第3章-微分中值定理与导数的应用总结

('1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系2、，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、(两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在，使得4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、结论：对于任意，一定在开区间(a,b)上存在，使得。5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M和最小值m之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在，使得2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在，使得3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，结论：在开区间(a,b)上存在，使得拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是。5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种：每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。6、泰勒公式求极限。如果极限是那么就在附近展开。如果极限是那么就变形成，再在附近展开。一般都是化成用迈克劳林展开式展开。那么展开多少步呢？一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。分母一定会跟着分子有同样阶的。。。算吧，很大的计算量。。。7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，且导数结论1：在闭区间[a,b]上单增（单减）结论2：则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点）方法一：条件：区间连续。结论：若，则该曲线在(x1,x2)凹若，则该曲线在(x1,x2)凸方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数结论1：在[a,b]凹；在[a,b]凸；结论2：则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。然后验证的符号。异号则一定为拐点。9．函数在区间上的极值点，最值点。定理1：极值点处的导数定理2：条件：在点处连续，在附近的去心邻域内可导结论：则在点取得极大值。则在点取得极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。定理3：条件：在点处的一阶导数结论：，则在点取得极小值。，则在点取得极小值。,则该点可能是极值，也可能不是极值。总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制。最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。10、曲率曲率定义是：，曲率半径用a表示，是曲率的导数，即。所谓曲率半径，是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K。如何推导曲率？课本典型题：2扩展三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。然后罗尔定律是f(a)=f(b),结论是导数为0。拉格朗日中值定理结论是存在导数。柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形（见物理意义）。罗尔定理拉格朗日中值定理柯西定理微分中值定理这部分看起来特别重要。因为它涉及到几个定理。罗尔定理常用于以下几种题：1在（a，b）上是否存在零点？显然，只要找到的a和b即可。找到了还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。如已知，说明有几个实根？范围是什么？等。2证明在（a，b）上是否存在零点？注意1是是否存在零点。故可以求出，这样就成了求在(a,b)上是否存在零点。和1一样的方法了。3证明的根不超过多少个。如证明其根不超过3个。那么，记住用反证法+罗尔定理。设根有四个，分别为x1