课题学习最短路径问题第1课时(将军饮马)-八年级数学上册同步教材配套精品教学课件(人教版)

第十三章轴对称将军饮马问题13.4课题学习最短路径问题13.4课题学习第1课时【学习目标】【学习目标】将军饮马能利用轴对称解决简单的最短路径问题.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．情景引入传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。问题：将军饮马BA问题：将军饮马BA实际问题应该怎样走才能使路程最短?AC作图问题在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.B复习旧知回顾：哪些与最短有关的数学知识？“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”AB①②③PlABCD新知探究思考：(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？lC连接AB,与直线l相交于一点C.AB作法:连线段、得交点思考：(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？lB′作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABC思考：(3)所作的AC+BC最短吗？请说明理由？lB′ABCC′证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．思考：(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？lB′作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABC作法:作对称、连线段、得交点归纳知识名称牛郎织女问题将军饮马问题图形依据作法两点之间线段最短(化折为直)lCABlB′ABC求作一点C,使AC+BC最短问题.求作一点C,使AC+BC最短问题.连线段、得交点作对称、连线段、得交点典例讲解例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定B例2（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点，并说明理由；（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由；（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．ABCDPOABNOABM图①图②图③ABCDC'图①PP'P''图②POABEF图③NOABMM'N'EF归纳知识此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.课堂小结名称牛郎织女问题将军饮马问题图形依据作法两点之间线段最短(化折为直)lCABlB′ABC求作一点C,使AC+BC最短问题.求作一点C,使AC+BC最短问题.连线段、得交点作对称、连线段、得交点转化课堂练习1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD2．直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是()A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角D3.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）B′C′EA4．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3.(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长解：(1)边AB的垂直平分线MN如图所示．(2)如图，点D为MN与BC的交点．∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD.∴△ADC的最小周长为AC＋BC＝3＋4＝7.5.如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？