微分中值定理及其应用 (1)

('微分中值定理摘要微分中值定理，是微分学的核心定理，研究函数的重要工具，历来受到人们的重视。本文介绍了三个微分中值定理及其证明，并且举出几种中值定理的应用。关键词微分中值定理罗尔定理朗格朗日中值定理柯西中值定理1、引言人们对微分中值定理的认识上溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到这样的结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德（Archimedes，公元前287—前221）正式巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按时历史顺序：1673年著名法国数学家费马（Fermat，1601—1665）在《求最大者最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。1691年法多数学家罗尔(Rolle，1652—1719)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年，法国数学家拉格朗日（Lagrange，1736—1813）在《解析函数论》中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西（Cauchy，1789—1857），他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。2、中值定理及证明：1)Rolle定理若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使。证明：因为在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M=m,则在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m＜M，则因(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是的极值点，由条件(ii)在点ξ处可导，故由费马定理推知=0.2)Lagrange定理若在上连续，在内可导，则至少存在一点，使证明：作辅助函数显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点ξ(a，b)，使得即注：1、罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例2、拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：3)Cauchy定理设，在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得。(1)证明：构造辅助函数，易见在上满足罗尔定理条件，故存在，使得,（2）因为（若为0则同时为0,不符条件）故可将（2）式改写为(1)式.便得所证.3、应用举例:1可微函数单调性判别法：一阶函数与单调性的关系(1)设函数)(xf在区间),(ba内可导.则在),(ba内)(xf↗(或↘)\uf0db在),(ba内0)(\uf0b3\uf0a2xf(或0\uf0a3).(2)设函数)(xf在区间),(ba内可导.则在),(ba内)(xf↗↗(或↘↘)\uf0dbⅰ）对),,(bax\uf0ce\uf022有0)(\uf0b3\uf0a2xf(或)0\uf0a3;ⅱ）在),(ba内任子区间上.0)(\uf0ba\uf02f\uf0a2xf2可微极值点判别法:2.1极值点的充分条件:对每个稳定点,用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.(充分条件Ⅰ)设函数)(xf在点0x连续,在邻域),(00xx\uf064\uf02d和),(00\uf064\uf02bxx内可导.则ⅰ）在),(00xx\uf064\uf02d内,0)(\uf03c\uf0a2xf在),(00\uf064\uf02bxx内0)(\uf03e\uf0a2xf时,\uf0de0x为)(xf的一个极小值点;ⅱ）在),(00xx\uf064\uf02d内,0)(\uf03e\uf0a2xf在),(00\uf064\uf02bxx内0)(\uf03c\uf0a2xf时,\uf0de0x为)(xf的一个极大值点;ⅲ）若)(xf\uf0a2在上述两个区间内同号,则0x不是极值点.(充分条件Ⅱ)设点0x为函数)(xf的稳定点且)(0xf\uf0a2\uf0a2存在.则ⅰ）当0)(0\uf03c\uf0a2\uf0a2xf时,0x为)(xf的一个极大值点;ⅱ）当0)(0\uf03e\uf0a2\uf0a2xf时,0x为)(xf的一个极小值点.(充分条件Ⅲ)设函数)(xf在0x某领域内存在直到n-1阶导函数，在0x处n阶可导,ⅰ）n为奇数时,0x不是极值点;ⅱ）n为偶数时,0x是极值点.且0)(0)(\uf03exfn对应极小;0)(0)(\uf03cxfn对应极大.2.2利用单调性证明不等式:原理:若f↗,则对\uf062\uf061\uf03c\uf022,有不等式)()(\uf062\uf061ff\uf0a3.例4证明:对任意实数a和b,成立不等式.111bbaababa\uf02b\uf02b\uf02b\uf0a3\uf02b\uf02b\uf02b证：取\uf0de\uf03e\uf02b\uf03d\uf0a2\uf0b3\uf02b\uf03d,0)1(1)().0(,1)(2xxfxxxxf在),0[\uf0a5\uf02b内)(xf↗↗.于是,由baba\uf02b\uf0a3\uf02b,就有)()(bafbaf\uf02b\uf0a3\uf02b,即111111bbaababbaababababa\uf02b\uf02b\uf02b\uf0a3\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b\uf0a3\uf02b\uf02b\uf02b.不等式原理:设函数)(xf在区间),[\uf0a5\uf02ba上连续,在区间),(\uf0a5\uf02ba内可导,且0)(\uf03e\uf0a2xf;又.0)(\uf0b3af则ax\uf03e时,.0)(\uf03exf3利用定理证明方程根（零点）的存在性例：若\uf028\uf029fx在\uf05b\uf05d,ab上连续，在\uf028\uf029,ab内可导\uf028\uf0290a\uf03e，证明在\uf028\uf029,ab内方程\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029222xfbfabafx\uf0a2\uf02d\uf03d\uf02d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb至少存在一根。分析：由于题目是要求方程\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029222xfbfabafx\uf0a2\uf02d\uf03d\uf02d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf0292220xfbfabafx\uf0a2\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb。那么方程\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029222xfbfabafx\uf0a2\uf02d\uf03d\uf02d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有\uf028\uf029fx\uf0a2存在，所以可以利用不定积分把方程\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf0292220xfbfabafx\uf0a2\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb，转变为\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf0292220fbfaxbafx\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道\uf028\uf029fx在区间\uf05b\uf05d,ab上连续，在区间\uf028\uf029,ab内可导\uf028\uf0290a\uf03e，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029222fbfaxbafx\uf02d\uf02d\uf02d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb在\uf05b\uf05d,ab上连续,在\uf028\uf029,ab内可导\uf028\uf0290a\uf03e，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明:令\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029222Fxfbfaxbafx\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb，显然\uf028\uf029Fx在\uf05b\uf05d,ab上连续,在\uf028\uf029,ab内可导，而\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf02922FafbabfaFb\uf03d\uf02d\uf03d.根据Rolle定理,至少存在一点\uf078，使\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029222fbfabafx\uf078\uf0a2\uf02d\uf03d\uf02d\uf0e9\uf0f9\uf0eb\uf0fb.参考文献[1]欧阳光中朱学炎.复旦大学数学系.数学分析第三版上册北京:高等教育出版社,2007.184-225.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）第四版北京：高等教育出版社，2010.6[3]杨静化应用微积分北京：科学出版社2005',)