第2章2.3-2.4--椭圆与双曲线的参数方程

('2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角.(2)中心在C(x0，y0)的椭圆的参数方程是(φ为参数).2.双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程为(φ为参数)，规定φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠π.【思维导图】【知能要点】1.椭圆的参数方程.2.双曲线的参数方程.题型一椭圆的参数方程1.和圆的参数方程中的参数θ是半径OM的旋转角不同，椭圆参数方程中的参数φ是椭圆上点M的离心角.2.椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数).【例1】已知A、B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.解由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6，0)，B(0，3).由重心坐标公式可知由此消去θ得到＋(y－1)2＝1即为所求.【反思感悟】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点.(1)若椭圆C上的点A到F1、F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程.解(1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0).(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝，y＝，所以x＋＝cosθ，＝sinθ.消去θ，得＋＝1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程.题型二双曲线的参数方程与椭圆类似，双曲线的参数方程(φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点M的离心角.【例2】直线AB过双曲线－＝1的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点.求证：直线PA，PB的斜率的乘积为定值.证明如图所示，设P，A.∵AB过原点O，∴A，B的坐标关于原点对称，于是有B，从而：kPA·kPB＝·＝＝为定值.【反思感悟】本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果.2.如图所示，设M为双曲线－＝1(a，b＞0)上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点.探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？解双曲线的渐近线方程为y＝±x.不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为，则直线MA的方程为y－btanφ＝－.①将y＝x代入①，解得点A的横坐标为xA＝.同理可得，点B的横坐标为xB＝.设∠AOx＝a，则tanα＝.所以，▱MAOB的面积为S▱MAOB＝OA·OBsin2α＝··sin2α＝·sin2α＝·tanα＝·＝.由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关.题型三参数方程的应用若曲线的参数方程(t为参数)，由于＝，因此t的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数.【例3】设飞机以匀速v＝150m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.分析这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解(1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0，588)，B为目标，坐标为(x0，0).记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得(g＝9.8m/s2)，即这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0，即588－4.9t2＝0，解得t0＝2.由此得x0＝150×2＝300≈1643(m).即飞机在离目标约1643m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.3.青海省玉树县发生7.1级地震，灾区人民的安危牵动着全国人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区.现在一架救援飞机在离灾区地面593m高处以150m/s的速度作水平飞行.为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？解如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t的水平位移为x，垂直距离为y，则(g＝9.8m/s2).令y＝0，得t≈11s，代入x＝150t，得x≈1650m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约1650米时开始投放物资，可使其准确落在指定位置.1.已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值.解椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数).代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝cos(φ＋φ0)＝cos(φ＋φ0)(tanφ0＝).所以目标函数zmin＝－，zmax＝.2.点P在椭圆＋＝1上，求点P到直线3x－4y＝24的最大距离和最小距离.解设P(4cosθ，3sinθ)，则d＝.即d＝，当cos＝－1时，dmax＝(2＋)；当cos＝1时，dmin＝(2－).3.已知弹道曲线的参数方程为(g＝9.8m/s2)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度.解(1)令y＝20tsin－gt2＝0，即4.9t2－10t＝0.解得t＝0或t≈2.所以炮弹从发射到落地所需时间约为2秒.(2)由y＝10t－4.9t2，得y＝－4.9＝－4.9＋.所以当t＝时，ymax＝≈5.1.所以炮弹在运动中达到的最大高度为5.1米.4.已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，M点到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数.证明设d1为M点到渐近线y＝x的距离，d2为M点到渐近线y＝－x的距离，因为M点在双曲线x2－y2＝1上，则可设M点坐标为.d1＝，d2＝，d1·d2＝＝，故d1与d2的乘积是常数.[P36思考交流]参照求圆的参数方程(k为参数)的方法，给出椭圆另一种形式的参数方程(如图).答设椭圆的方程为＋＝1其中a＞b＞0，则点A的坐标为(－a，0)，设AP的斜率为k.直线AP的方程为y＝k(x＋a)由可得直线AP与椭圆的交点的横坐标，x1＝－a，x2＝.直线AP与椭圆交点的纵坐标为y1＝0，y2＝即点P的坐标为.∵点P是椭圆任意的不同于A的点，∴(k为参数)，上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程.其中参数k表示直线AP的斜率.也由此可以看出，由于参数的选取不同，参数方程也不同.[P37思考交流]1.双曲线的参数方程中，参数的几何意义是什么？答参数的几何意义是以原点为圆心，a为半径的圆的半径的旋转角.2.试求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程.答如图：分别以a，b为半径，原点为圆心作同心圆.设OA＝a，OB＝b，A为圆上任一点.∠AOx＝φ(参数)，B为圆与y轴的交点，过B作平行于x轴的直线交OA的延长线于B1点，在Rt△OBB1中，∠BB1O＝φ，BB1＝.过A的切线交y轴于A1点，A1P⊥y轴，A1P⊥B1P.设点P的坐标为(x，y)，在Rt△OAA1中，∠OA1A＝φ，OA＝a，OA1＝.x＝BB1＝，y＝OA1＝.∴(其中φ为参数)，∴－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为(φ为参数).3.试求抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程.(1)以抛物线上一点(x，y)与其顶点连线斜率的倒数t为参数.(2)以抛物线上任意一点(x，y)的纵坐标y0为参数.答(1)抛物线y2＝2px，p为焦点到准线的距离.抛物线上任意一点M(x，y)，∠MOx＝α，则＝tanα代入y2＝2px中y·tanα＝2p.∴y＝.x＝＝·＝.设t＝，则其中t为参数.几何意义是抛物线上任意一点与抛物线顶点的连线的斜率的倒数.故即为所求.(2)(y0为参数).几何意义是抛物线上任意点的纵坐标.【规律方法总结】1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数φ的几何意义都是曲线上点M的离心角；抛物线参数方程中参数t的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.3.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.一、选择题1.下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是()A.B.C.D.解析注意参数范围，可利用排除去.普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝t≥0，B中x＝cost∈[－1，1]，故排除A和B.而C中y＝＝cos2t＝＝，即x2y＝1，故排除C.答案D2.下列在曲线(θ为参数)上的点是()A.B.C.(2，)D.(1，)解析转化为普通方程：y2＝1＋x(y≤)，把选项A、B、C、D代入验证得，选B.答案B3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则PF等于()A.2B.3C.4D.5解析抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，PF为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.答案C4.已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的倾斜角α为()A.B.C.D.解析M点的坐标为(2，2)，∴k＝，tanα＝，α＝.答案A二、填空题5.曲线与x轴交点的坐标是______________.解析将曲线的参数方程化为普通方程：(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1或x＝－5.答案(1，0)，(－5，0)6.双曲线(φ为参数)的渐近线方程是________.解析将参数方程化为普通方程是y2－＝1，a＝1，b＝3，渐近线的斜率k＝±，双曲线的中心为(3，0)，∴渐近线方程为y＝±(x－3).答案y＝±(x－3)7.二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________.解析题中二次曲线的普通方程为＋＝1左焦点为(－4，0).答案(－4，0)8.过双曲线x2－y2＝4的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P，Q两点，则FP·FQ的值为________.解析因双曲线的标准方程为－＝1，∴a＝b＝2.∴c＝＝＝2.故右焦点为F(2，0).∴可设过F(2，0)，倾斜角为105°的直线的参数方程为(t为参数).代入双曲线方程x2－y2＝4，整理得t2＋(2－2)t－4＝0，∴FP·FQ＝t1t2＝＝.答案三、解答题9.已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值.解圆心O1坐标为(0，2)，Q点坐标为，QO12＝＋(tanφ－2)2＝＋tan2φ－4tanφ＋4＝2tan2φ－4tanφ＋5.设t＝tanφ，QO12＝2t2－4t＋5＝2(t－1)2＋3≥3，∴QO1min＝，∴PQ两点间的距离的最小值为－1.10.已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.解(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝4cosθ＋3sinθ－6，则PA＝＝5sin(θ＋α)－6，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，PA取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，PA取得最小值，最小值为.11.已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：OP·OQ为定值.证明设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0，1).则MB1的方程：y＋1＝·x，令y＝0，则x＝，即OP＝.MB2的方程：y－1＝x，∴OQ＝.∴OP·OQ＝×＝4.即OP·OQ＝4为定值.12.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A，B，AB≤2p.(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.解设直线l的方程为y＝x－a代入y2＝2px中，得：x2－2(a＋p)x＋a2＝0.(1)设A，B两点的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1＋x2＝2(a＋p)，x1x2＝a2.∴AB＝＝＝≤2p，∴2(8ap＋4p2)≤4p2，解得a≤－.(2)A，B的中点坐标为，即为(a＋p，p)，斜率为－1，垂直平分线方程为y－p＝－(x－a－p)＝－x＋a＋p.y＝0时，x＝a＋2p，∴点N的坐标为(a＋2p，0)，∴点N(a＋2p，0)到直线AB的距离为＝p，则S△NAB＝·p·＝p＝2p·＝2p，当a最大时，S△NAB取最大值，故a＝－时，S取最大值为p2.',)