材料力学简明教材(电子版),材料力学电子版教材

('§1-1材料力学的任务1．几个术语·构件与杆件：组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。如图1-1a所示桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝绳；图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，斜杆CD都是构件。实际构件有各种不同的形状，所以根据形状的不同将构件分为：杆件、板和壳、块体.杆件：长度远大于横向尺寸的构件，其几何要素是横截面和轴线，如图1-3a所示，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。按横截面和轴线两个因素可将杆件分为：等截面直杆，如图1-3a、b；变截面直杆，如图1-3c；等截面曲杆和变截面曲杆如图1-3b。板和壳：构件一个方向的尺寸（厚度）远小于其它两个方向的尺寸，如图1-4a和b所示。块体：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不多的构件，如图1-4c所示。在本教程中，如未作说明，构件即认为是指杆件。·变形与小变形：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形，如图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，受力后将由原来的位置弯曲到AB′位置，即产生了变形。小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响，而仍可以用变形前的尺寸，此即所谓“原始尺寸原理”。如图1-1a所示桥式起重机主架，变形后简图如图1-1b所示，截面最大垂直位移f一般仅为跨度l的l/1500～1/700，B支撑的水平位移Δ则更微小，在求解支承反力RA、RB时，不考虑这些微小变形的影响。2．对构件的三项基本要求强度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。例如储气罐不应爆破；机器中的齿轮轴不应断裂等。刚度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。稳定性：某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状态的能力。例如千斤顶的螺杆，内燃机的挺杆等。构件的强度、刚度和稳定性问题是材料力学所要研究的主要内容。3．材料力学的任务1）研究构件的强度、刚度和稳定性；2）研究材料的力学性能；3）为合理解决工程构件设计中安全与经济之间的矛盾提供力学方面的依据。构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的力学性能有关，因此实验研究和理论分析是完成材料力学的任务所必需的手段。§1-2变形固体及其基本假设在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，所以构件一般都是变形固体。由于变形固体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作下列假设：1．连续性假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。2．均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同。3．各向同性假设：认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同。§1-3外力及其分类外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷和约束反力。1.按外力的作用方式分为：体积力和表面力1）体积力：连续分布于物体内部各点上的力，如物体的自重和惯性力。2）表面力：作用于物体表面上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体表面的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。2.按外力的性质分为：静载荷和动载荷1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很不显著，称为静载荷。2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷三种情况。交变载荷是随时间作周期性变化的载荷；冲击载荷是物体的运动在瞬时内发生急剧变化所引起的载荷。§1-4内力、截面法和应力的概念1．内力由于构件变形，其内部各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。注意：材料力学中的内力，是指外力作用下材料反抗变形而引起的内力的变化量，也就是“附加内力”，它与构件所受外力密切相关。2．截面法假想用截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。如图1-5所示：（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2）被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。例1-1钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m—m上的内力。解：（1）沿m—m截面假想地将钻床分成两部分。取m—m截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。（2）为保持上部的平衡，m—m截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。（3）由平衡条件∴因此用截面法求内力可归纳为四个字：1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力。4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。3．应力参照图1-7，围绕K点取微小面积。根据均匀连续假设，上必存在分布内力，设它的合力为，与的比值为是一个矢量，代表在范围内，单位面积上的内力的平均集度，称为平均应力。当趋于零时，的大小和方向都将趋于一定极限，得到称为K点处的（全）应力。通常把应力分解成垂直于截面的分量和切于截面的分量，称为正应力，称为剪应力。应力即单位面积上的内力，表示某微截面积处内力的密集程度。应力的国际单位为N/m2，且1N/m2=1Pa（帕斯卡），1GPa=1GN/m2=109Pa，1MN/m2=1MPa=106N/m2=106Pa。在工程上，也用kg(f)/cm2为应力单位，它与国际单位的换算关系为1kg/cm2=0.1MPa。§1-5变形与应变对于构件上任“一点”材料的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，它们分别由线应变和角应变来度量。1．线应变通常用正微六面体（下称微单元体）来代表构件上某“一点”。如图1-8，微单元体的棱边边长为，变形后其边长和棱边的夹角都发生了变化。变形前平行于x轴的线段MN原长为，变形后M和N分别移到M′和N′，的长度为，这里于是表示线段MN每单位长度的平均伸长或缩短，称为平均线应变，若使趋近于零，则有一点线应变称为M点沿x方向的线应变或正应变，或简称为应变。线应变，即单位长度上的变形量，为无量纲量，其物理意义是构件上一点沿某一方向线变形量的大小。2．角应变如图1-6，正交线段MN和ML经变形后，分别是和。变形前后其角度的变化是，当N和L趋近于M时，上述角度变化的极限值是称为M点在xy平面内的剪应变或角应变。剪应变，即微单元体两棱角直角的改变量，为无量纲量。例1-2图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长l=400mm，受力后沿x方向均匀伸长Δl=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。解：由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。，x方向例1-3图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p力作用下CD杆下移Δb=0.025，试求薄板中a点的剪应变。解：由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。§1-6杆件的基本变形形式杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式，在工程结构中，杆件的基本变形只有以下四种：1．拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形（图1-10）。2．剪切：变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一对力引起的，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。如连接件中的螺栓和销钉受力后的变形（图1-11）。3．扭转：变形形式是由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆轴的一对力偶引起的，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴受力后的变形（图1-12）。4．弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形（图1-13）。杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。§2-1轴向拉伸与压缩杆件及实例轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化，计算简图如图2-1。轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。实例如图2-2所示用于连接的螺栓；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车式起重机的支腿；如图2-5所示巷道支护的立柱。通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：1.受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。2.变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。§2-2横截面上的内力和应力1．内力在图2-6所示受轴向拉力P的杆件上作任一横截面m—m，取左段部分，并以内力的合力代替右段对左段的作用力。由平衡条件，得由于（拉力），则合力的方向正确。因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N表示。若取右段部分，同理，知,得图中的方向也是正确的。材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由平衡坐标方程决定。习惯上将轴力N的正负号规定为：拉伸时，轴力N为正；压缩时，轴力N为负。2．轴力图轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小。例2-1求如图2-7所示杆件的内力，并作轴力图。解：（1）计算各段内力AC段：作截面1—1，取左段部分（图b）。由得kN（拉力）CB段：作截面2—2，取左段部分（图c），并假设方向如图所示。由得则:kN（压力）的方向应与图中所示方向相反。（2）绘轴力图选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出图线。由图2-7可知CB段的轴力值最大，即kN。注意两个问题：1）求内力时，外力不能沿作用线随意移动（如P2沿轴线移动）。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原理的应用是有条件的。2）截面不能刚好截在外力作用点处（如通过C点），因为工程实际上并不存在几何意义上的点和线，而实际的力只可能作用于一定微小面积内。3．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。为了求得应力分布规律，先研究杆件变形，为此提出平面假设。平面假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。根据平面假设得知，横截面上各点沿轴向的正应变相同，由此可推知横截面上各点正应力也相同，即等于常量。2）由静力平衡条件确定的大小由于，所以积分得则:（2-1）式中：—横截面上的正应力；—横截面上的轴力；—横截面面积正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。对于图2-9所示斜度不大的变截面直杆，在考虑杆自重（容重）引起的正应力时，也可应用（2-1）式（2-2）。其中，若不考虑自重，则例2-2旋转式吊车的三角架如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为cm2的角钢制成，kN，。求AB杆横截面上的应力。解：（1）计算AB杆内力取节点A为研究对象，由平衡条件，得则kN（拉力）（2）计算AB杆应力MPa例2-3起吊钢索如图2-11所示，截面积分别为cm2，cm2，m，kN，材料单位体积重量N/cm3，试考虑自重绘制轴力图，并求。解：（1）计算轴力AB段：取1--1截面①BC段：取2--2截面§3-1剪切及其实用计算1．工程上的剪切件通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以下特点：1）受力特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。2）变形特点两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。(见动画：受剪切作用的轴栓)。因此剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。2．剪应力及剪切实用计算剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力Q相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为（3-1）式中：—剪力；—剪切面积;—名义剪切力。剪切强度条件可表示为：（3-2）式中：—构件许用剪切应力。剪切面为圆形时，其剪切面积为：对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为，其剪切面积为：。例3-1电瓶车挂钩由插销联接，如图3-4a。插销材料为20#钢，直径。挂钩及被联接的板件的厚度分别为和。牵引力。试校核插销的剪切强度。解：插销受力如图3-4b所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m—m和n—n两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求出插销横截面上的剪应力为故插销满足剪切强度要求。例3-2如图3-8所示冲床，kN，冲头MPa，冲剪钢板MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。解：（1）按冲头压缩强度计算所以cm（2）按钢板剪切强度计算所以cm。§3-2挤压及其实用计算挤压：联接和被联接件接触面相互压紧的现象，如图3-5就是铆钉孔被压成长圆孔的情况。有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。挤压时，以表示挤压面上传递的力，表示挤压面积，则挤压应力为（3-3）式中：—材料的许用挤压应力，一般对于圆截面：，如图3-6c所示。对于平键：，如图3-7所示。例3-3截面为正方形的两木杆的榫接头如图所示。已知木材的顺纹许用挤压应力，顺纹许用剪切应力，顺纹许用拉应力。若P=40kN，作用于正方形形心，试设计b、a及。解：1.顺纹挤压强度条件为2.顺纹剪切强度条件为（a）（b）3.顺纹拉伸强度条件为（c）联立（a）、（b）、（c）式，解得例3-42..5挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P＝12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm，h=16mm,=70mm，圆头半径R＝14mm（图3－10）。键的许用切应力87MPa，轮毂的许用挤压应力取＝100MPa，试校核键连接的强度。解：（1）校核剪切强度键的受力情况如图3－10c所示，此时剪切面上的剪力（图3－10d）为对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图3－10e），故剪切面面积为所以，平键的工作切应力满足剪切强度条件。（2）校核挤压强度与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为P＝12100N。挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为，则挤压面面积（图3－10f)为故轮毂的工作挤压应力为也满足挤压强度条件。所以,此键安全§4-1扭转及其工程实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点：1．受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶——扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。2．变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转。§4-2扭矩和扭矩图1．外力偶矩如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n由下列关系计算得到的。(4-1a)如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义。角速度与转速n（单位为转/分，即r/min）。关系为（单位为弧度/秒，rad/s）。由于1kW=1000N·m/s，千瓦的功率相当于每秒钟作功，单位为N·m；而外力偶在1秒钟内所作的功为/60（N·m）由于二者作的功应该相等，则有/60由此便得（4-1）式。式中：—传递功率（千瓦，kW）—转速（r/min）如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5N·m/s，则有（N·m）(4-1b)式中：—传递功率（马力，PS）—转速（r/min）2．扭矩求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转内力——扭矩。如图4-4所示圆轴由，从而可得A—A截面上扭矩T，称为截面A—A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。例4-1传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。试画出轴的扭矩图。解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩从受力情况看出，轴在BC、CA、AD三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在BC段内，以表示截面I—I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。由平衡方程，有得负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图4-5e）。同理，在CA段内，由图4-5c，得；在AD段内（图4-5d），；与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图4-5e其中最大扭矩发生于CA段内，且。对上述传动轴，若把主动轮A安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩。显然单从受力角度，图4-5所示轮子布局比图4-6合理。§4-3薄壁圆筒的扭转当空心圆筒的壁厚t与平均直径D（即2r）之比时称为薄壁圆筒.1．剪应力与剪切互等定理若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图4-7a所示。这时使筒在外力偶作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角。纵线均倾斜一微小倾角从而使方格变成菱形(见图4-7b)，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的剪应力，因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力沿圆环处处相等。根据如图4-7c所示部分的平衡方程，有；（4-2）如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于4-7a上小方块的单元体，它的厚度为壁厚t，宽度和高度分别为，。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于p-p,q-q圆周面的左、右侧面上有剪应力，因此在这两个侧面上有剪力，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力作用（据，也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足，即所以（4-3）上式表明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的剪应力应大小相等，方向共同指向或背离交线。这就是剪应力互等定理。图表-7d所示单元体称纯剪切单无体。2．剪应变与剪切胡克定律与图4-7b中小方格（平行四边形）相对应，图4-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，此直角的改变量称为剪应变或角应变。如图4-7b所示若为圆筒两端的相对扭转角，为圆筒的长度，则剪应变为（4-4）薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变与剪应力成正比，即（4-5）式（4-5）为剪切胡克定律；称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。对各向同性材料，弹性常数三者有关系（4-6）3．变形能与比能若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体如图4-8所示，由于变形的相对性，可设单元体左侧面不动，右侧面上的剪力由零逐渐增至，右侧面因错动沿方向的位移由零增至。因此剪力所作的功为等于单元体内储存的变形能，故剪切单元体的变形能为（4-7）其中。以单元体的体积除得单位体积内的剪切变形能，即比能为对图4-8所示线弹性情况，当剪应力在剪切比例极限以内时，，有（4-8a）对图4-8所示线弹性关系（比例极限以内），有对图4-7b所示受扭薄壁圆筒，由于其剪应力与剪应变均处处相同，则整个圆筒的变形能为=（4–8b）§4-4圆轴扭转时的应力和强度条件平面假设及变形几何关系如图4-9a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2)由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从图4-9a取出图4-9b所示微段dx,其中两截面pp,qq相对转动了扭转角d,纵线ab倾斜小角度成为ab’，而在半径()处的纵线cd根据平面假设，转过d后成为cd’（其相应倾角为，见图4-9c）由于是小变形，从图4-9c可知：。于是（a）对于半径为R的圆轴表面（见图4-9b），则为（b）物理关系与受扭薄壁圆筒相同，在半径为处截出厚为d的薄圆筒（图4-9b），用一对相距dy而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面体）如图4-9c此为受纯剪切单元体。由剪切胡克定理和式（a）得（c）这表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，即当；当，取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图4-10。3．静力平衡关系在图4-11所示平衡对象的横截面内，有，扭矩，由力偶矩平衡条件，得令（4-9）此处d/dx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为m4或cm4。则或（4-10）。将（4-10）式代回（c）式，得（4-11）则在圆截面边缘上，为最大值时，得最大剪应力为（4-12）此处（4-13）称为抗扭截面系数，单位为m3或cm3。由此得圆轴扭转强度条件（4-14）注意到此处许用剪应力[]不同于剪切件计算中的剪切许用应力。它由危险剪应力除以安全系数n得到，与拉伸时相类似：sb由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据表明，它与相同材料的拉伸强度指标有如下统计关系：塑性材料；脆性材料4.、计算对实心圆轴对空心圆轴（4-15）（4-16）例4-2AB轴传递的功率为，转速。如图4-12所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知，。试计算AC以及CB段的最大与最小剪应力。解：（1）计算扭矩轴所受的外力偶矩为由截面法（2）计算极惯性矩AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为（3）计算应力AC段轴在横截面边缘处的剪应力为CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为§4-5圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10）所以（rad）（4-17）式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。越大，则扭转角越小。让，为单位长度相对扭角，则有（rad/m）扭转的刚度条件：（rad/m）（4-18）或（°/m）（4-19）例4-3如图4-13的传动轴，r/min，马力，马力，马力，已知MPa，°/m，GPa。求：确定AB和BC段直径。解：1）计算外力偶矩（N·m）（N·m）（N·m）作扭矩图，如图4-13b所示。2）计算直径AB段：由强度条件，（mm）由刚度条件（mm）取mmBC段：同理，由扭转强度条件得mm由扭转刚度条件得mm取mm例4-4如图4-14所示等直圆杆，已知KN·m，试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为，（1）由静力平衡方程得；（a）此题属于一次超静定。（2）由变形协调方程（可解除B端约束），用变形叠加法有（b）（3）物理方程，，（c）由式（c），（b）得即并考虑到（a），结果假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示。§4-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。1．弹簧丝横截面上的应力如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面上剪力，扭矩。由引起的剪应力，而且认为均匀分布于横截面上（图4-15c）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由引起的最大剪应力（图4-15d）所以在簧丝横截面内侧A点有（4-20）其中（4-21）当，略去剪应力所引起的误差，可用近似式（4-22）对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是：（4-23）式中：—弹簧丝材料的许用剪应力2.弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功。簧丝横截面上，距圆心为的任意点的扭转剪应力为（a）如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是（b）弹簧的变形能应为（c）此处，其中，弹簧丝总长为，n为弹簧有效圈数。于是积分式（c）得（d）由，则得到（4-24）式中是弹簧圈的平均半径。若引入记号，则式（4-24）可写成（4-25）代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与成反比，越大则越小。例4-5某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径，簧丝直径，有效圈数。。弹簧工作时受KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略去弹簧曲率的影响）解：由变形公式求最大压缩量考虑剪切力时不考虑剪力影响时，相差5.9%。由于，还应考虑曲率影响，此处从略。§4-7非圆截面杆的扭转问题工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17a。杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-17b）。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c）：1）边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。2）发生在矩形长边中点处，大小为：，（4-26）次大剪应力发生在短边中点，大小为，四个角点处剪应力。3）杆件两端相对扭转角，（4-27）。其中系数与有关，可查表（见有关参考书）。注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。当时，截面成为狭长矩形，此时，若以表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为（4-28）其中，，此时长边上应力趋于均匀，如图4-17d所示。在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。例4-6某柴油机曲轴的曲柄截面Ⅰ—Ⅰ可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若，，已知曲柄所受扭矩为，试求这一矩形截面上的最大剪应力。解：由截面Ⅰ—Ⅰ的尺寸求得查表，并利用插入法，求出于是得：§4-8薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件：杆件的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸（高和宽）。若杆件截面壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线，如图4-19a，则称为开口薄壁杆件。若为封闭的则称为闭口薄壁杆件（图4-19b）1．开口薄壁杆件的自由扭转可把截面视为一个狭长矩形（图4-20a）或几个狭长矩形的组合（图4-20b）。应力和变形计算可引用狭长矩形截面杆的结果。最后计算公式仍用（4-28），只是，意义作适当改变。（1）截面可展成一个狭长矩形的，其中h为截面展开为狭长矩形时的中线长度，如图4-20b，。（2）截面可视为n个狭长矩形组成的。可按横截面投影形状保持不变（刚周界）假设，即根据各矩形的扭转角（）和整个横截面扭角相同，而整个截面的扭矩T等于各矩形截面承受的分扭矩之和（），得到：（4-29）说明：·发生在壁最厚的矩形长边上。·对于各种型钢，考虑圆角和壁厚不均匀影响，对要乘以修正系数，对角钢，槽钢，工字钢。2．闭口薄壁杆件受扭闭口薄壁杆件如图4-21所示对横截面上剪应力的假设：（1）沿周边的切线方向作用；（2）沿壁厚均匀分布。当壁厚变化时，则剪流有（常量）根据截面内剪应力组成扭矩的条件：此处（积分代表截面中线所围面积）于是有（4-30）利用功能原理，对杆长为的整杆可写出扭转力偶m所做的功，变形能。由可求得（4-31a）若壁厚不变，，则，有（4-31b）。其中s为截面中线的周长。例4-7图4-22，所示为开口与闭口圆环薄壁杆件，试比较二者的自由扭转剪应力和扭角。设两杆材料相同，并具有相同的长度，平均半径r和壁厚。解：（1）开口，（）（2）闭口，（），（）（3）比较，可见开口薄壁杆件的应力和变形都远大于同样情况下的闭口薄壁杆件。§5-1弯曲及其工程实例图5-1为工程中常见的桥式起重机大梁和火车轮轴，它们都是受弯构件。弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。对称弯曲：梁的每一个横截面至少有一根对称轴，这些对称轴构成对称面。所有外力都作用在其对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于这个对称面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲，如图5-2所示。对称弯曲是弯曲问题中最常见的情况。§5-2静定梁的基本形式静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。静定梁的基本形式有：简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁，如图5-3a所示。悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁，如图5-3b所示。外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图5-3c所示。§5-3梁的内力——剪力和弯矩如图5-4a所示的简支梁，其两端的支座反力、可由梁的静力平衡方程求得。用假想截面将梁分为两部分，并以左段为研究对象（图5-4b）。由于梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡状态。据此，截面I―I上将产生内力，这些内力将与外力、，在梁的左段构成平衡力系。由平衡方程，则；这一与横截面相切的内力称为横截面I―I上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力对截面I―I的形心取矩，其力矩总和应为零，即，则；这一内力偶矩称为横截面I―I上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。剪力和弯矩均为梁横截面上的内力，它们可以通过梁的局部平衡来确定。剪力、弯矩的正负号规定：使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负，如图5-5所示；使梁的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负，如图5-6所示。§5-4剪力图和弯矩图一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：1．剪力、弯矩方程法若以横坐标表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为的函数，即上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。根据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图时，首先要建立和坐标。一般取梁的左端作为坐标的原点，坐标和坐标向上为正。然后根据截荷情况分段列出和方程。由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。分段点截面也称控制截面。求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负号），并将这些数值标在、坐标中相应位置处分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。最后注明和的数值。2．微分关系法考察图5-7a所示承受任意载荷的梁。从梁上受分布载荷的段内截取微段，其受力如图5-7b所示。作用在微段上的分布载荷可以认为是均布的，并设向上为正。微段两侧截面上的内力均设为正方向。若截面上的内力为、，则截面上的内力为、。因为梁整体是平衡的，微段也应处于平衡。根据平衡条件和，得到略去其中的高阶微量后得到（5-1）；(5-2）利用式（5-1）和（5-2）可进一步得出（5-3）。式（5-1）、（5-2）和（5-3）是剪力、弯矩和分布载荷集度之间的平衡微分关系，它表明：１．剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度。２．弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。３．弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度。根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。例如：１．若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力为常量，剪力图为平行于轴的直线；而弯矩为的一次函数，弯矩图为斜直线。２．若某段梁上的分布载荷（常量），则该段梁的剪力为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩图为抛物线。在本书规定的坐标中，当（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。３．若某截面的剪力，根据，该截面的弯矩为极值。利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：1．求支座反力；2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；3．求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4．确定和。§5-5平面刚架和曲杆的内力图杆系结构若在结点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。各杆连接处称为刚结点。刚架变形时，刚结点处各杆轴线之间的夹角保持不变。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。§6-1纯弯曲正应力梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横弯曲。剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力和正应力。实践和理论都证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。因此，我们先讨论Q=0，M=常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。图6-1所示梁的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。1．变形关系——平面假设考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征：（1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设也称平面假设。此外，还假设：梁的各棕向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。考察梁上相距为dx的微段（图6-4a），其变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线，y轴与横截面的对称轴重合，z轴为中性轴。则距中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为，其纵向正应变为（a）式（a）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。2．物理关系根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律于是有（b）式中、均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d所示。式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层的曲率半径以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。3．静力关系弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z的微面积dA上有作用力。横截面上所有微面积上的这些力将组成轴力N以及对y、z轴的力矩My和Mz：（c）；（d）；（e）在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩，而轴力和皆为零。将式（b）代入式（c），因为，故有，其中称为截面对z轴的静矩。因为，故有。这表明中性轴z通过截面形心。将式（b）代入式（d），有，其中称为截面对y、z轴的惯性积。使的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。将式（b）代入式（e），有，得到（6-1），其中称为截面对z轴的惯性矩；称为截面的抗弯刚度。式（6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。将式（6-1）代入（b），得到纯弯情况下的正应力计算公式（6-2）上式中正应力的正负号与弯矩及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及和y的正负。§6-2横弯曲正应力梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，，为梁长，为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（6-1）和（6-2）仍然适用。当然式（6-1）和（6-2）只适用于材料在线弹性范围，并且要求外力满足平面弯曲的加力条件：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。（薄壁截面梁产生平面弯曲的加力条件见§6-5）上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁（，为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。§6-3横弯曲剪应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有剪应力。但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1．矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q的方向一致。由于对称的关系，横线中点处的剪应力也必与Q的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q。又因截面高度h大于宽度b，剪应力的数值沿横线不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力。2）剪应力沿截面宽度均匀分布。基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所示，现欲求距中性轴z为y的横线处的剪应力。过用平行于中性层的纵截面自dx微段中截出一微块（图6-6d）。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力。微块左右侧面上正应力的合力分别为和，其中（a）(b)式中，为微块的侧面面积，为面积中距中性轴为处的正应力，。由微块沿x方向的平衡条件，得（c）将式（a）和式（b）代入式（c），得，故因，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力为（6-3）式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q为截面上的剪力；为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；为面积对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图6-7），可取，于是这样，式（6-3）可写成上式表明，沿截面高度剪应力按抛物线规律变化（图6-7b）。在截面上、下边缘处，y=±,=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为（6-4）式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的倍。2．圆形截面梁在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得（6-5）式中，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的倍。3．工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上，其值为式中（S）为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0.97）Q，因此也可用下式计算的近似值式中h为腹板的高度，d为腹板的宽度。§6-4弯曲强度计算根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件（6-6）式中为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为（6-7），式中：=（6-8）称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为[长度]3。国际单位用m3或mm3。对于宽度为、高度为的矩形截面，抗弯截面系数为（6-9），直径为的圆截面，抗弯截面系数为（6-10）内径为，外径为的空心圆截面，抗弯截面系数为，（6-11）轧制型钢（工字钢、槽钢等）的可从型钢表中查得。对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。根据式（6-7），可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。需要指出的是，对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。等截面直梁的一般发生在截面的中性轴上，此处弯曲正应力，微元体处于纯剪应力状态，其强度条件为（6-12）式中为材料的许用剪应力。此时，一般先按正应力的强度条件选择截面的尺寸和形状，然后按剪应力强度条件校核。§6-5薄壁截面的弯曲中心对于薄壁截面梁，若横向力作用在纵向对称面内，梁将发生平面弯曲。若横向力没作用在对称平面内，则力必须通过截面上某一特定的点，该点称为弯曲中心，且平行于形心主轴时，梁才能发生平面弯曲。否则，梁在发生弯曲的同时，还将发生扭转。确定弯曲中心的方法是，先假定在横向力作用下梁发生平面弯曲，研究此时横截面上的剪应力分布，求出剪应力的合力作用点，此即弯曲中心。再根据内外力的关系，确定产生平面弯曲的加载条件。现以图示的槽形截面悬臂梁为例，说明确定弯曲中心的方法。设横向力通过点，且平行于形心主轴y，梁发生平面弯曲而没有扭转（6-10a）。此时梁的横截面上不但有正应力，还有剪应力。除腹板上有垂直剪应力外，在翼缘上还将产生水平剪应力。由于翼缘很薄，对水平剪应力同样假定：（1）剪应力平行于翼缘的周边，（2）沿翼缘厚度均匀分布（图6-10b）。为了分析水平剪应力，以相距为的两横截面及垂直于翼缘中线的纵截面自翼缘上截取一微段，微段横截面上作用有正应力的合力、，在截开的纵截面上作用有剪应力（图6-10c）。其中根据剪应力成对定理和微段沿方向的平衡条件，有，得（a）水平剪应力的计算公式与腹板上垂直剪应力的计算公式完全相同，式中，可见水平剪应力沿翼缘线性分布。同样可求出下翼缘上水平剪应力的方向与分布规律。由图6-11a可以看出，剪应力沿截面中线形成“剪流”。上翼缘水平剪应力的合力（b）下翼缘水平剪应力的合力，但与的方向相反；腹板垂直剪应力的合力（图6-11b）。根据合力之矩定理，、和的合力作用点应在距腹板中线为的点处。(c)若横向力通过点，截面上的剪力与外力形成的力偶矢量平行于轴，使梁发生平面弯曲。若外力不通过点，则外力与截面上的剪力不在同一纵向面内，将外力向点平移后，附加的力偶将使梁发生扭转变形。所以弯曲中心是平面弯曲时横截面上剪应力的合力作用点。由式（c）可以看出，弯曲中心的位置只取决于截面的形状和尺寸，而与外力无关。弯曲中心简称为弯心。当截面有两个对称轴时，两个对称轴的交点即为弯曲中心，此时弯曲中心与形心重合，如工字形截面。当截面有一个对称轴时，可假定外力垂直于该对称轴，并产生平面弯曲，求得截面上剪应力合力的作用线，该作用线与对称轴的交点即为弯曲中心，此时弯曲中心一般与形心不重合，如槽形截面。对于没有对称轴的薄壁截面应这样求弯曲中心：（1）确定形心主轴。（2）设横向力平行于某一形心主轴，并使梁产生平面弯曲，求出截面上弯曲剪应力合力作用线的位置。（3）设横向力平行于另一形心主轴，并使梁产生平面弯曲，求出对于此平面弯曲截面上剪应力合力作用线的位置。（4）两合力作用线的交点即为弯曲中心的位置。对于形状较简单的薄壁截面，根据弯心的概念和剪流的特点，可以很快定出弯心的位置，如6-12所示。对于实心截面杆，由于忽略剪应力的影响，故认为弯心与形心重合。开口薄壁截面杆的抗扭刚度较小，如横向力不通过弯曲中心，将引起比较严重的扭转变形，不但要产生扭转剪应力，有时还将因约束扭转而引起附加的正应力和剪应力。对这类杆件进行强度计算时，对弯曲中心的问题应予以足够的重视。§6-6提高弯曲强度的措施如前所述，弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素。根据弯曲正应力的强度条件（a）上式可以改写成内力的形式（b）（b）式的左侧是构件受到的最大弯矩，（b）式的右侧是构件所能承受的许用弯矩。由（a）和（b）两式可以看出，提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯矩、提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。1．减小最大弯矩1）改变加载的位置或加载方式首先，可以通过改变加载位置或加载方式达到减小最大弯矩的目的。如当集中力作用在简支梁跨度中间时（6-13a），其最大弯矩为；当载荷的作用点移到梁的一侧，如距左侧处（图6-13b），则最大弯矩变为，是原最大弯矩的倍。当载荷的位置不能改变时，可以把集中力分散成较小的力或者改变成分布载荷，从而减小最大弯矩。例如利用副梁把作用于跨中的集中力分散为两个集中力（图6-13c）,而使最大弯矩降低为。利用副梁来达到分散载荷，减小最大弯矩是工程中经常采用的方法。2）改变支座的位置其次，可以通过改变支座的位置来减小最大弯矩。例如图6-14a所示受均布载荷的简支梁，。若将两端支座各向里移动（图6-14b），则最大弯矩减小为,。只及前者的。图6-15a所示门式起重机的大梁，图6-15b所示锅炉筒体等，其支承点略向中间移动，都是通过合理布置支座位置，以减小的工程实例。2．提高抗弯截面系数1）选用合理的截面形状在截面积相同的条件下，抗弯截面系数愈大，则梁的承载能力就愈高。例如对截面高度大于宽度的矩形截面梁，梁竖放时；而梁平放时，。两者之比是，所以竖放比平放有较高的抗弯能力。当截面的形状不同时，可以用比值来衡量截面形状的合理性和经济性。常见截面的值列于表6-1中。表中的数据表明，材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它们得到充分利用，形成“合理截面”。工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板，道理就在于此。需要指出的是，对于矩形，工字形等截面，增加截面高度虽然能有效地提高抗弯截面系数；但若高度过大，宽度过小，则在载荷作用下梁会发生扭曲，从而使梁过早的丧失承载能力。对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用字形等中性轴距上下边不相等的截面较合理。设计时使中性轴靠近拉应力的一侧，以使危险截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。2）用变截面梁对于等截面梁，除所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。因此，为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁。考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴（图6-16a），摇臂钻床的摇臂（图6-16c）及工业厂房中的鱼腹梁（图6-16b）等。3．提高材料的力学性能构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素。近年来低合金钢生产发展迅速，如、钢等。这些低合金钢的生产工艺和成本与普通钢相近，但强度高、韧性好。南京长江大桥广泛的采用了钢，与低碳钢相比节约了的钢材。铸铁抗拉强度较低，但价格低廉。铸铁经球化处理成为球墨铸铁后，提高了强度极限和塑性性能。不少工厂用球墨铸铁代替钢材制造曲轴和齿轮，取得了较好的经济效益。§7-1梁的变形和位移梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用表示。而，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程。本章的主要任务是建立小挠度曲线微分方程，用积分法和叠加法求梁的挠度和转角。§7-2小挠度曲线微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为：（a）式（a）表明梁轴线上任一点的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度成反比。如图7-2所示。而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间存在下列关系：（b），将上式代入式（a），得到（c）小挠度条件下，，式（c）可简化为：（d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着的正值（图7-3a），负弯矩对应着的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值（7-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。§7-3用积分法求梁的位移将式（7-1）分别对积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程：（a）（b）其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式（a）和（b）中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件（即支座对梁的挠度和转角提供的限制）确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。对于载荷有突变（集中力、集中力偶、分布载荷间断等）的情况，弯矩方程需要分段描述。对式（a）和（b）必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。§7-4用叠加法求梁的位移在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果（表7-1（孙训芳教材P.224表6.1）），叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。§7-5简单静不定梁静不定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。静定基：指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”。相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。将相当系统与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件，进而得到求解静不定问题所需的补充方程。通过静力平衡方程和补充方程可联立求解静不定问题。例如图7-5a中，车削工件的左端由卡盘夹紧，右端由尾顶针顶住，计算简图如图7-5b所示。此为一次静不定问题。图7-5c为静定基。图7-5d为相当系统，支座反力由表示，静力平衡方程为，，，在多余约束处建立变形协调条件利用表7-1可知；。因此，。利用平衡方程可解得，和，画出其弯矩图如图7-5g所示。§7-6梁的刚度条件梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件式中的和分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。§7-7提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩、材料的弹性模量有关。故提高梁刚度的措施为：（1）改善结构形式，减小弯矩；（2）增加支承，减小跨度；（3）选用合适的材料，增加弹性模量。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩，如工字形截面、空心截面等。§8-1一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或,得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有：，，。2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而=。3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。2．平面一般应力状态斜截面上应力如图8-10所示，斜截面平行于轴且与面成倾角，由力的平衡条件：和可求得斜截面上应力，：（8-3a）(8-3b)注意到：1）图8-10b中应力均为正值，并规定倾角自轴开始逆时针转动者为正，反之为负。2）式中均为面上剪应力，且已按剪应力互等定理将换成。3．正应力极值——主应力根据（8-3a）式，由求极值条件，得即有（8-4a）为取极值时的角，应有，两个解。将相应值，分别代入(8-3a)，(8-3b)即得：（8-4b）;(8-4c)说明：1）当倾角转到和面时，对应有，，其中有一个为极大值，另一个为极小值；而此时，均为零。可见在正应力取极值的截面上剪应力为零（如图8-11a）。2）定义：正应力取极值的面（或剪应力为零的面）为主平面，主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：，，故也称平面应力状态为二向应力状态。4．剪应力极值——主剪应力根据(8-3b)式及取极值条件，可得：（8-5a）为取极值时的角，应有，两个解。将相应值，分别代入(8-3b)，(8-3a)即得：(8-5b)；说明：1）当倾角转到和面时，对应有，，且二者大小均为，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小均取平均值（如图8-11b）。2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。注意到：；或因而主剪平面与主平面成夹角。§8-4平面一般应力状态分析——应力圆法1．应力圆方程由式（8-3a）和(8-3b)消去，得到(8-6)此为以，为变量的圆方程，以为横坐标轴，为纵坐标轴，则此圆圆心坐标为，半径为，此圆称应力圆或莫尔（Mohr）圆。2．应力圆的作法应力圆法也称应力分析的图解法。作图8-12a所示已知平面一般应力状态的应力圆及求倾角为的斜截面上应力，的步骤如下：1）根据已知应力，，值选取适当比例尺；2）在坐标平面上，由图8-12a中微元体的1-1，2-2面上已知应力作1（，），2（，-）两点；3）过1，2两点作直线交轴于点，以为圆心，为半径作应力圆；4）半径逆时针（与微元体上转向一致）转过圆心角得3点，则3点的横坐标值即为，纵坐标值即为。3．微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系1）=，=的证明：=已知：；则，让，对照上式与式（8-3a），可知=。对照上式与式（8-3b），可知=。2）几个重要的对应关系；（即式（8-5b））主平面位置：应力圆上由1点顺时针转过到点。，（即式（8-4a）），对应微元体内从面顺时针转过角（面）。应力圆上继续从点转过到，对应微元体上从面继续转过到面，此时（即式（8-4c））建议读者对，点（对应主剪应力）作同样讨论。§8-5空间应力状态的主应力与最大剪应力1．主应力对于空间一般应力状态（如图8-9a），可以证明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三向应力状态。约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即。例8-1式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力状态，有两个主应力，内壁有内压工程上略去不计，则有：，，。例8-2图8-7所示受弯曲与扭转组合作用圆轴中的1点，可用图8-14所示应力圆求其主应力：，二向应力状态。所以，，2．主剪应力，最大剪应力若已知（或已求得）三个主应力，可求：1）平行方向的任意斜截面上应力（如图8-15a）。由于不参加图8-15b所示微元体的力平衡。可利用式（8-3a）、(8-3b)：；相应于图8-15c中，构成的应力圆，此时主剪应力：，（图8-15c上的点）。2）平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-16a，b，c）主剪应力：。（见图8-15c中，构成的应力圆上点）。3）求平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-15c中点）。。结论：在按约定排列的三个非零主应力，，作出的两两相切的三个应力圆中，可以找到三个相应的主剪应力，，，其中最大剪应力值为：处在与，作用面成的面上。例8-1中：,而非。例8-2中：※3．任意斜截面上应力已知主应力，，，设斜截面法线的方向余弦为，，。求任意斜截面上应力。设斜面面积，则三个侧面面积：，，三个方向余弦满足关系：（a）由平衡条件，和有：，，（b）由总应力的三个分量可得总应力：（c）也可分解为法线方向的正应力和面上剪应力（图8-17c），则有（d）由式（d），（c）得：（e），，在斜面法线上投影之代数和为，注意到式（b），则有：（f）由式（a），（e），（f）可解得：(8-7)讨论：1）在以为横坐标，为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力圆，且交于一点，此点坐标即为斜截面上的应力（，）。2）由于、、，在约定条件下，可由以上三式证明任意斜截面上应力均落在图8-14c所示三个主应力圆包围的阴影线面积内。3）当，式（8-7）第一式即为图8-14c中，组成的应力圆方程，在所有平行方向的斜截面中，与，成的斜面上具有主剪应力，同理，当，和时，对应有，及，组成的应力圆方程，分别可得主剪应力：和，可见，。§9-1建立强度理论的基本思想１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限，铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度。图9-1a,b２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。图（9-2a,b）例3常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。图（9-3a）例4常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。图９－３b３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为。建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是：１）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设；２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。§9-２关于脆性断裂的强度理论１．最大拉应力准则（第一强度理论）基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。表达式：复杂应力状态，当，简单拉伸破坏试验中材料的正断抗力，最大拉应力脆断准则：(9-1a)相应的强度条件：(9-1b)适用范围：虽然只突出而未考虑的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。特别适用于拉伸型应力状态（如），混合型应力状态中拉应力占优者（但）。2．最大伸长线应变准则（第二强度理论）基本观点：材料中最大伸长线应变到达材料的脆断伸长线应变时，即产生脆性断裂。表达式：。复杂应力状态：，当；简单拉伸破坏试验中材料的脆断伸长线应变，，最大伸长线应变准则：（9-2a）相应的强度条件：（9-2b）适用范围：虽然考虑了，的影响，它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合（如图9-4所示），铸铁在混合型压应力占优应力状态下（）的实验结果也较符合，但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的，对材料强度的影响规律。§9-3关于塑性屈服的强度理论1．最大剪应力准则（第三强度理论）基本观点：材料中的最大剪应力到达该材料的剪切抗力时，即产生塑性屈服。表达式：复杂应力状态，简单拉伸屈服试验中的剪切抗力，，最大剪应力屈服准则：（9-3a）相应的强度条件：（9-3b）适用范围：虽然只考虑了最大主剪应力，而未考虑其它两个主剪应力，的影响，但与低碳钢、铜、软铝等塑性较好材料的屈服试验结果符合较好；并可用于像硬铝那样塑性变形较小，无颈缩材料的剪切破坏，此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则。2．形状改变比能准则（第四强度理论）基本观点：材料中形状改变比能到达该材料的临界值时，即产生塑性屈服。表达式：复杂应力状态，简单拉伸屈服试验中的相应临界值，，形状改变比能准则：（9-4a）相应的强度条件：（9-4b）适用范围：它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响，它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好。此准则也称为米泽斯（Mises）屈服准则，由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的载荷往往较为稳定，因而较多地采用第四强度理论。附：泰勒——奎尼（Taylor—Quinney）薄壁圆筒屈服试验（1931）。米泽斯与特雷斯卡屈服准则的试验验证。薄壁圆筒承受拉伸与扭转组合作用时，应力状态如图9-5a。主应力：，代入第三强度理论：或（a）；代入第四强度理论：或（b）（a），（b）式在以—为坐标轴的平面内为两条具有不同短轴的理论椭圆曲线（图9-5b）。结果：试验点基本上落于两条理论曲线之间，大多数试验点更接近于第四强度理论曲线。§9-4莫尔强度理论1．不同于四个经典强度理论，莫尔理论不致力于寻找（假设）引起材料失效的共同力学原因，而致力于尽可能地多占有不同应力状态下材料失效的试验资料，用宏观唯象的处理方法力图建立对该材料普遍适用（不同应力状态）的失效条件。2．自相似应力圆与材料的极限包络线自相似应力圆：如果一点应力状态中所有应力分量随各个外载荷增加成同一比例同步增加，则表现为最大应力圆自相似地扩大。材料的极限包络线：随着外载荷成比例增加，应力圆自相似地扩大，到达该材料出现塑性屈服或脆性断裂时的极限应力圆。只要试验技术许可，务求得到尽可能多的对应不同应力状态的极限应力圆，这些应力圆的包络线即该材料的极限（状态）包络线。图9-6a所示即包含拉伸、圆轴扭转、压缩三种应力状态的极限包络线。3．对拉伸与压缩极限应力圆所作的公切线是相应材料实际包络线的良好近似（图9-6b）。实际载荷作用下的应力圆落在此公切线之内，则材料不会失效，到达此公切线即失效。由图示几何关系可推得莫尔强度失效准则。对于抗压屈服极限大于抗拉屈服极限的材料（即）（9-5a）对于抗压强度极限大于抗拉强度极限的材料（即）（9-5b）强度条件具有同一形式：或（9-5c）相应于式（9-5a），，；相应于式（9-5b），,对铸铁，陶瓷材料，对大多数金属，，此时莫尔强度条件退化为最大剪应力强度条件。4．适用范围：1）适用于从拉伸型到压缩型应力状态的广阔范围，可以描述从脆性断裂向塑性屈服失效形式过渡（或反之）的多种失效形态，例如“脆性材料”在压缩型或压应力占优的混合型应力状态下呈剪切破坏的失效形式。2）特别适用于抗拉与抗压强度不等的材料。3）在新材料（如新型复合材料）不断涌现的今天，莫尔理论从宏观角度归纳大量失效数据与资料的唯象处理方法仍具有广阔应用前景。§9-5含裂纹构件的脆断准则1．概述随着现代技术与工业的发展，新材料、新工艺，大型结构与构件的出现和工作环境的苛刻化，构件中隐含宏观裂纹或由微观裂纹成长为宏观裂纹的机会大大增加，宏观裂纹发展到了临界长度，裂纹尖端高度的应力集中会导致高强度、低韧性材料（构件）发生脆性断裂而失效。线弹性断裂力学（LEFM）研究构件中裂纹的扩展规律，并建立由此导致的脆性断裂准则，为含裂纹构件防脆断设计提供依据。2．裂纹导致的脆断事故分析1）全焊接大型结构,如大型贮油罐,贮气罐，高压容器，全焊接轮船，大型桥梁等。由于焊缝及其附近的热影响区中存在各种缺陷,夹渣、微裂纹等宏观裂纹源而导致脆断事故。实例之一：二战期间，美国250艘全焊接战时标准船的断裂事故，其中10艘在平静港湾突然一断为二。2）现代冶炼技术和复合材料的研制工艺为航空、航天等高新技术工业领域提供了超高强度，相对偏低韧性的结构材料，使允许的临界裂纹长度大大减小，材料脆性倾向大大增加。实例之二：50年代末，60年代初，美国在发射北极星导弹试验中多次发生发动机壳体爆炸事故，发射火箭时曾发生助推器在半空爆炸。调查表明：壳体材料Kgf/mm2,工作应力Kgf/mm2，常规强度没有问题，但在爆炸碎片中发现残留的宏观裂纹。3裂纹导致构件脆断事故的特点1）构件中存在宏观裂纹它们是初始宏观裂纹（可由无损探伤查检）或初始微观裂纹在疲劳、腐蚀、多次冲击下成长为宏观裂纹。2）低应力断裂由于宏观裂纹尖端的应力集中，高应力区中存在二向及三向拉伸应力状态大大加强了材料脆化倾向，导致宏观工作应力大大低于静载强度指标（如）情况下的低应力断裂破坏，破坏之前没有任何宏观塑性变形预兆。4Ⅰ型裂纹尖端附近的应力场1）裂纹扩展的三种基本形式（图9-8）：其中以Ⅰ型为最危险，其远场应力（载荷）垂直于裂纹面（见图9-9）2）Ⅰ型裂纹尖端附近应力场（图9-10）：局部应力场的应力分量表达式为（9-6a）其中（9-6b）控制应力场强弱程度的称Ⅰ型应力强度因子（SIF）此处——垂直于裂纹面的远场应力（载荷）——裂纹长度——几何形状因子，与裂纹体几何形状、尺寸、加载情况有关。如图（9-11）。3）断裂准则与断裂韧性对于宏观裂纹导致的脆性断裂，即裂纹一旦起裂就迅速失稳扩展直至构件沿裂纹面断裂，以应力强度因子为控制参量建立脆断准则（9-7）其中与所加载荷有关（见式（9-6b），可查有关应力强度因子手册）。由标准试样（如图9-9），按规定试验程序测试得到。如见我国正式规定文件GB4161—84（金属材料平面应变断裂韧度试验方法）；国际上，如美国宇航局、美国材料试验学会颁发的ASTM—E399—78。按上述规定测得的是材料的常量，称平面应变断裂韧度，它反映了材料对裂纹快速扩展的抗力。§9-6强度理论的应用1．选用原则1）对于常温、静载、常见应力状态下通常的塑性材料，如低碳钢，其弹性失效状态为塑性屈服；通常的脆性材料，如铸铁，其弹性失效状态为脆性断裂，因而可根据材料来选用强度理论：第三强度理论可进行偏保守（安全）设计。塑性材料第四强度理论可用于更精确设计，要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。第一强度理论用于拉伸型和拉应力占优的混合型应力状态。脆性材料第二强度理论仅用于石料、混凝土等少数材料。2）对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况，不能只看材料，还必须考虑应力状态对材料弹性失效状态的影响，根据所处失效状态选取强度理论。①塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏，应选用第一强度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料脆断的试验获得。②脆性材料（如大理石）在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效状态，应选用第三、第四强度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料屈服的试验获得。③脆性材料在压缩型或混合型压应力占优的应力状态下，像铸铁一类脆性材料均具有的性能，可选择莫尔强度理论。2．题例例9-1试建立钢轴在弯扭组合作用下的强度条件。解：如图9-12轴上危险点（如1点）的正应力与剪应力简单表示为：，，（a）危险点的三个主应力为，（b）若选用第三强度理论，并引用（b）式，则有若选用第四强度理论，并引用（b）式，则有（9-7a）（9-7b）若将（a）式分别代入（9-7a）、（9-7b）式则相应有（9-8a）；（9-8b）例9-2试对图9-13所示薄壁圆筒压力气罐推导设计壁厚的公式。（1）材料为铸铁，已知；（2）材料为压力容器用钢，已知。解：气罐承受内压较低，一般为薄壁容器，在内压作用下产生拉伸型应力状态：，，（a）对（1），选用第一强度理论，（9-9a）对（2），选用第三强度理论，（9-9b）选用第四强度理论（9-9c），得出的应满足。例9-3图示液压钢瓶由铸铁制成，已知平均直径，抗拉强度Mpa,抗压强度Mpa，试导出轴向压力时的壁厚设计公式。解：应力状态中各应力分量为，，（a）此为压应力占优的混合型应力状态，，选用莫尔理论：；若计算所得，则满足薄壁圆筒条件，若则应调整有关参数，或按厚壁圆筒进行设计。例9-4某中强钢Mpa,Mpa;某高强钢Mpa,Mpa，试估算此两种材料制成的圆筒形压力气瓶所含纵向裂纹尺寸的临界值，若要求二者具有同样的工作安全系数（取）。（图9-15a）解：按脆断准则，（a）则有（b）围绕纵向裂纹取出足够大的板块（图9-13b），近似视为无限大板，此时：，，c）式（c）代入（b）：对中强钢mmm,此时Mpa。对高强钢mmm,此时Mpa。结论：1）对于中、低强度钢，相应断裂韧度较高，允许临界裂纹长度较长，因而对中、小型零件不会出现裂纹导致的脆断问题，主要考虑常规强度问题（应用经典强度理论）。2）对于高强、超高强钢，如果相应断裂韧度较低，允许临界裂纹长度很短，除应进行常规强度校核外，必须严格检查与控制内含裂纹长度，利用断裂准则进行安全校核，因而对结构材料，高强度不是追求的唯一目标，还应提高其断裂韧性。§10-1概述1．构件的受力情况分为基本受力（或基本变形）形式（如中心受拉或受压，扭转，平面弯曲,剪切）和组合受力（或组合变形）形式。组合变形由两种以上基本变形形式组成。2．处理组合变形构件的内力、应力和变形（位移）问题时，可以运用基于叠加原理的叠加法。叠加原理：如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。说明：①保证上述线性关系的条件是线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无关。如10-1a图所示纵横弯曲问题，横截面上内力（图10-1b）为N=P，M(x)=。可见当挠度（变形）较大时，弯矩中与挠度有关的附加弯矩不能略去。虽然梁是线弹性的，弯矩、挠度与P的关系却仍为非线性的，因而不能用叠加法。除非梁的刚度较大，挠度很小，轴力引起的附加弯矩可略去。§10-2两个互相垂直平面内弯曲的组合图10-2(a)所示构件具有两个对称面（y，z为对称轴），横向载荷P通过截面形心与y轴成\uf061夹角，现按叠加法写出求解梁内最大弯曲正应力的解法与步骤：⑴根据圣维南原理，将载荷按基本变形加载条件进行静力等效处理，现将P沿横截面对称轴分解为Py、Pz，则有，（图a）⑵得到相应的几种基本变形形式，分别计算可能危险点上的应力。现分别按两个平面弯曲（图b，c）计算。Py，Pz在危险面（固定端）处分别有弯矩：，（图d）。My作用下产生以y轴为中性轴的平面弯曲，bd与ac边上分别产生最大拉应力与最大压应力(a)，Mz作用下产生以z轴为中性轴的平面弯曲,ab与cd边上分别产生最大拉应力与最大压应力(b)⑶由叠加法得组合变形情况下，亦即原载荷作用下危险点的应力。现可求得Py，Pz共同作用下危险点（b、c点）弯曲正应力（同一点同一微面上的正应力代数相加）(10-1)上述横向载荷P构成的弯曲区别于平面弯曲，称斜弯曲。它有以下两个特点：⑴构件的轴线变形后不再是载荷作用平面内的平面曲线，而是一条空向曲线；⑵横截面内中性轴不再与载荷作用线垂直；或中性轴不再与弯矩矢量重合（如为实心构件）。如图10-2(e)所示，横截面上任意点m（y，z）的正应力为(10-2)根据中性轴定义，令\uf073=0，即得中性轴位置表达式当，；现为矩形（h>b），，则。形成斜弯曲，中性轴与M矢量不重合。当（如图10-2中为圆截面），，即载荷通过截面形心任意方向均形成平面弯曲，若圆截面直径为D，则有(10-3)§10-3中心拉伸或压缩与弯曲的组合以图10-3a所示偏心压缩问题为例1．求危险点应力可以用上述载荷处理法，将作用于点F（yp，zp）的偏心载荷P向构件轴线（或端面形心O）平移，得到相应于中心压缩和两个平面弯曲的外载荷。现直接用截面法（内力处理法）。如图10-3b所示，端面上偏心压缩力P在横截面上产生的内力分量为N=P，My=PZp，Mz=Pyp在该横截面上任意点m（y，z）的正应力为压应力和两个平面弯曲（分别绕y和z轴）正应力的叠加：(10-4)a点有最大压应力，b点有最大拉应力；(10-5)其中，。2．中性轴位置和截面核心让式（10-4）中，并定义截面惯性半径，。设中性轴上任意点坐标为yo，zo。则由式（10-4）得（10-6），这是一不通过形心O的中性轴方程（直线方程）。它在y轴和z轴上截距分别为，(10-7)对于混凝土、大理石等抗拉能力比抗压能力小得多的材料，设计时不希望偏心压缩在构件中产生拉应力。满足这一条件的压缩载荷的偏心距yp，zp应控制在横截面中一定范围内（使中性轴不会与截面相割，最多只能与截面周线相切或重合），由式（10-7）有，(10-8)横截面上存在的这一范围称为截面核心，它由式（10-8）的偏心距轨迹线围成。式中yot，zot现为横截面周边（轮廓线）上一点的坐标。例10-1短柱的截面为矩形，尺寸为（图10-4a）。试确定截面核心。解：对称轴y，z即为截面图形的形心主惯性轴，，。设中性轴与AB边重合，则它在坐标轴上截距为，于是偏心压力P的偏心距为，即图10-4a中的a点。同理若中性轴为BC边，相应为b点，b(0,)。余类推，由于中性轴方程为直线方程，最后可得图10-4a中矩形截面的截面核心为abcd（阴影线所示）。例10-2读者可证图10-4b所示半径为r的圆截面短柱，其截面核心为半径为的圆形。§10-4扭转与弯曲的组合1．圆截面杆件设图10-5a所示为圆截面杆横截面上分别作用有弯矩My，Mz和扭矩T。对圆截面，通过圆心（形心）的任意方向的轴均为对称轴，因而合力矩作用轴即中性轴，这时M作用下圆轴产生平面弯曲，分布如图a，在扭矩T作用下圆轴产生剪应力，τ分布如图b，分别为，（a）危险点应力状态如图c所示，主应力为，（b）对塑性材料，可选用第三和第四强度理论，考虑式（b）后（c）（d）对直径为d的圆截面，有，，考虑式（a）后式（c）与（d）分别有2．矩形截面杆设图10-6a和b所示为矩形截面上作用有弯矩My，Mz和扭矩T。对矩形截面（），My，Mz分别形成以y轴和z轴为中性轴的平面弯曲，弯曲正应力分布如图a所示。扭矩T在矩形截面上形成的扭转剪应力分布如图b所示。综合考虑弯曲正应力和扭转剪应力的分布情况，可以选出危险点a、b、c，其应力状态如图c所示。a点具有正应力最大值b点具有和，c点具有和，对塑性材料，a点的强度条件为对b，c点可选择第三或第四强度理论，如选第三强度理论，可比较和，较大者应满足例10-3齿轮轴AB如图10-7a所示。已知轴的转速n=265r/min，输入功率N=10kw，两齿轮节圆直径D1=396mm，D2=168mm，压力角，轴的直径d=50mm，材料为45号钢，许用应力。试校核轴的强度。解：（1）轴的外力分析：将啮合力分解为切向力与径向力，并向齿轮中心（轴线上）平移。考虑轴承约束力后得轴的受力图如图10-7b所示。由得由扭转力偶计算相应切向力，径向力，，轴上铅垂面内的作用力P1y、P2y，约束力YA，YB构成铅垂面内的平面弯曲，由平衡条件和可求得YA=1664N，NB=3300N由平衡条件校核所求约束力的正确性N，N轴上水平面内的作用力P1Z、P2Z，约束力ZA、ZB构成水平面内的平面弯曲，由平衡条件和，可求得，由平衡条件校核所求约束力的正确性N，N（2）作内力图：分别作轴的扭矩图T图（图10-7c），铅垂面内外力引起的轴的弯矩图Mz图，水平面外力引起的轴的弯矩图My图（图10-7d）3）作强度校核：由弯矩图及扭矩图确定可能危险面为C（右）面和D（左）面。比较可知D面更危险。对塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论作强度校核第三第四例10-4图10-8a所示曲轴的尺寸为r，，，。连杆轴颈直径d1=50mm，主轴颈直径d=60mm。曲柄截面III-III的尺寸为b=22mm，h=102mm。作用于曲轴上的力如图10-8b所示：连杆轴颈上的力P=32KN，F=17KN，曲柄惯性力C=3KN，平衡重惯性力C1=7KN。曲轴材料为碳钢，。试校核曲柄的强度。解：（1）求约束力和扭转力偶：由平衡条件可求得（见图10-8b）（2）连杆轴颈强度校核：危险面在中间截面I-I处。在xy和xz平面内分别有弯矩扭距为如果用第四强度理论校核（3）主轴颈的强度校核：危险面为主轴颈与曲轴联接处II-II截面。此处有内力分量；强度校核（4）曲柄的强度校核：危险面为切于主轴颈的曲柄横截面III-III截面（见图10-8c）。其内力分量分别有轴力N，扭转T，弯矩My、Mz，剪力Qz由于危险面为矩形截面，从与多内力分量相应的应力分布可知危险点为A，B点。A点为单向应力状态B点应力状态如图10-8d所示现计算扭矩T引起的B点剪应力（即最大扭转剪应力）。由，查表，利用插入法得。则剪力Qz引起剪应力采用第四强度理论，得§11-1概述1．变形功与变形能弹性杆受拉力P作用（图11-1），当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至而做功，称为变形功。（11-1）与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。单位体积储存的应变能称为应变比能（11-2）整个杆件的变形能为（11-3）如果略去拉伸过程中的动能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有U=W（11-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。2．应变余功与余能变形体受外力作用时的余功定义为其中P1是外力从零增加到的终值，仿照功与变形能相等的关系，将余功相应的能称为余能，用Uc表示。余功与余能相等，即可仿照前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能由此整个结构余应变能可写成应指出：余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。3．能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。4．本章内容本章只涉及能量原理在材料力学中常用的部分内容，如：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，可参考其它专著。§11-2杆件变形能计算杆件不同受力情况下的变形能。1．轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）拉、压杆应变比能则整个杆的变形能或（11-5）（11-6）其中，N是内力（轴力），A是截面面积，l是杆长。对于等截面杆，内力N=P=常数，用（11-1），线弹性范围内拉压杆的变形能而杆的伸长（或缩短），上式可改写成（11-7）2．纯剪，扭转线弹性杆件（图11-4）线弹性材料纯剪应力状态杆件的应变比能为或（11-8）扭转杆的变形能（11-9）其中，T（x）是截面上的扭矩（内力）。对于受扭转力偶矩m作用的等截面圆杆，如果杆件材料是线弹性的，则其扭转角为；扭转力偶矩m所作的功为。则由（11-1），扭转变形能为（11-10）3．线弹性梁弯曲弹性弯曲杆的应变比能；整个杆的变形能（11-11）=（11-12）其中，M（x）是梁截面的弯矩（内力矩）。对于弹性纯弯曲梁，其两端受弯曲力偶矩m作用，m由零开始逐渐增加到最终值，则两端截面的相对转角为θ，则弯曲力偶矩所做的功为（图11-5），则由（11-1）得杆的应变能11-13）对于纯弯曲梁常数，上式亦可由（11-8）得到。4．广义力与广义位移对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成（11-14）式中P在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯曲时代表弯曲力偶矩，P称为广义力，而与之相应的位移δ，称为广义位移，如拉伸时它是与P相应的线位移；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移；弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移θ。更一般地说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。5．非线性弹性材料的构件的变形功、变形能对于非线性弹性材料的构件（图11-1），（11-4）式仍成立，但力与位移关系，应力与应变关系应为由试验确定的曲线（图11-1），变形能与应变比能为，（11-15）例题11-1轴线为半圆形平面曲杆如图11-6，作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面，求P力作用点的垂直位移。解：杆的任一截面mn位置可用圆心角φ来表示，曲杆在P力作用下，mn截面上有弯矩与扭矩为对于截面尺寸远小于半径R的曲杆（常称小曲率曲杆），可按直杆计算其变形能，微段内的变形能是整个曲杆变形能可在杆上积分，即P做的功W为,根据（11-1）有,,由此得:，例题11-2图11-7简支梁中间受集中力P作用，试导出横力弯曲变形能U1和剪切变形能U2，以矩形截面梁为例比较这两变形能的大小。解：（1）变形能计算如图11-8所示，m-n截面上内力为M(x)、Q(x)，则有,。弯曲变形比能又可称应变比能u1，剪切变形比能u2分别为,∴，令，并令，则有：，。横力弯曲总应变能；对于矩形截面梁（图11-8）无量纲参数k为；对其它截面形状，同理可求得相应的k，例如圆形截面，圆管截面梁k=2。（2）两变形能的比较图11-7简支梁，则按上式，总应变能，两应变能之比，。矩形截面，，∴。取，当，以上比值为0.125；当，为0.0312。可见对细长梁，剪切应变能可以忽略不计，而短粗梁应予考虑。例题11-3梁的材料应力—应变关系为，试求梁的变形能U及变形余能Uc的表达式。解：（1）变形能U应变比能u为，∴。将关系，以及代入，则有：，其中。（2）变形余能Uc∴。将代入上式。（3）非线性应力—应变关系下，比较U与UC可见，变形能与余变形能不相等，因为它们按照定义是不同的，对线性弹性材料它们在数值上相等。§11-3变形能普遍表达式广义力P1，P2，…，Pn作用于物体（图11-9），且设按同一比例系数β从零增长到终值。相应地物体产生变形（广义位移）δ1，δ2，…，δn，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加，这时，外力对物体做功称为变形功，这一功以变形能储藏在物体内。如果外力在某一中间值βP1，βP2，…，βPn时，外力有一增量dβ，此时外力将在位移增量δ1dβ,δ2dβ，…，δndβ上做功为：外力从零到终值（即β从0到1）做的功可积分上式：=所以，物体的变形能为（11-16）对于杆件的组合变形，如图11-10，可取出微段dx来考察，截面上有弯矩M(x)，扭矩T(x)和轴力N(x)，它们可视为外力。设两截面轴向位移为，相对扭转角为，相对转角为，微段变形能（对线弹性材料）：其中，，。代入上式并积分，得组合变形杆件的变形能：（11-17）§11-4互等定理1．功互等定理对于线弹性体（此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构），第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，这就是功互等定理。为证明上述定理，考察如图11-11两组力P，Q作用于线弹性物体所做的功，第一组力有m个载荷P1，P2，…，Pm，第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Qn。第一组力P引起相应位移为，引起第二组力Q作用点及其方向的位移为。第二组力Q引起相应位移为，引起第一组力P作用点及其方向的位移为。若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m）单独作用，这组力引起其作用点沿该组力作用方向位移为(i=1,2,…,m)（称为相应位移，见图11-11（a）），其所做的功为：随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）（图11-11（b）），此时Qj在其相应位移上做功应为。与此同时，因为Pi力已存在，且已达到终值，其值不变为常力，Pi在Qj产生Pi作用点、Pi方向上的位移做功为故先加P后加Q时做功总和为：将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应位移上做功为：再加Pi(i=1,2,…,m)力，Pi在其相应位移做功为：同时物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作用点及方向的位移上做功为：对此加载顺序，两组力所做的总功为：由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故必有U1=U2，从而得功互等定理的表达式为：=（11-18）2．位移互等定理利用（11-18），并设两组力各只有一个力Pi、Qj作用于同一物体，则有：；若，则有。若将引起相应位移写成，将引起的相应于的位移写成，则上式又可写成常用的公式（11-19）。此式即为位移互等定理：Pi作用点沿Pi方向由于而引起的位移，等于作用点沿方向由于Pi引起的位移。上述互等定理中的力与位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应是转角位移，其推导不变。例题11-4装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图11-12，试用互等定理求解。解：解除支座B，把工件看成悬臂梁，将切削力P及顶针反力RB作为第一组力，设想在同一悬臂梁右端作用单位力X=1，作为第二组力。在X=1作用下悬臂梁上的P及RB作用点的相应位移分别为（图11-12（b））,第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为：第一组力作用下，其右端B实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零。由功互等定理有：，由此解得：。§11-5卡氏定理1．卡氏第一定理弹性杆件的应变能U()对于杆件上与某一载荷相应的位移（i=1,2,…,n）的变化率等于该载荷的值，即：（11-20）。以图11-13简支梁为例，其上作用有载荷P1，P2，…，Pn（广义力），其相应位移为δ1，δ2，…，δn（广义位移）。假定载荷Pi（i=1,2,…,n）同时作用，且由同一比例从零加载到终值Pi（i=1,2,…,n）。结构的变形能等于载荷作用期间所做的功，通过材料的载荷—位移关系，每个力Pi可表成为其相应位移的函数，通过积分求得的变形能是位移δ的函数，即如果此时某—位移有一增量，其余位移保持不变，则此时变形能的增量dU为:。当位移增大时，相应力Pi将做功，而其它任何力都不做功，因为其它的位移没有改变，∴，根据（11-1）故有：。卡氏第一定理还可通过虚位移原理导出，不受线弹性材料的限制，可用于非线性弹性材料杆件或结构。2．卡氏第二定理线弹性杆件或杆系的应变能U（）对于作用在该杆件或杆系上的某一载荷的变化率等于该载荷相应的位移，即：（11-21）弹性结构，在外力P1，P2，…，Pi，…作用下，其相应的位移为δ1，δ2，…，δi，…，结构的应变能是P1，P2，…，Pi，…的函数，即设诸力中只有Pi有一个增量，其余不变，则相应产生位移增量，，…，，…，此时功的增量，亦即应变能增量为（略去高阶小量）。。将原作用力P1，P2，…，Pi，…作为第一组力，把看作第二组力，则由功互等定理，得：。所以有：或；若趋近于零，则：。这就是卡氏第二定理表达式。对于横力弯曲，应变能用（11-12），用卡氏定理，有：对于桁架、拉、压杆，应用（11-6）（11-21a）（11-21b）例题11-5图11-14外伸梁抗弯刚度为EI，试求外伸端C的挠度fC和左端截面的转角θA。解：外伸端C作用有集中力P，截面A作用有集中力偶矩m，根据卡氏第二定理有：。弯矩应分段表达：AB段：；；。BC段：，，则：这里fC与θA皆为正号，表示它们的方向分别与P和m作用方向相同，而如果是负号，则表示与之方向相反。用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷，如果计算某处位移，而该处没有与此位移相应的载荷，则可采用附加力法（见例11-6）。例题11-6线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力（图11-15），若P、l、EI已知，试求：1）加力点A的位移δA；2）非加力点B的位移δB。解：（1）求加力点A的位移，用卡氏第二定理：，，代入上式得：。（2）求非加力点B的位移时，可在B点附加力,仍用，有附加力后弯矩为：AB段：，；BC段：，。∴因为实际上B处并无力作用，故应令上式中的才是实际情况下B处位移，故由以上计算可见，在加附加力计算非加力点位移时，只要在计算时考虑附加力，而在M(x)中，可令，则积分计算可以简化。§11-6虚功原理虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的“虚”字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。虚功原理又称虚位移原理：如果给在载荷系作用下处于平衡的可变形结构以微小虚位移，则外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功，即：（11-22a）。虚功原理可以用梁的例子给出其表达式和原理的证明：图11-16，11-17（a）梁受外力P1，P2，…，Pn及分布载荷q(x)作用而处于平衡。在给此梁任一虚位移时，所有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位移，，…，，，于是外力在相应虚位移上的总虚功为：另一方面，梁内力对于虚位移所做的虚功，可从梁中取出任一微段dx（图11-17（b））来研究，微段左、右截面上内力有：剪力Q、Q+dQ，弯矩M、M+dM，轴力N、N+dN，扭矩T、T+dT，对微段，这些力可看作是外力。微段的虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移，在载荷作用下梁所有微段都会发生变形，所研究微段因其余各微段变形而发生虚位移，就是此微段的刚体虚位移，而由于该微段本身变形所引起的虚位移称为变形虚位移。由于微段处于平衡状态，由质点系虚位移原理知，所有外力对于该微段的刚体虚位移所做的总虚功必等于零。而该微段的变形虚位移为图11-17（c）、（d）、（e）、（f）所示，此时轴力、弯矩、剪力、扭矩在变形虚位移上所做的虚功为（略去高阶小量）：根据能量守恒，这两个总虚功相等，故有：（11-22b）在导出虚功原理时，并没有涉及应力—应变关系，因此与材料性质无关，故这一原理可用于线性弹性材料，也可用于非线性应力—应变关系的材料。§11-7单位载荷法莫尔积分单位载荷法：用于求结构上某一点某方向上位移的方法。如要求图11-18刚架A点a-a方向的位移△，可将该系统（图11-18a）真实位移作为虚位移，而将单位力（广义力）作用于同一结构上A点a-a方向的结构作为一个平衡力系（图11-18b）,则应用虚功原理有：（11-23）其中，，，是单位力系统的内力，而d(△l)，dθ、dλ是原系统的变形，现在被看作是虚变形；△是原系统上A点沿a-a方向的真实位移。对于以拉压杆件，则只保留（11-23）式的第一项：（11-24）若杆的内力=常数，则上式改为：对于有n根杆组成的桁架，则有：对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有：（11-25）（11-26）仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角△，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭矩，以原结构引起微段两端截面相对扭转角为虚位移，则：（11-27）以上诸式中。如求出的△为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。若结构材料是线弹性的，则有：；。则式（11-25）、（11-26）、（11-27）分别化为（11-28）；（11-29）；（11-30）这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时，如图11-19a所示截面A与B的相对位移△A+△B，则只要在A，B两点的联线方向上加一对方向相反的单位力（图11-19b），然后用单位载荷法计算，即可求得相对位移，因为这时的，即是A，B两点的相对位移。同理，如需要求两截面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上C点在载荷P1，P2，…作用下的位移△（图11-20a），可在C点假想先只有单位力P0=1作用（图11-20b），由应变能公式（11-12）（对线弹性材料）得P0作用的应变能：（11-31）此后将P1，P2，…作用于梁（图11-20c），由于P1，P2，…作用的变形能为。这时，梁的总变形能为：其中是因为已作用在梁上的单位力在P1，P2，…作用后引起的位移△上所做的功。如果将P1，P2，…与P0=1共同作用（图11-20c），则梁内弯矩为，此时应变能为：此两最后状态的应变能相等，故有：比较以上诸式，不难得到：（11-32）此即（11-28）。例题11-8图11-21简单桁架，两杆截面积为A，材料应力—应变关系为：。试求结点B的垂直位移△V。解：由结点B的平衡条件可解得BD杆的应力、应变及伸长分别为：,,同样可求得BE杆的应力，应变及伸长分别为：,,设B点作用有单位力，则与单位力相应的BD、BE内的轴力分别为：，由单位载荷法莫尔积分，得B点的垂直位移为：若材料是线弹性的，弹性模量为E，则有：,,,,而单位载荷引起的内力不变，故得：。§11-8计算莫尔积分的图乘法莫尔积分（11-28）中的EI（或GIρ）为常量，可提到积分号外，只需计算积分：,如有一个是x的线性函数，即可采用图乘法简化积分计算。图11-22表示直杆AB的图与图，其中可用直线式表达：则莫尔积分可写成：右边积分中，M(x)dx为微面积，整个积分为M(x)所围面积ω对y轴的静矩，若xc为M(x)面积的形心到y轴的距离，则：，于是：（11-33）其中是图中与图的形心C所对应的纵坐标，故（11-32）可写成（11-34）这就是计算莫尔积分的图乘法。常用的几种图形的面积及形心位置计算公式见图11-23。使用（11-34）时，为了计算方便，可将弯矩分解成几部分，对每一部分使用如图11-23的标准图形叠加求和。有时M(x)为连续光滑曲线，而图为折线，则应以折线的转折点为界，将积分分成几段，逐段使用图乘法，然后求和。例题11-9均布载荷作用下简支梁如图11-24，EI为已知常量，试求跨度中点C的挠度fc。解：简支梁受均布载荷作用弯矩图为二次抛物线（图b），求中点挠度时，单位载荷作用于中点，故单位载荷的弯矩图为一折线（图d）。用图乘法时应分为两段，以折点为界。AC、CB两段弯矩图的面积ω1、ω2为：ω1、ω2的形心c1、c2所对应的图的纵坐标为：按图乘法，跨中挠度为：。§12-1静不定结构概述1．定义用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。2．静定、静不定结构（系统）无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部支承反力与内力都可由静力平衡条件求得，此系统称为静定结构或系统。静定结构除了变形外，没有可运动的自由度（图12-1（a、b））如解除简支梁的右端铰支座，或解除悬臂梁固端对转动约束，使之成为铰支座，则此时的梁变成了图12.1（c）的可动机构，是几何可变系不能承受横向载荷。在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系，称为多余约束，并因而产生多余约束反力，则这样的有多余约束的系统，仅利用静力平衡条件无法求得其反力和内力，称为静不定（或超静定）系统，如图12-2。外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构（图12-2b，d）内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构（图12-2a，c）。对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。3．静不定次数的确定1）根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定结构的静不定次数。2）外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为静不定次数。如图12-3（b），外载荷为平面力系，则为三次外静不定静，而图12-3（c）为空间力系，则为六次外静不定。3）内静不定次数确定桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图12-4a）。图12-4（b）仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而（c）由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为刚架（图12-5）。对于闭口框架，则需用截面法切开一个切口使其变为静定结构（几何不变可承载结构），其截面上作为平面受力结构（图12-5（a）），出现三个内力（轴力,弯矩，剪力），为三次静不定，而对于空间受力结构（图12-5（b））则为6次静不定。对于大型结构，若为平面问题，则每增加一个闭合框架，结构超静定次数数便增加3次，而一个平面受力闭合圆环与之类似，也是三次静不定。4）混合静不定次数确定先判断外静不定次数，后判断内静不定次数，二者之和为结构静不定次数。4．基本静定系（静定基），相当系统解除静不定结构的某些约束后得到静定结构，称为原静不定结构的基本静定系（简称静定基）。静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。§12-2用力法解静不定结构1．力法与位移法力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。位移法：以结点位移作为基本未知量，将力通过本构关系表示成位移的函数。通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称为位移法，又叫刚度法。本文以力法为主，不涉及位移法。2．力法的基本思路：以一例说明例12-1图12-6（a）是车削工件安有尾顶针的简化模型。这是一次静不定，解除B端约束成悬臂梁（静定基，亦可解除左端转动约束，简化为简支梁），加上多余约束支座反力为及外载荷成相当系统（图12-6（b））。现求解相当系统中的未知多余约束反力：在，作用下，悬臂梁的B端位移为。其中是由于C处作用有外载引起的B点在方向的位移（图（c）），而是支反力引起的B点在方向的位移（图（d））。因原系统B端是铰支座，在方向上不应有位移，与原系统比较知相当系统的B点的位移应为零，故（12-1）。这就是协调方程，即得到一个补充方程（补充独立平衡方程不足）在计算时，可在静定基上沿方向作用单位力（图12-6（e）），B点沿方向单位力引起的位移为，对线弹性结构应有：。代入（12-1）有：（12-2）与可用莫尔积分或其他方法求得：，，由协调方程（12-2）可解得：。求得后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解即原系统的解3．n次静不定的正则方程可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余约束力为，它们将引起作用点的相应的位移为，而原系统由于与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有(12-3)根据位移互等定理有：（12-4）称为柔度系数，是引起的作用点方向上的位移；是外载荷引起的处的相应位移。（12-3）称为静不定力法正则方程，它们是对应于n个多余未知力的变形协调条件，是求解静不定问题的补充方程。例12-2图12-7（a）所示为一静不定刚架，设两杆相同。解：为三次静不定结构，解除B端约束，代之以多余约束反力，，，图（b）为相当系统，按式（12-3），、均可用莫尔定理计算，即有：；；；；；；将以上值代入（12-3），整理后得：；；解此联立方程，求出，，。式中负号表示与所设方向相反，应向下。求出多余约束力，即求出了支座B的支反力，进一步即可作出内力图。§12-3对称及反对称性质的利用1．对称结构的对称变形与反对称变形结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构（图12-8a）。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形（图12-8b）。如外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形（图12-8c）。正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上（图12-8b），反对称内力等于零或已知；反对称变形（图12-8c）反对称截面上，对称内力为零或已知。2．对称变形以图12-9（a）对称变形为例，切开结构对称截面，此为三次超静定，应有三个多余未知力，即轴力，弯矩与剪力。可证明其反对称内力应为零，正则方程为：（a）；（b）（c）用图乘法计算及时，所要用的载荷弯矩图以及，，时的弯矩图分别见图12-9、（c）、（d）、（e）、（f），其中，，均对称于对称轴，而反对称于对称轴。由莫尔积分知对称函数与反对称函数相乘在区间积分应为零，即有：，，将此结果代入（c），则必有。3．反对称变形以图12-8（c）为例，在对称面切开后，其多余未知力也是，与，同上类似证明，其对称内力与应等于零，只需一个协调方程，即可解出，即有：，而正则方程为：（a）；（b）；（c）由（a）、（b）得，由（c）得。4．对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化为对称和反对称两种情况的叠加，如图12-10，12-11。例12-3半径为的圆环，直径CD方向受一对力（图12-12a）,求圆环内弯矩。解：（1）超静定次数：封闭圆环为三次超静定。在A处截开，则有三个多余未知力，弯矩，轴力，剪力（图12-12b）。（2）对称性：直径AB为一对称轴，对称截面A上剪力应为零，对称截面B上弯矩和轴力与截面A上相等。由竖直方向力的平衡可得。故只有弯矩未知（图c）。（3）选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图（c），则协调条件应是A或B截面在及弯矩作用下转角应为零（由对称性可知），所以有（a）。（4），计算静定基上施加外力P如图（d）及单位力偶如图（e），用莫尔法求与。单位力偶引起弯矩：，外力引起弯矩：，根据对称性，可只取1/4圆环进行计算，故有；（5）求未知力：由（a）式：，得：。（6）圆环内弯矩为：§12-4连续梁及三弯矩方程1．连续梁及其静不定次数为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座（图12-13（a）），在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。2．三弯矩方程连续梁是静不定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想将每个中间支座上的梁切开（图12-13（b）），并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基，这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩，，...，，作为多余约束力（图12-13（b）），则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其相应的位移是两侧截面的相对转角。于是多余约束处的变形协调条件是梁中间支座处两侧截面的相对转角为零。如对中间任一支座来说，其变形协调条件为（图12-14（a））（12-5）方程（12-5）中只涉及三个未知量，，。，，及可用莫尔积分来求：（1）求：静定基上只作用外载荷时（图12-14（b）），跨度上弯矩图为，跨度上弯矩图为（图12-14（c））。当时（图12-14（e）），跨度和内弯矩分别为，。由莫尔积分得：式中是外载单独作用下，跨度内弯矩图的微面积（图12-14（c）），而是弯矩图面积对左侧的静矩，如以表示跨度内弯矩图面积的形心到左端的距离，则。同理表示外载荷单独作用下，跨度内弯矩图面积的形心到右端的距离，则。于是有：。式中第一项可看作是跨度右端按逆时针方向的转角，第二项看作跨度按顺时针方向的转角。两项和就是铰链两侧截面在外载荷单独作用下的相对转角。（2），，的计算当支座铰链处作用有时，其弯矩图如图12-14（e），用莫尔积分有：而，也可类似求得（利用图（d）与（e）以及（f）与（e）），（3）三弯矩方程将，，，代入（12-5）得三弯矩方程：（12-6）其中代表任一支座，如，则可得到个方程联立，解个中间支座多余力，，....,，此个联立方程中每个方程只涉及三个多余力，求解比较方便。例12-4左端为固定端，右端为自由端的连续梁受力作用如图12-15所示，其抗弯刚度为，试用三弯矩方程求解B、C、D处的弯矩。解：为能应用三弯矩方程，将固定端视为跨度为无限小（）的简支梁AB，而外伸端的载荷可向支座D简化，得一力与弯矩，原结构（图12-15（a））变化为图12-15（b）。将A、B、C、D四处支座处分别用0、1、2、3表示，则对1、2两支座应用三弯矩方程（12-6），并用：，，，代入得：；则解得：，，。§13-1引言1．动载荷的概念前面各章讨论的都是构件在静载荷作用下的应力、应变及位移计算。静载荷是指构件上的载荷从零开始平稳地增加到最终值。因加载缓慢，加载过程中构件上各点的加速度很小，可认为构件始终处于平衡状态，加速度影响可略去不计。动载荷是指随时间作明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。一般可用构件中材料质点的应力速率（）来表示载荷施加于构件的速度。实验表明，只要应力在比例极限之内，应变与应力关系仍服从胡克定律，因而，通常也用应变速率（）来表示载荷随时间变化的速度。一般认为标准静荷的，随着动载荷的增加，它对材料力学性能的影响越趋明显。对金属材料，静荷范围约在，如果，即认为是动载荷。2．三类动载荷问题：根据加载的速度与性质，有三类动荷问题。一般加速度运动（包括线加速与角加速）构件问题，此时还不会引起材料力学性能的改变，该类问题的处理方法是动静法。冲击问题，构件受剧烈变化的冲击载荷作用。大约在，它将引起材料力学性能的很大变化，由于问题的复杂性，工程上采用能量法进行简化分析计算。振动与疲劳问题，构件内各材料质点的应力作用周期性变化。由于构件的疲劳问题涉及材料力学性能的改变和工程上的重要性，一般振动问题不作重点介绍，而将专章介绍疲劳问题。§13-2构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算1．动应力分析中的动静法加速度为a的质点，惯性力为其质量m与a的乘积，方向与相反。达朗贝尔原理指出，对作加速度运动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系。这样，可把动力学问题在形式上作为静力学问题处理，这就是动静法。2．等加速运动构件中的动应力分析下面举例说明动静法在动应力分析中的应用。例13-1一钢索起吊重物如图13-1，以等加速度a提升。重物的重力为P，钢索的横截面积为A，钢索的重量与P相比甚小而可略去不计。试求钢索横截面上的动应力。解：钢索除受重力P作用外，还受动载荷（惯性力）作用。根据动静法，将惯性力加在重物上，这样，可按静载荷问题求钢索横截面上的轴力。由静力平衡方程：，解得：从而可求得钢索横截面上的动应力为：，其中：。是作为静载荷作用时钢索横截面上的应力，。是动荷系数。对于有动载荷作用的构件，常用动系数来反映动载荷的效应。此时钢索的强度条件为：，其中为构件静载下的许用应力。3．等角速转动构件内的动应力分析再以匀速旋转圆环为例说明动静法的应用。例13-2图13-2中一平均直径为，壁厚为t的薄壁圆环，绕通过其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。已知环的角速度，环的横截面积A和材料的容重，求此环横截面上的正应力。解：因圆环等速转动，故环内各点只有向心加速度。又因为，故可认为环内各点的向心加速度大小相等，都等于：。沿环轴线均匀分布的惯性力集度就是沿轴线单位长度上的惯性力，即：，上述分布惯性力构成全环上的平衡力系。用截面平衡法可求得圆环横截面上的内力。的计算，可利用积分的方法求得方向惯性力的合力。亦可等价地将视为“内压”得：，求得：。于是横截面上的正应力为：，其中：。v是圆环轴线上点的线速度。由的表达式可知，与圆环横截面积A无关。故要保证圆环的强度，只能限制圆环的转速，增大横截面积A并不能提高圆环的强度。§13-3构件受冲击载荷作用时的动应力计算1．工程中的冲击问题：锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的和。2．求解冲击问题的能量法：冲击问题极其复杂，难以精确求解。工程中常采用一种较为简略但偏于安全的估算方法——能量法，来近似估算构件内的冲击载荷和冲击应力。在冲击应力估算中作如下基本假定：①不计冲击物的变形；②冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统；③构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力瞬时传遍整个构件；④材料服从虎克定律；⑤冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。在以上假设下，即可利用机械能守恒定律估算冲击应力。3．杆件受冲击时的应力和变形分析计算模型任一被冲击物（弹性杆件或结构）都可简化成右图所示的弹簧（如图13-3）。冲击过程中，设重量为Q的冲击物一经与弹簧接触就互相附着共同运动。如省略弹簧的质量，只考虑其弹性，可简化成单自由度的运动体系。冲击物与弹簧接触瞬间的动能为；弹簧达到最低位置时体系的速度变为零，弹簧的变形为，冲击物Q的势能变化为：（a）若以表示弹簧的变形能，由能量守恒定律，冲击系统的动能和势能全部转化成弹簧的变形能：（b）设体系速度为零时冲击物作用在弹簧上的冲击载荷为。材料服从虎克定律条件下，与成正比。故冲击过程中动载荷所做的功为，且有：（c）若重物以静载方式作用于构件上，构件的静变形和静应力分别为和。在动载荷作用下，相应的冲击变形和冲击应力分别为和。对于线弹性材料，有比例关系：（d）或（e）将（e）中的代入（c）:（f）；将（a）,（f）代入（b）,有：解得：（g），引入冲击动荷系数：（h）于是有：（i）对上述结果讨论如下：1）以乘以构件的静载荷、静变形和静应力，就得到冲击时相应构件的冲击载荷，最大冲击变形和冲击应力。2），且时，“=”号成立，这表明即使冲击物初始速度为零，但只要是突然加于构件上的载荷，都性质也是动载荷，此时构件内的应力和变形分别为静载时的两倍。3）如果增大，则减小，其含义是，构件越柔软（刚性越小），缓冲作用越强。4）如果冲击是由重物从高度处自由下落造成的，如图13-4，则冲击开始时，的动能：（j），将（j）代入（h），有：（k）。（5）对水平放置系统（如图13-5），冲击物的势能，动能，于是由（b），（f）得：解得：（l），其中由此求得：；。§14-1引言1．交变应力：构件内随时间作周期性变化的应力，称交变应力。2．疲劳与疲劳失效：结构的构件或机械、仪表的零部件在交变应力作用下发生的破坏现象，称为疲劳失效，简称疲劳。3．构件承受交变应力的例子：a．齿轮啮合时齿根点的弯曲正应力随时间作周期性变化。如图14-1。b．火车轮轴横截面边缘上点的弯曲正应力随时间作周期性变化，如图14-2。c．电机转子偏心惯性力引起强迫振动梁上的危险点正应力随时间作周期性变化。如图14-3。4．疲劳失效的特点与原因简述构件在交变应力作用下失效时，具有如下特征：1）破坏时的名义应力值往往低于材料在静载作用下的屈服应力；2）构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应力循环；3）构件在破坏前没有明显的塑性变形预兆，即使韧性材料，也将呈现“突然”的脆性断裂；4）金属材料的疲劳断裂断口上，有明显的光滑区域与颗粒区域。如图14-4。疲劳失效的机理：交变应力引起金属原子晶格的位错运动→位错运动聚集，形成分散的微裂纹→微裂纹沿结晶学方向扩展（大致沿最大剪应力方向形成滑移带）、贯通形成宏观裂纹→宏观裂纹沿垂直于最大拉应力方向扩展，宏观裂纹的两个侧面在交变载荷作用下，反复挤压、分开，形成断口的光滑区→突然断裂，形成断口的颗粒状粗糙区。§14-2恒幅交变应力的描写交变应力有恒幅与变幅之分，现考察按正弦曲线变化的恒幅交变应力与时间的关系，如图14-5。1．应力循环：图中应力大小由到经历了一个全过程变化又回到原来的数值，称为一个应力循环。完成一个应力循环所需的时间，称为一个周期。2．循环特征或应力比：一个应力循环中最小应力与最大应力的比值：，称为交变应力的循环特征或应力比。3．平均应力：与的代数平均值，即，称为平均应力。4．应力幅：最大应力与最小应力之差的一半，即，不随时间变化的交变应力称恒幅交变应力，否则称变幅交变应力。5．对称循环：如果与大小相等、符号相反，此时的应力循环称为对称循环。对称循环有如下特点：6．脉动循环：若应力循环中（或），表示交变应力变动于某一应力与零之间，这种情况称为脉动循环，这时有：或：7．交变应力的特例——静应力：这时应力并无变化，有：。8．持久极限：标准试件经过无穷多次应力循环而不发生破坏时的最大应力值，称为该材料的持久极限。持久极限也称疲劳极限。9．条件持久极限：规定标准试件在一定循环次数下不破坏时的最大应力，称为条件持久极限（或名义持久极限）。10．应力寿命曲线：表示一定循环特征下标准试件的疲劳强度与疲劳寿命之间关系的曲线，称应力寿命曲线，也称S—N曲线。曲线是通过专用疲劳试验机，用若干光滑小尺寸专用标准试件测试而得，如图14-6。试件分为若干组，各组承受不同的应力水平，使最大应力值由高到底，让每组试件经历应力循环，直至破坏。记录每根试件中的最大应力（名义应力，即疲劳强度）及发生破坏时的应力循环次数（又称寿命），即可得S—N应力寿命曲线。§15-1压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c）。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。受压直杆同样存在类似的平衡性质问题。例如，图15-3a所示下端固定、上端自由的中心受压直杆，当压力小于某一临界值时，杆件的直线平衡形式是稳定的。此时，杆件若受到某种微小干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回到原来的直线平衡位置（图15-3c）。但当压力超过临界值时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置而在弯曲形式下保持平衡（图15-3d），这表明原有的直线平衡形式是不稳定的。使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用表示。为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。可见，临界力的确定是非常重要的。本章主要讨论中心受压直杆的稳定问题。研究确定压杆临界力的方法，压杆的稳定计算和提高压杆承载能力的措施。§15-2细长压杆的临界力根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度，杆件长度和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。确定临界力的方法有静力法、能量法等。本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。1．两端铰支压杆的临界力两端铰支中心受压的直杆如图15-4a所示。设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图15-4b所示。建立坐标系，任意截面（）处的内力（图15-4c）为：，在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程，得到：。令，得微分方程：（a），此方程的通解为：。利用杆端的约束条件，，得，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：（b）。利用约束条件，，得：。这有两种可能：一是，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符；二是π，１、２、３……。由此得出相应于临界状态的临界力表达式：。实际工程中有意义的是最小的临界力值，即时的值：（15-1）此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。因此，相应的也称为欧拉临界力。此式表明，与抗弯刚度（）成正比，与杆长的平方（）成反比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（15-1）中的应为截面最小的形心主轴惯性矩。将代入式（）得压杆的挠度方程为：（c），在处，有最大挠度。在上述分析中，的值不能确定，其与的关系曲线如图15-5中的水平线所示，这是由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的；如采用挠曲线的精确微分方程，则得曲线如图15-5中ＡＣ所示。这种曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的稳定性及失稳后的特性。可以看出，当<时，压杆只有一条平衡路径ＯＡ，它对应着直线平衡形式。当时，其平衡路径出现两个分支（AＢ和AＣ），其中一个分支（AＢ）对应着直线平衡形式，另一个分支（AＣ）对应着弯曲平衡形式。前者是不稳定的，后者是稳定的。如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将达到ＡＣ路径上同一值的点，处于弯曲平衡形式，而且该位置的平衡是稳定的。平衡路径出现分支处的值即为临界力，故这种失稳称为分支点失稳。分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图15-5中的ＯＦＧＨ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。当压力<，处于路径ＯＦＧ段上的任一点，如施加使其弯曲变形微增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。而下降路径ＧＨ段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能维持平衡而被压溃。压力称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力小，且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近。因的计算比较简单，它对非理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。2．其他约束情况压杆的临界力用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下：1）一端固定、一端自由的压杆（图15-6a）2）两端固定的压杆（图15-6b）3）一端固定、一端铰支的压杆（图15-6c）综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为：（15-2）式中，称为相当长度。称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响：两端铰支；一端固定、一端自由；两端固定；一端固定、一端铰支。由此可知，杆端的约束愈强，则值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则值愈大，压杆的临界力愈低。事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆，如果将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求出它们的临界力。从15-6中挠曲线形状可以看出：长为的一端固定、另端自由的压杆，与长为的两端铰支压杆相当；长为的两端固定压杆（其挠曲线上有Ａ、Ｂ两个拐点，该处弯矩为零），与长为0.5l的两端铰支压杆相当；长为的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为的两端铰支压杆相当。需要指出的是，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定问题。另外，上述各种值都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，值一般在0.5与1之间，通常将值取接近于1。对于工程中常用的支座情况，长度系数可从有关设计手册或规范中查到。§15-3压杆的临界应力如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用表示。压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：（15-3），式中称为柔度，为截面的惯性半径，即：，（15-4）式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。柔度又称为压杆的长细比。它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。柔度在稳定计算中是个非常重要的量，根据所处的范围，可以把压杆分为三类：（一）细长杆（）当临界应力小于或等于材料的比例极限时，即：，压杆发生弹性失稳。若令：（15-5）。则时，压杆发生弹性失稳。这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，因弹性模量Ｅ和比例极限各不相同，的数值亦不相同。例如A3钢，，，用式（15-5）可算得。（二）中长杆（）这类杆又称中柔度杆。这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：（15-6）式中a、b为与材料性能有关的常数。当时，其相应的柔度为中长杆柔度的下限，据式（15-6）不难求得：。例如Ａ3钢，，，，代入上式算得。（三）粗短杆（）这类杆又称为小柔度杆。这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。故：。上述三类压杆临界应力与的关系，可画出曲线如图15-7所示。该图称为压杆的临界应力图。需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如抛物线公式（和也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。表15-1常用材料的a、b和值材料A3钢3041.12102优质碳钢4612.56895铸铁332.21.45470木材28.70.19080§15-4压杆的稳定计算工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算。1．安全系数法为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为：（15-7）式中为压杆的工作载荷，是压杆的临界载荷，是稳定安全系数。由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。值一般比强度安全系数要大些并且越大，值也越大。具体取值可从有关设计手册中查到。在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况复杂，一般都采用安全系数法进行稳定计算。2．稳定系数法压杆的稳定条件有时用应力的形式表达为（15-8）式中的为压杆的工作载荷，为横截面面积，为稳定许用应力。，它总是小于强度许用应力。于是式（15-8）又可表达为：（15-9），其中称为稳定系数，它由下式确定：式中为强度计算中的危险应力，由临界应力图（图15-7）可看出，，且，故为小于1的系数，也是柔度的函数。表9.2所列为几种常用工程材料的对应数值。对于柔度为表中两相邻值之间的，可由直线内插法求得。由于考虑了杆件的初曲率和载荷偏心的影响，即使对于粗短杆，仍应在许用应力中考虑稳定系数。在土建工程中，一般按稳定系数法进行稳定计算。还应指出，在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被削弱的情况，如杆上有开孔、切糟等。由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整体变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面几何量。但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核，即：（15-10），式中的是横截面的净面积。表15-2压杆的稳定系数3号钢钢铸铁木材010]201.0000.9950.9811.0000.9930.9731.000.970.911.000.990.9730400.9580.9270.9400.8950.810.690.930.8750600.8880.8420.8400.7760.570.440.800.7170800.7890.7310.7050.6270.340.260.600.48901000.6690.6040.5460.4620.200.160.380.311101200.5360.4660.3840.3250.260.221301400.4010.3490.2790.2420.180.161501600.3060.2720.2130.1880.140.121701800.2430.2180.1680.1510.110.101902000.1970.1800.1360.1240.090.08?5-5提高压杆承载能力的措施压杆的稳定性取决于临界载荷的大小。由临界应力图可知，当柔度减小时，则临界应力提高，而，所以提高压杆承载能力的措施主要是尽量减小压杆的长度，选用合理的截面形状，增加支承的刚性以及合理选用材料。现分述如下：1．减小压杆的长度减小压杆的长度，可使降低，从而提高了压杆的临界载荷。工程中，为了减小柱子的长度，通常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他构件连接在一起后，对柱子形成支点，限制了柱子的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆，若在柱子中设置一个支点，则长度减小一半，而承载能力可增加到原来的4倍。2．选择合理的截面形状压杆的承载能力取决于最小的惯性矩I，当压杆各个方向的约束条件相同时，使截面对两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等，是压杆合理截面的基本原则。因此，薄壁圆管（图15-8a）、正方形薄壁箱形截面（图15-8b）是理想截面，它们各个方向的惯性矩相同，且惯性矩比同等面积的实心杆大得多。但这种薄壁杆的壁厚不能过薄，否则会出现局部失稳现象。对于型钢截面（工字钢、槽钢、角钢等），由于它们的两个形心主轴惯性矩相差较大，为了提高这类型钢截面压杆的承载能力，工程实际中常用几个型钢，通过缀板组成一个组合截面，如图（15-8c、d）所示。并选用合适的距离a，使，这样可大大的提高压杆的承载能力。但设计这种组合截面杆时，应注意控制两缀板之间的长度，以保证单个型钢的局部稳定性。3．增加支承的刚性对于大柔度的细长杆，一端铰支另一端固定压杆的临界载荷比两端铰支的大一倍。因此，杆端越不易转动，杆端的刚性越大，长度系数就越小，图15-9所示压杆，若增大杆右端止推轴承的长度a，就加强了约束的刚性。4．合理选用材料对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E成正比。因此钢压杆比铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷高。但各种钢材的E基本相同，所以对大柔度杆选用优质钢材比低碳钢并无多大差别。对中柔度杆，由临界应力图可以看到，材料的屈服极限和比例极限越高，则临界应力就越大。这时选用优质钢材会提高压杆的承载能力。至于小柔度杆，本来就是强度问题，优质钢材的强度高，其承载能力的提高是显然的。最后尚需指出，对于压杆，除了可以采取上述几方面的措施以提高其承载能力外，在可能的条件下，还可以从结构方面采取相应的措施。例如，将结构中的压杆转换成拉杆，这样，就可以从根本上避免失稳问题，以图15-10所示的托架为例，在不影响结构使用的条件下，若图a所示结构改换成图b所示结构，则AB杆由承受压力变为承受拉力，从而避免了压杆的失稳问题。平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。§Ⅰ-1静矩和形心静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。定义式：，（Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。则：由此可得薄板重心的坐标为：，同理有：。所以形心坐标，（Ⅰ-2）或，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第I块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为：，（Ⅰ-3）：，（Ⅰ-4）例Ⅰ-1求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置解：由对称性，，。现取平行于轴的狭长条作为微面积所以，；（读者自己也可用极坐标求解。）例Ⅰ-2确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。解：将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形Ⅰ：mm2，mm，mm矩形Ⅱ：mm2，mm，mm整个图形形心的坐标为；§Ⅰ-2惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。，（Ⅰ-5）量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义：，（Ⅰ-6）为图形对轴和对轴的惯性半径。组合图形的惯性矩。设为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为：，（Ⅰ-7）若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩：（Ⅰ-8）因为：所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系：（Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。]下式（Ⅰ-10）定义为图形对一对正交轴、轴的惯性积。量纲是长度的四次方。可能为正，为负或为零。若y，z轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。例Ⅰ-3求如图Ⅰ-5所示圆形截面的。解：如图所示取dA，根据定义，由于轴对称性，则有（I-10a），。由公式（Ⅰ-9）（I-10b）对于空心圆截面，外径为，内径为，则：（Ⅰ-12a）；（I-12b）例Ⅰ-4求如图Ⅰ-6所示图形的及。解：取平行于轴的狭长矩形，由于，其中宽度随变化，则：由，如图。§Ⅰ-3平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴时，如图Ⅰ-7所示，可得到如下平行移轴公式（Ⅰ-13）简单证明之：其中为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得：，同理可证（I-13）中的其它两式。结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意a,b的正负号。例Ⅰ-5由两个8号槽钢和两块cm2钢板组成的截面，如图Ⅰ-8，求，。解：（1）计算根据平行移轴公式，求得每一钢板对轴的惯性矩为：cm4从型钢表中查得每一槽钢对轴的惯性矩为：cm4则该组合截面对轴的惯性矩为：cm4（2）计算每一钢板对轴的惯性矩为:cm4从型钢表中查得，每一槽钢的形心到外侧边缘的距离为1.43cm，则该形心与轴的距离为cm。又从型钢表中查得槽钢对其形心轴z的惯性矩及面积A分别为cm4，cm2。故由平行轴公式得每一槽钢对轴的惯性矩为cm4最终可得到整个组合截面对轴的惯性矩为cm4§Ⅰ-4转轴公式主惯性轴任意平面图形（如图Ⅰ-9）对轴和轴的惯性矩和惯性积，可由式（Ⅰ-5）—（Ⅰ-9）求得，若将坐标轴y,z绕坐标原点点旋转角，且以逆时针转角为正，则新旧坐标轴之间应有如下关系将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式，则可得相应量的新、旧转换关系，即转轴公式；；（Ⅰ-14）（Ⅰ-15）若令是惯性矩为极值时的方位角，则由条件，可得：（Ⅰ-16）由式（Ⅰ-16）可以求出和以确定一对主惯性轴和。由（I-16）式求出sin2,cos2后代回式（I-14）与（I-15）即可得到惯性矩得两个极值，称主惯性轴。主惯性矩的计算公式：；而此时惯性积。因此也不可以说：图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴称为主（惯性）轴。由（I-14）式尚可证明：（I-18）即通过同一坐标原点的任意一对直角坐标轴的惯性矩之和为一常量，因而两个主惯性矩中必然一个为极大值，另一个为极小值。若主惯性轴通过形心，则称形心主惯性轴，相互主惯性矩称形心主惯性矩。例Ⅰ-6确定图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩(如图I-10)。解：（1）首先确定图形的形心。利用平行移轴公式分别求出各矩形对轴和轴的惯性矩和惯性积矩形I矩形Ⅱ：cm4；cm4；矩形Ⅲ：cm4；cm4；（Ya,b与分图形I均反号）整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为cm4；cm4（2）将求得的，，代入式（Ⅰ-16）得则：或的两个值分别确定了形心主惯性轴和的位置，则cm4；cm4桁架是平面结构中受力最合理的形式之一。桁架桥是桥梁的一种形式。桁架桥一般多见于铁路和高速公路；分为上弦受力和下弦受力两种。桁架由上弦、下弦、腹杆组成；腹杆的形式又分为斜腹杆、直腹杆；由于杆件本身长细比较大，虽然杆件之间的连接可能是“固接”，但是实际杆端弯矩一般都很小，因此，设计分析时可以简化为“铰接”。简化计算时，杆件都是“二力杆”，承受压力或者拉力。由于桥梁跨度都较大，而单榀的桁架“平面外”的刚度比较弱，因此，“平面外”需要设置支撑。设计桥梁时，“平面外”一般也是设计成桁架形式，这样，桥梁就形成双向都有很好刚度的整体。有些桥梁桥面设置在上弦，因此力主要通过上弦传递；也有的桥面设置在下弦（比如现在比较多的高速公路桥梁采用这种形式），由于平面外刚度的要求，上弦之间仍需要连接以减少上弦平面外计算长度。桁架的弦杆在跨中部分受力比较大，向支座方向逐步减小；而腹杆的受力主要在支座附件最大，在跨中部分腹杆的受力比较小，甚至有理论上的“零杆”。希望高手补充。希望补充贴图。有个简单的桁架分析工具可以免费用，很容易看出桁架的受力原理；虽然那个不是针对桥梁的，但是原理一样。',)