复数运算的常用规律和几何意义

('复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i(a+bi)+(a-bi)=2a(a,b\uf0ceR)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b\uf0ceR)(a-bi)2=a2-b2-2abi(a,b\uf0ceR)等2.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(b\uf0ceN)3.Z+Z=2ReZZ-Z=2(ImZ)i(其中ReZ,ImZ分别表示复数Z的实部和虚部)4.Z·Z=｜Z｜2=｜Z｜25.设w=-21+23i则w3=1,1+w+w2=0,w=w2=w16.2121ZZZZ\uf0b1\uf03d\uf0b12121ZZZZ\uf0d7\uf03d\uf0d72121ZZ)ZZ(\uf03d(Z2≠0)7.｜Z1·Z2｜=｜Z1｜·｜Z2｜｜21ZZ｜=21ZZ(Z2≠0)8.Z=Z\uf0dbZ\uf0ceR9.Z=-Z\uf0dbZ=ki(k\uf0ceR)Z=Z10.［r1(cosθ1+isinθ1)］［r2(cosθ2+isinθ2)］…［rk(cosθk+isinθk)］=r1r2r3…rk［cos(θ1+θ2+θ3+…+θk)+isin(θ1+θ2+θ3+…+θk)］其中r1r2r3…rk≥0(θ1、θ2、θ3…θkεR)复数的几何意义加法的几何意义：设1OZ，2OZ各与复数Z1，Z2对应，以1OZ，2OZ为边的平行四边形的对角线OZ就与Z1+Z2对应。减法的几何意义：设1OZ，2OZ各与复数Z1，Z2对应，则图中向量21ZZ所对应的复数就是Z2-Z1。｜Z1-Z2｜的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离。乘法的几何意义：设AB表示复数r(cosθ+isinθ)(r＞0)，把AB绕A点按逆时针方向旋转α角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的k倍(k＞0)得到AC，则AC对应的复数是［r(cosθ+isinθ)］·k(cosα+isinα)，如果把AB绕A点按顺时针方向进行同样方式的旋转和伸缩，那么所得向量对应的复数是［r(cosθ+isinθ)］·k(cosα-isinα)除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，Z1÷Z2=Z1·(21Z)因此除法运算的几何意义与乘法运算的几何意义实质相同。复数方根的几何意义：设OZ对应的复数是Z，Z的n次方根(n≥2,n\uf0ceN)对应于从原点出发且在原点处n等分圆周角的n个向量，这n个向量的模都是nZ，其中一个向量的辐角是复数Z的辐角的n分之一，图中画出了模为8的向量OZ所对应的复数的三次方根1OZ，2OZ，3OZ其中1OZ的辐角取OZ辐角的三分之一。由复数的几何意义推导的结论1.Z1·Z2≠0，则｜Z1+Z2｜=｜Z1-Z2｜\uf0db21ZZ=λi(λ\uf0ceR且λ≠0)\ue039对应的向量1OZ⊥2OZ2.设P点对应的复数为Z1，点Q对应的复数为Z2，则向量PQ对应的复数是Z2-Z13.向量PQ绕点P顺时针方向旋转角θ(θ＞0)所得到的向量对应的复数应是(Z2-Z1)［cos(-θ)+isin(-θ)］而旋转之后点Q对应的复数应是(Z2-Z1)［cos(-θ)+isin(-θ)］+Z14.｜Z-Z1｜=｜Z-Z2｜表示以复数Z1、Z2在复平面内对应的点为端点的线段垂直平分线的方程。5.｜Z-Z0｜=r表示以Z0为复平面内对应的点Z0为圆心，半径是r的圆的方程。6.｜Z-Z1｜+｜Z-Z2｜=2a(2a＞｜Z1Z2｜)表示以Z1、Z2在复平面内对应的点Z1、Z2为焦点，，长轴是2a的椭圆方程。7.｜Z-Z1｜-｜Z-Z2｜=2a(2a＜｜Z1Z2｜)表示以Z1、Z2在复平面内对应点Z1、Z2为焦点，实轴长是2a的双曲线方程，在复数集上的方程主要有三个问题：①复数集上方程的求解；②根据方程解的情况讨论参数的取值范围；③与复数集上方程有关的计算或证明。求解复数集上的方程主要有以下四种解法：①设Z=x+yi(x，y\uf0ceR)从而转化为关于实数x，y的方程。②若是复数集上的二次方程，则可以直接利用二次方程的求根公式，但要注意判别式Δ＜0，则x1，2=a2ib△\uf02d\uf0b1\uf02d③考虑复数的几何意义，结合图形去分析。④以复数的模为突破口，即着眼于｜Z｜，再求Z。',)