探索三角形相似的条件(第1课时)(课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂(苏科版)

探索三角形相似的条件（上）Exploretriangularsimilarconditions苏科版九年级下册第6章图形的相似教学目标01掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能借助此定理或推论获得更多的线段比例关系02理解相似三角形的预备定理，掌握相似三角形的判定定理（一），能运用此定理证明两个三角形相似平行线分线段成比例定理知识精讲问题引入01Q1：操作：先画3条互相平行的直线l1、l2、l3，再任意画2条直线a、b，使a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.根据操作，你能画出几种不同的图.l2l3l1ABCDEFl2l3l1ABFDECl2l3l1A（D）BCEF3种知识精讲问题引入01Q2：度量图中AB、BC、DE、EF的长度以计算对应线段的比值.你发现了什么?????=????l2l3l1ABCDEFl2l3l1ABFDECl2l3l1A（D）BCEF02知识精讲平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.l2l3l1ABCDEFl2l3l1ABFDECl2l3l1A（D）BCEF∵l1∥l2∥l3∴，，简记为：，，02知识精讲擦去△ACF外部的线条l2l3l1A（D）BCEF，，BCEFA平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.∵BE∥CE∴，，02知识精讲l2l3l1ABFDEC，，令B、E两点重合，并擦去△ABD、△CBF外部的线条AB（E）FDC平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例.∵AD∥CF∴，，02知识精讲平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.BCEFAQ1：度量图中AB、BC、BE、CF的长度并计算对应线段的比值.你发现了什么?????=????进一步：02知识精讲Q2：证明上述结论：【证明】∵BE∥CF，∴=过点E作EM∥AC交CF于M∵EM∥AC，∴=∵四边形BEMC是平行四边形，∴BE=CM∴=，∴BCEFAM02知识精讲推论∶平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得的对应线段成比例.推论结论∶平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.知识精讲例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少?（2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少?【分析】（1）∵EF∥BC，∴∵AE=7，EB=5，FC=4，∴，∴AF=【平行线分线段成比例】（2）∵EF∥BC，∴∵AB=10，AE=6，AF=5，∴EB=4，∴，∴FC=知识精讲例2、如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，小武同学由此得出了以下四个结论，判断是否正确.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）【分析】∵MN∥BC∴，∵DN∥MC∴∴×√×√知识精讲例3、如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（）A.B.C.D.【分析】∵l1∥l2∥l3∴，∴×××√D知识精讲例4、如图，△ABC中，∠C=90°，四边形DEFC是内接正方形，BC=4cm，AC=4cm，则正方形面积为__________cm².【分析】设正方形的边长为xcm，则AD=(4-x)cm∵∠C=90°，四边形DEFC是内接正方形∴ED∥BC，∴∵BC=4cm，AC=4cm∴，解得：x=2∴S正方形=4cm²4知识精讲例5、如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC=__________.【分析】如图，作DF∥AE交BC于F∵OE∥DF，∴=1，即BE=EF∵DF∥AE，∴，∴CF=2EF∴BE：EC=1：3【构造平行线求线段比例】F1：3相似三角形的判定定理（一）知识精讲问题引入01Q1：什么叫做相似三角形？对应角相等、对应边成比例的两个三角形，称为相似三角形Q2：相似三角形与全等三角形有怎样的关系？全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形Q3：全等三角形的判定定理有哪些？至少需要几个边或角的条件？SSS、SAS、ASA、AAS、(直角)HL至少3个相似三角形的判定需要具备几对角相等或几对边成比例的条件呢？02知识精讲【思考】如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB、AC于点D、E，△ADE与△ABC有什么关系?【猜想】△ADE∽△ABC【分析】根据相似三角形的定义，只需证明：∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，==注意：记相似时，字母必须对应02知识精讲【证明】在△ADE与△ABC中，∠A=∠A∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，=过点E作EF∥AB交BC于F∵EF∥AB，∴=∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF∴=∴∴△ADE∽△ABC02知识精讲平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.预备定理∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC02知识精讲【观察】如图，两幅三角尺，其中同样角度（30°与60°、或45°与45°）的两个三角尺，它们一定相似吗?相似【思考】如果两个三角形有两组角对应相等，它们相似吗？02知识精讲【探究】Q1：作△ABC和△A’B’C’，使得∠A=∠A’，∠B=∠B’，此时∠C=∠C’吗？Q2：分别度量这两个三角形的边长，计算，，，你有什么发现?Q3：△ABC和△A’B’C’相似吗？∠C=∠C’→△ABC∽△A’B’C’三角形内角和是180°，知两角相等，即知三角相等again：记相似时，字母必须对应02知识精讲【证明】已知：在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’，求证：△ABC∽△A’B’C’证明：如图，在△ABC的边AB、AC上分别截取AD=A’B’，AE=A’C’，连接DE在△ADE和△A’B’C’中，∴△ADE∽△A’B’C’（SAS）∴∠ADE=∠B’DE又∵∠B=∠B’∴∠ADE=∠B∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴△A’B’C’∽△ABC02知识精讲两角分别相等的两个三角形相似.判定定理（一）∵∠A=∠A’，∠B=∠B’∴△ABC∽△A’B’C’由此，我们得到利用两角判定两个三角形相似的方法~知识精讲例6、已知：如图，平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：△DAF∽△ECD．【证明】在平行四边形ABCD中，∵AB∥DC，∴∠CDE=∠AFD，∵∠A=∠C，∴△DAF∽△ECD．【两角相等判定相似】知识精讲例7、如图所示，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．求证：△ABD∽△DCE．【证明】∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，且∠ADE=45°，∴45°+∠BAD=45°+∠CDE，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE．知识精讲例8、如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°．（1）若将△DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP；（2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？【证明】（1）如图1，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DPE=45°，∵∠CPE=∠BGP+∠B=∠CPF+∠DPE，∴∠BGP+45°=∠CPF+45°，∴∠BGP=∠CPF，∵∠B=∠C，∴△PBG∽△FCP；知识精讲例8、如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°．（2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？（2）△PBG∽△FCP，理由如下：如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DPE=45°，∵∠PGB=∠C+∠CAE=45°+∠CAE，∠FPC=∠FPG+∠CAE=45°+∠CAE，∴∠PGB=∠FPC，∵∠B=∠C，∴△PBG∽△FCP．课后总结1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.2、推论∶平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得的对应线段成比例.3、结论∶平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.1、预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.2、判定定理（一）：两角分别相等的两个三角形相似.谢谢学习Thankyouforlearning