三角形的面积比等于相似比的平方二1231∶2（1）（2）（3）1∶41∶31∶9问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：结论：相似三角形的面积比等于__________．相似比的平方证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，△ABD∽△A′B′D′.ABCA′B′C′DD′想一想：怎么证明这一结论呢？∵△ABC∽△A′B′C′..ADkAD212.12ABCABCBCADSBCADkkkSBCADBCAD△△.ABBCABBC相似三角形的面积比等于相似比的平方.归纳总结1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对应边上中线之比，面积之比为.2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为______.1:32:34:9练一练例1：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.解：根据题意，可知EGAB∥.∴∠GEC=B,∠∠EGC=A.∠∴△GEC∽△ABC222GECABCSECECSBCBC△△22122EC22.2.ECEC22.BEBCEC即，△ABC平移的距离为22.解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF∽△ABC，相似比为1:2.ABCDEF1.2DEDFABAC∴例2如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.125ABCDEF∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，125∴△DEF的边EF上的高为×6=3，12面积为2112535.2如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为______.14练一练例3如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且，求四边形BCDE的面积.53ABADACAE∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且35AEADACAB，又∵△ABC的面积为100cm2，∴△ADE的面积为36cm2.∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2).BCADE例4如图，在△ABC中，EFBC∥，，S四边形BCEF=8,求SABC△.12AEBE∴△AEF∽△ABC.∵S四边形BCEF=8，∴SAEF△=1∴SABC△=9.BCAFE解：∵EFBC∥，1123AEAE.EBAB又，2111,=399AEFAEFABCAEFBCEFSSSSS四边形即例5已知△ABC与△A'B'C'的相似比为，且SABC△+SA'B'C△=91,求△A'B'C'的面积.23又∵SABC△+SA'B'C△=91,解：∵△ABC与△A'B'C'的相似比为2'''24,39ABCABCSS23'''49ABCABCSS即'''491,9ABCABCSS∴SA'B'C'△=63如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DEBC∥，EFAB∥.当D点为AB中点时，求S四边形BFED:S△ABC的值.ABCDFE练一练解：∵DEBC∥，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.12AEAD.ACAB∴ABCDFE又∵EFAB∥，∴△EFC∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.设S△ABC=4，则S△ADE=1，S△EFC=1，S四边形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四边形BFED:S△ABC=2:4=1.21.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍()√×3.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:42.在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ的值为()A．2B．4C．1D.C214.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.14435.如图，这是圆桌正上方的灯泡(点A)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积约为多少(结果保留两位小数)？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，桌面的直径为1.2米，∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DFCH∥，∴△ADF∽△ACH，ADEFCBHDFAFCHAH，∴即0623.CH，解得CH=0.9米.∴阴影部分的面积为：220.92.54CH(平方米).答：地面上阴影部分的面积为2.54平方米.6.△ABC中，DEBC∥，EFAB∥，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积.ABCDFE解：∵DEBC∥，EFAB∥，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴AE:EC=2:3，则AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25，∴S△ABC=25.7.如图，△ABC中，DEBC∥，DE分别交AB、AC于点D、E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.解：过点D作AC的垂线，交点为F，则12212ADEDCEAEDFSAESECECDF△△，23AE.AC∴又∵DEBC∥，∴△ADE∽△ABC.ABCDE222439ADEABCSAESAC△△，∴即S△ADE:S△ABC＝4:9.ABCDE相似三角形的性质2相似三角形周长之比等于相似比相似三角形面积之比等于相似比的平方谢谢观看