概率密度函数 (1),概率密度函数1.96

1第二章二、连续型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布第七节随机变量函数的分布2在实际中，42XY求截面面积Y的分布.例如，已知圆轴截面直径X的分布，所考虑的随机变量常常依赖另一个随机变量，称随机变量Y是X的函数又如，一辆公共汽车单程固定支出为k元，用X表示一单程运载的乘客数，它是离散型随机变量。那么一单程的纯收收益额Y也是随机变量（票价2元）。其可能值即Y的可能值y通过普通的线性函数kxy2算得。问题的提出3随机变量的函数也是一个随机变量．则YxgyYxX取值时，取值当本节的任务就是：的函数，是是一随机变量，设XYX,XgY，的分布，并且已知已知随机变量XgYX(分布列或分布密度）。的分布．要求随机变量Y4一、离散型随机变量函数的分布当X为离散型随机变量时，,XgY也是离散型随机变量。求Y的分布列是容易的。例1已知X的分布列为3.03.01.01.02.032101kpX求232121XYXYXY的分布列。解由Y的分布列可列出94101642022210121321013.03.01.01.02.02321XYXYXYXpk并且在X的分布列已知的情况下，52.01.01.03.03.0202462kpY23XY3.01.02.01112XPXPXP3.03.03.01.094103kpY中232121XYXYXY1210120.20.10.10.30.3kYp1230.20.10.10.30.310123210122024610149kpXYYY6注：1、设,2,1kxgk互不相等时，则事件kkxXxgY由kkkppppxxxX2121kkkppppxgxgxgY2121)()()(2、当jixgxgji则把那些相等的值合并起来。并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布列。二、连续型随机变量函数的分布，其密度函数为是一连续型随机变量，设xpXX也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY．的密度函数我们要求的是ypXgYY解题思路的分布函数⑴．先求XgY之间的关系的分布函数与密度函数⑵．利用XgY随机变量。yXgPyYPyFYyFypXgYYY的密度函数求)(yhXP)()(yhXdxxp()()()hyYXpypxdx(())()Xphyhy8是单调可导函数，则)()]([)(~)(yhyhpypXgYXY2注意定义域的选择。其中h(y)为y＝g(x)的反函数.一般地若XgYxpXX~注：1只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。公式法：9已知XN(,2),求解：22221yeXY的概率密度XY关于x严单,反函数为yyhx)(故)()]([)(yhyhpypXY例12221ye)(ypXxexpx222)(21)(.y.y10解.0)(0,0120yFyXYY时故当由于}{}{)(2yXPyYPyFY.0,0,0),()([21)(yyypypyypXXY例2PXy时当020y已知随机变量X具有概率密度,)(xpX求Y=X2的概率密度().Ypy12yyPyXyyXypxdx则11.,0,40,8)(其它xxxpX设随机变量X具有密度函数：解：(1)先求Y=2X+8的分布函数FY(y)：}{)(yYPyFY28.)()(yXYdxxpyF例3}28{}82{yXPyXP试求Y=2X+8的概率密度.ypY12(2)()()YYFypy：利用可以求得)28()28()(yypypXY.,0,40,8)(其它xxxpX.,0,168,328)(其它yyypY整理得Y=2X+8的概率密度为：28.)()(yXYdxxpyF.,0,4280,21)28(81其它yy13其它,0,)]([)(yyhyhypY其中，),(minxgbxa),(maxxgbxa此定理的证明与前面的解题思路类似.是一个连续型随机变量，0)(xg0)(xg设X的概率密度为的连续型随机变量，又设XgY处处可导，且对于任意x恒有或恒有则XgY.YhX其反函数为Y的概率密度为定理otherbxaxxpX014例4设X的密度为therxxxxp0010)1(6求3XY的概率密度.ypY解3YXtheryyyyypY00103116323131取值在(0,1)时，y的取值也在(0,1),xtheryyypY00101231231()3hYY13()XhYY15设关于x严单,反函数为abyyh)(故()[()]()YXpyphyhy而othersxxpX0101)(故的概率密度.,1,0~UX求解:baXYbaXY0a例5othersbaybaypY01)(1()hya1()Xybpaa16例6设X的密度为0000Xxexpxx求12XY的概率密度.ypY解12XXgY12yxhy1122YXypyp由X的分布密度的定义有101221yyeypyY即12hy17例7，试求随机变量，，设随机变量XeYNX2~的密度函数为，知题设由X函数为是严格增加的，它的反因为函数xeyxexpx22221解:XeYX，上变化时，在区间并且当随机变量lnxy时，，所以，当0yyypypXYlnln22(ln)211e2yy．的密度函数ypYY上变化．，在区间01822(ln)21e0200yYypyyy的密度函数为由此得随机变量XeY例7，试求随机变量，，设随机变量XeYNX2~．的密度函数ypYYxexpx2222119设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求解：在区间(0,1)上,函数故02xy于是y在区间(0,1)上单调下降，2/)(yeyhx由前述定理得其它,010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedepyp注意取绝对值例8Y=-2lnX的概率密度.,0lnX0ln2XY有反函数20其它,010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedepyp其它,010,1)(xxpX已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入)(ypY其它,00,21)(2/yeypyY得即Y服从参数为1/2的指数分布.的表达式中21作业P14221222426