曲率计算,曲率计算公式

("3.5曲率的概念及计算公式3.5.1概念来源：为了平衡曲线的弯曲程度。平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。例：对于圆，。所以：圆周的曲率为，是常数。而直线上，所以，即直线“不弯曲”。对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：。3.5.2计算公式的推导：由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）因为，所以。令，同时用代替得所以或具体表示；1、时，2、时，3、时，（令）再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出。下面将与ds代入公式中：，即为曲率的计算公式。3.5.3曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径。几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径（T5-30）解：由于：所以：，§3平面曲线的弧长与曲率教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1)基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．(2)较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．教学建议：(1)要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．(2)对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．教学过程：一、曲线弧长的概念设平面曲线),(BAC，在其上从A到B依次取分点得曲线的一个分割T：BPPPPAn\uf03d\uf03d,,,,210\uf04c用线段联结相邻的点得：niPPii,,2,1,1\uf04c\uf03d\uf02d。记\uf0e5\uf03d\uf02d\uf02d\uf0a3\uf0a3\uf03d\uf03dniiiTiiniPPsPPT1111,max分别表示最长弦的长度和折线的总长度。定义1对于平面曲线C的无论怎样的分割T，若极限ssTT\uf03d\uf0ae0lim存在，则称曲线C是可求长的，并称s为曲线C的弧长。二、参数形曲线的弧长的计算公式定义2设平面曲线].,[),(),(:\uf062\uf061\uf0ce\uf03d\uf03dttyytxxC若)(tx与)(ty在],[\uf062\uf061上连续可微，且)('tx与)('ty不同时为零，则称C为一条光滑曲线。定理1设平面曲线],[),(),(:\uf062\uf061\uf0ce\uf03d\uf03dttyytxxC为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为.)(')('22dttytxs\uf0f2\uf062\uf061\uf02b\uf03d证：对C作任意分割T：BPPPPAn\uf03d\uf03d,,,,210\uf04c，并设nPP,0分别对应\uf061\uf03dt与\uf062\uf03dx，且.1,2,1)),(),((),(\uf02d\uf03d\uf03dnitytxyxPiiiii\uf04c于是与T对应地得到区间],[\uf062\uf061的一个分割.:'110\uf062\uf03d\uf03c\uf03c\uf03c\uf03c\uf03d\uf061\uf02dnnttttT\uf04c在],[1iiixx\uf02d\uf03d\uf044上应用微分中值定理得;,)(')()(1iiiiiiitxtxtxx\uf044\uf0ce\uf078\uf044\uf078\uf03d\uf02d\uf03d\uf044\uf02d.,)(')()(1iiiiiiitytytyy\uf044\uf0ce\uf068\uf044\uf068\uf03d\uf02d\uf03d\uf044\uf02d从而有.)(')('122122iniiiniiiTtyxyxs\uf044\uf068\uf02b\uf078\uf03d\uf044\uf02b\uf044\uf03d\uf0e5\uf0e5\uf03d\uf03d由C为一光滑曲线知，0\uf0aeT与0'\uf0aeT是等价的。又由)(')('22tytx\uf02b在],[\uf062\uf061上连续从而可积，因此由定义1，只需证明\uf03d\uf044\uf078\uf02b\uf078\uf03d\uf0e5\uf03d\uf0ae\uf0aeiniiiTTTtyxs1220'0)(')('limlim.)(')('22dttytx\uf0f2\uf062\uf061\uf02b（）记,)(')(')(')('2222iiiiiyxyx\uf078\uf02b\uf078\uf02d\uf068\uf02b\uf078\uf03d\uf073则有.])(')('[122iiniiiTtyxs\uf044\uf073\uf02b\uf078\uf02b\uf078\uf03d\uf0e5\uf03d由三角不等式易证.,2,1,)(')(')(')('niyyyyiiiii\uf04c\uf03d\uf078\uf02d\uf068\uf0a3\uf078\uf02d\uf068\uf0a3\uf073又因)('ty在],[\uf062\uf061上连续，从而一致连续，故,0,0\uf03e\uf064\uf024\uf03e\uf065\uf022当\uf064\uf03c'T时，只要iii\uf044\uf0ce\uf068\uf078,，就有..,2,1,nii\uf04c\uf03d\uf061\uf02d\uf062\uf065\uf03c\uf073于是有.)(')('11122\uf065\uf03c\uf044\uf073\uf0a3\uf044\uf073\uf03d\uf044\uf078\uf02b\uf078\uf02d\uf0e5\uf0e5\uf0e5\uf03d\uf03d\uf03diniiniiiniiiiTtttyxs由此及（）式知，所证公式成立。例1、求摆线)0)(cos1(),sin(\uf03e\uf02d\uf03d\uf02d\uf03datayttax一拱的弧长。解：,sin)('),cos1()('tatytatx\uf03d\uf02d\uf03d由公式得dttadttytxs\uf0f2\uf0f2\uf070\uf070\uf02d\uf03d\uf02b\uf03d2022022)cos1(2)(')('=.82sin220adtta\uf03d\uf0f2\uf070三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式若曲线C：],[),(baxxfy\uf0ce\uf03d，则当)(xf在],[ba上连续可微时，此曲线为一光滑曲线，它的弧长公式为.)('12dxxfsba\uf0f2\uf02b\uf03d例2、求悬链线2xxeey\uf02d\uf02b\uf03d从0\uf03dx到0\uf03e\uf03dax一段的弧长。解：,4)('1,2'22xxxxeeyeey\uf02d\uf02d\uf02b\uf03d\uf02b\uf02d\uf03d由公式得.22)('1002\uf0f2\uf0f2\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d\uf02b\uf03d\uf02b\uf03daaaxxaeedxeedxxfs四、极坐标形曲线的弧长的计算公式设曲线C：].,[),(\uf062\uf061\uf0ce\uf071\uf071\uf03drr将其化为参数形C：].,[,sin)(,cos)(\uf062\uf061\uf0ce\uf071\uf071\uf071\uf03d\uf071\uf071\uf03dryrx当)('\uf071r在],[\uf062\uf061上连续，且)(\uf071r与)('\uf071r不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲线，其弧长的计算公式为.)(')(22\uf071\uf071\uf02b\uf071\uf03d\uf0f2\uf062\uf061drrs例3、求心形线)0)(cos1(\uf03e\uf071\uf02b\uf03daar的周长。解：由公式得\uf071\uf071\uf02b\uf03d\uf071\uf071\uf02b\uf071\uf03d\uf0f2\uf0f2\uf070\uf070dadrrs2022022)cos1(22)(')(.82cos40ada\uf03d\uf071\uf071\uf0f2\uf070注意：若定理1中公式的上限改为变量t，则有.)(')('22\uf074\uf074\uf02b\uf074\uf03d\uf0f2\uf061dyxst由于被积函数连续，所以有)(')(')('22tytxts\uf02b\uf03dds=dttytx)(')('22\uf02b后式称为弧微分。1.y=c(c为常数)y'=02.y=x^ny'=nx^(n-1)3.y=a^xy'=a^xlnay=e^xy'=e^x4.y=logaxy'=logae/xy=lnxy'=1/x5.y=sinxy'=cosx6.y=cosxy'=-sinx7.y=tanxy'=1/cos^2x8.y=cotxy'=-1/sin^2x9.y=arcsinxy'=1/√1-x^210.y=arccosxy'=-1/√1-x^211.y=arctanxy'=1/1+x^212.y=arccotxy'=-1/1+x^2",)