26.1.1-反比例函数的定义

人教版数学九年级下册学习目标理解并掌握反比例函数的概念；会判断一个函数是否是反比例函数.从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；1463.vt问题引入1463.vt(2)某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；(3)已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积S(km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.41.6810.Sn1000.yx问题引入41.6810.Sn1000.yx问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？1463vt，1000yx，41.6810.Sn都具有的形式，其中是常数．分式分子(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，一般地，形如kyx其中x是自变量，y是函数.知识精讲1463vt，1000yx，41.6810.Snkyx思考：反比例函数(k≠0)的自变量x的取值范围是什么？kyx因为x作为分母，不能等于零，因此自变量x的取值范围是所有非零实数.但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.例如，在前面得到的第一个解析式中，t的取值范围是t＞0，且当t取每一个确定的值时，v都有唯一确定的值与其对应.1463vt知识精讲kyx1463vt想一想：反比例函数除了可以用(k≠0)的形式表示，还有没有其他表达方式？kyx反比例函数的几种表达方式：(注意k≠0)等价形式：xkyy=kx-1xy=ky与x成反比xky1（k≠0）知识精讲kyxxkyxky1下列函数是不是反比例函数？若是，请指出k的值.是，k=3不是不是不是13yx3xy111yx31yx21yx是，111k针对练习13yx3xy111yx31yx21yx111k例1已知函数是反比例函数，求m的值.2223321mmymmx解得m=－2.【点睛】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中x的次数为－1，且系数不等于0.所以2m2+3m－3=－1，2m2+m－1≠0.典例解析解：因为是反比例函数，2223321mmymmx2223321mmymmx2223321mmymmx2.已知函数是反比例函数，则k必须满足.(2)(1)kkyx1.当m=时，是反比例函数.22myxk≠2且k≠－1±1针对练习(2)(1)kkyx22myx例2已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.(1)写出y关于x的函数解析式；【分析】因为y是x的反比例函数，所以设.把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值.kyx解：设.因为当x=2时，y=6，所以有kyx6.2k解得k=12.因此12.yx典例解析kyxkyx6.2k12.yx(2)当x=4时，求y的值.解：把x=4代入，得12yx123.4y典例解析12yx123.4y用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤1.设出含有待定系数的反比例函数关系式；2.把一对已知的x,y的值代入关系式，得到一个关于待定系数的方程；3.解这个方程，求出待定系数；4.将所求得的待定系数代回所设的函数关系式。知识精讲1.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值；x…-2-11…y…4-2…(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)根据函数表达式完成上表。2-42针对练习解（1）∵y是x的反比例函数,把x=-1,y=4代入解析式，得:解得：k=-42.已知y与x+1成反比例，并且当x=3时，y=4.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当x=7时，求y的值．针对练习解：(1)设，因为当x=3时，y=4，1kyx所以有，解得k=16，因此.431k161yx(2)当x=7时，162.71y1kyx431k161yx162.71y例3人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km/h时，视野为80度，如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f关于v的函数解析式，并计算当车速为100km/h时视野的度数.当v=100时，f=40.所以当车速为100km/h时视野为40度.解：设.由题意知，当v=50时，f=80，kfv80.50k解得k=4000.因此4000.fv所以典例解析kfv80.50k4000.fv例4如图所示，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y.写出变量y与x之间的关系式，并指出它是什么函数.ABCD解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以1180.2ABCDSxy菱形所以变量y与x之间的关系式为，它是反比例函数.360yx典例解析1180.2ABCDSxy菱形360yx达标检测A.B.C.D.1.下列函数中，y是x的反比例函数的是()A12yx21yx12yx11yx12yx21yx12yx11yx达标检测2.生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x和y成反比例函数关系的有()①x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg；②底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为10m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为x，放满一桶水的时间yA.1个B.2个C.3个D.4个B达标检测3.填空(1)若是反比例函数，则m的取值范围是.(2)若是反比例函数，则m的取值范围是.(3)若是反比例函数，则m的取值范围是.1myxm≠12mmyxm≠0且m≠－2212mmmyxm=－11myx2mmyx212mmmyx达标检测4.已知变量y与x成反比例，且当x=3时，y=－4.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当y=6时，求x的值.解：(1)设.因为当x=3时，y=－4，kyx4.3k解得k=－12.因此，y关于x的函数解析式为12.yx所以有(2)把y=6代入，得12yx126.x解得x=－2.kyx4.3k12.yx12yx126.x达标检测5.已知y=y1+y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，当x=0时，y=－3；当x=1时，y=－1，求：(1)y关于x的关系式；解：设y1=k1(x－1)(k1≠0)，(k2≠0)，221kyx则.2111kykxx∵x=0时，y=－3；x=1时，y=－1，－3=－k1+k2，2112k，∴k1=1，k2=－2.∴21.1yxx∴(2)当x=时，y的值.12（2）把x=代入(1)中函数关系式，得y=1211.2221kyx2111kykxx2112k，21.1yxx121211.2小结梳理1.反比例函数的定义：等价形式：xkyy=kx-1xy=kxky1（k≠0）xkyxky1用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤1.设出含有待定系数的反比例函数关系式；2.把一对已知的x,y的值代入关系式，得到一个关于待定系数的方程；3.解这个方程，求出待定系数；4.将所求得的待定系数带回所设的函数关系式。小结梳理谢谢观看！