双曲线的标准方程推导-解析式求解-教师版

('.直利教育2015年寒假名师培优一对一教案第2讲双曲线的定义及标准方程1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差:或,即:，其中动点的轨迹会发生什么变化呢？①若，则轨迹是线段的延长线；若，则轨迹是线段的延长线；②若，则无轨迹；③在条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现与的大小关系与动点的轨迹的变化规律.（1）当时，双曲线（2）当时，射线（3）当时，无轨迹2、概念形成\uf06e双曲线定义定义：平面到两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距.\uf06e双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：（1）是平面到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于.（2）当时，动点的轨迹是与对应的双曲线的一支，..时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设，取过点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设是所求轨迹上的点.依已知条件有，，，，移项得：，平方得：（）再平方得：，即，令则，即综上：焦点在轴上双曲线的标准方程是①，其中，焦点.[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.◆同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点.[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.定义及性质对比..名称椭圆双曲线图象xOyxOy定义平面到两定点的距离的和为常数2（2）的动点的轨迹叫椭圆.即当22﹥时，轨迹是椭圆，当2=2时，轨迹是一条线段当22﹤时，轨迹不存在平面到两定点的距离的差的绝对值为常数2（）的动点的轨迹叫双曲线.即当22﹤时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22﹥时，轨迹不存在标准方程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关系（符合勾股定理的结构），最大，可以（符合勾股定理的结构）最大，可以精题精讲【例1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值奎屯王新敞新疆..①②③④（）奎屯王新敞新疆分析：双曲线标准方程的格式：平方差，项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是；项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是奎屯王新敞新疆解：①是双曲线，；②是双曲线，；③是双曲线，；④是双曲线，奎屯王新敞新疆【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程奎屯王新敞新疆解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,)奎屯王新敞新疆∵∴∴奎屯王新敞新疆所求双曲线标准方程为奎屯王新敞新疆【例3】已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，，在此双曲线上，求双曲线的标准方程奎屯王新敞新疆分析：由于已知焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解奎屯王新敞新疆本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组奎屯王新敞新疆解：因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为（）..则有，即解关于的二元一次方程组，得所以，所求双曲线的标准方程为奎屯王新敞新疆【例4】点A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程奎屯王新敞新疆分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解奎屯王新敞新疆注意限制条件奎屯王新敞新疆解：设的重心G的坐标为，则点A的坐标为.因为点A位于双曲线上，从而有，即所以，的重心G的轨迹方程为奎屯王新敞新疆【例5】已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹奎屯王新敞新疆分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件奎屯王新敞新疆解：以底边BC为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时，由得,即奎屯王新敞新疆所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支奎屯王新敞新疆其方程为：奎屯王新敞新疆点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，..有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂奎屯王新敞新疆解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的奎屯王新敞新疆【例6】求下列动圆圆心M的轨迹方程:(1)与⊙C:(x+2)2+y2=2切，且过点A（2，0）（2）与⊙C1：x2+(y-1)2=1和⊙C2:x2+(y+1)2=4都外切.（3）与⊙C1:(x+3)2+y2=9外切，且与⊙C2:(x-3)2+y2=1切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1＞r2，则当它们外切时，O1O2=r1+r2;当它们切时，O1O2=r1-r2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M的半径为r(1)∵⊙C1与⊙M切，点A在⊙C外∴MC=r-,MA=r,MA-MC=∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：a=,c=2,b2=c2-a2=∴双曲线方程为2x2-=1(x≤-)(2)∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切∴MC1=r+1,MC2=r+2,MC2-MC1=1∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有：a=,c=1,b2=c2-a2=∴所求的双曲线方程为：4y2-=1(y≥)(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2切∴MC1=r+3,MC2=r-1,MC1-MC2=4∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有：a=2,c=3,b2=c2-a2=5∴所求双曲线方程为：(x≥2)【例7】已知双曲线的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且PF1PF2=32，求∠F1PF2的大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.解：∵点P在双曲线的左支上∴PF1-PF2=6∴PF12+PF22-2PF1PF2=36∴PF12+PF22=100∵F1F22=4c2=4(a2+b2)=100∴∠F1PF2=90°评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.【例8】已知F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积.分析：利用双曲线的定义及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面积...解：∵P为双曲线上的一个点且F1、F2为焦点.∴PF1-PF2=2a=4F1F2=2c=2∵∠F1PF2=90°∴在Rt△PF1F2中PF12+PF22=F1F22=20∵（PF1-PF2）2=PF12+PF22-2PF1PF2=16∴20-2PF1PF2=16∴PF1·PF2=2∴SPF1·PF2=1由此题可归纳出S△F1PF2=b2cot∠评述：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.综合发展：1.已知点F1（0，-13）、F2（0，13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（）A.y=0B.y=0(x≤-13或x≥13)C.x=0(y≥13)D.以上都不对【解析】∵PF1-PF2=F1F2，∴P点的轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线.【答案】C2.在方程mx2－my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线【解析】把方程mx2－my2=n写成标准方程=1∵mn＜0,∴＜0,－＞0.∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.【答案】D3.已知点P（x，y）的坐标满足=±4，则动点P的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对【解析】点（1，1）与（-3，-3）的距离为4>4，∴P的轨迹是双曲线.【答案】B4.已知双曲线的方程为=1,点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB=m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（）A.2a+2mB.4a+2mC.a+m..D.2a+4m【解析】∵A、B在双曲线的右支上，∴BF1－BF2=2a,AF1－AF2=2a,∴BF1+AF1－(BF2+AF2)=4a∴BF1+AF1=4a+m∴△ABF1的周长为4a+m+m=4a+2m.【答案】B5.已知双曲线的焦距为26，=,则双曲线的标准方程是（）A.=1B.=1C.=1D.=1或=1【解析】∵2c=26,=,∴c＝13，a2＝25.∴b2=132－25=144.∴双曲线的标准方程为=1或=1.【答案】D6.F1、F2为双曲线－y2=－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是（）A.2B.4C.8D.16【解析】双曲线－y2=－1的两个焦点是F1(0，－)、F2(0，)，∵∠F1PF2=90°,∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2.即｜PF1｜2+｜PF2｜2=20①∵｜PF1｜－｜PF2｜=±2，∴｜PF1｜2－2｜PF2｜·｜PF1｜+｜PF2｜2=4②①－②得2｜PF1｜·｜PF2｜=16，∴=｜PF1｜·｜PF2｜=4.【答案】B7.双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y+20=0上，两焦点关于原点对称，，则此双曲线的方程是（）A.=1B.=1C.=－1D.=－1【解析】在方程5x－2y+20=0中，令x=0得：y=10，∵双曲线的一个焦点在直线5x－2y+20=0上又在y轴上，且两焦点关于原点对称，∴c=10,∵,∴a=6,∴b2=c2－a2=100－36=64...∴双曲线的方程为=1，即=－1.【答案】D8.已知ΔABC中，B、C是两个定点，并且sinB-sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程是（）A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分【解析】由正弦定理得AC-AB=BC.∵B、C为定点，∴BC为常数.∴点A的轨迹是双曲线的一部分.【答案】C9.双曲线2x2－y2=k的焦距是6，求k的值.【解】把双曲线的方程写成标准形式，=1.当k＞0时，a2=,b2=k，由题知+k=9即k=6.当k＜0时，a2=－k,b2=－,－k－=9即k=－6综上所述k=±6为所求.10.过双曲线=1的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离.【解】∵双曲线方程为=1∴c==13,于是焦点F1（－13，0）、F2（13，0），设过点F1的垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13,y)(y>0).∴,∴y=,即AF1=又∵AF2－AF1=2a=24,∴AF2=24+AF1=24+=故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为或.11.一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A（-2，-3）、（7，6），求双曲线的方程.【解】当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为mx2-ny2=1(m>0,n>0)，则由题知解之得..∴双曲线的方程为=1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为py2-qx2=1(p>0,q>0)，则此方程组的解使p、q都为负值，故应舍去.综上所述，所求双曲线的方程为=1.12.已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y=kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，数k的取值围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，数k的值.【解】(1)由消y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0由得k的取值围为（－，－1）∪（－1，1）∪（1，）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得x1＋x2＝－，x1x2＝－又l过点D(0，－1)∴Ｓ△OAB＝Ｓ△OAD＋Ｓ△OBD＝｜x1｜＋｜x2｜＝｜x1－x2｜＝∴（x1－x2）2＝（2）2即（）2＋＝８∴k＝0或k=±.13.已知双曲线=1，P为双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，并且∠F1PF2=60°，求ΔF1PF2的面积.【解】F1F22=4c2=4×(24+16)=160.在ΔF1PF2中，由余弦定理得F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2=160.∴PF12+PF22-PF1PF2=160.①又∵PF1-PF2=±2，∴PF12-2PF1PF2+PF22=96.②①-②得PF1·PF2=64.∴=PF1·PF2·sin60°=×64×=16.【点评】若本题是填空题或选择题时，则用解法二：=b2cot=16×cot=16.14.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6km，C在B的北偏西30°方向上，相距4km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1km）.A..若炮击P地，求炮击的方位角.【解】以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），C（-5，2）.∵PB-PA=4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是(x≥2).①又∵PB=PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x-y+7=0.②将②代入①得11x2-56x-256=0，得x=8或x=-（舍）.于是可得P（8，5）.又kPA=tanα=，∴α=60°.故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°..',)