第十五章傅里叶级数

('洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案第十五章傅里叶级数§1傅里叶级数教学目标掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理．教学要求(1)基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．(2)较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)．教学建议(1)向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)．(2)三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤．教学程序一、Fourier级数的定义背景：⑴波的分析：频谱分析.基频().倍频.⑵函数展开条件的减弱:积分展开.⑶中用Descartes坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介:十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础.（一）定义设是上以为周期的函数，且在上绝对可积，称形如1洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案的函数项级数为的Fourier级数或三角级数(的Fourier展开式)，其中，，称为的Fourier系数，记为定理15.1若级数收敛,则级数在R内绝对且一致收敛.证明：用M判别法.（二）说明1）在未讨论收敛性，证明一致收敛到之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的Fourier级数，或者说的Fourier级数是.2)要求上的Fourier级数,只须求出Fourier系数.例1设是以为周期的函数，其在上可表示为,2洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案求的Fourier展开式.3)计算的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的去件来积.如，，例2设是以为周期的函数,其在上等于,求的Fourier级数.4)如果仅定义在长为的区间上,例如定义在上,此时不是周期函数,从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期,如定义,它有下述性质:a)时,；b)以为周期.例3,求的Fourier级数.内积和正交:由R中的内积与正交概念引入.设函数和在区间上(R)可积.定义内积为.当时,称函数和在区间上正交函数的正交性与区间有关.例如函数和在区间上并不正交(因为),但在区间却是正交的.正交函数系统:标准正交系(幺正系),完全系二、以为周期函数的Fourier级数3洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案定理15.2若在整个数轴上且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式，，三、收敛定理:（一）按段光滑函数:.定义：若的导函数在区间上连续,则称函数在区间上光滑.若函数在区间上至多有有限个第一类间断点,且仅在区间上有限个点处不连续且为第一类间断点,则称是区间上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质:设函数在区间上按段光滑,则⑴在区间上可积;⑵对,都存在,且有,.(用Lagrange中值定理证明)⑶在区间上可积.（二）收敛定理:定理15.3设函数是以为周期的周期函数且在区间上按段光滑,则在,的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值,即4洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案其中和为函数的Fourier系数.(证明放到以后进行)推论若是以为周期的连续函数,在上按段光滑,且则的Fourier级数在内收敛于.四、正弦级数和余弦级数（一）定义形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数(函数项级数称为余弦级数.（二）如果是以为周期的函数,在上绝对可积,若是奇函数,则有；若是偶函数,则有.（三）设仅在上有定义,如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数,所得Fourier级数必为正弦级数.对应地,补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数,所得Fourier级数必为余弦级数.例4),将展开成余弦函数.五、一般周期函数的Fourier级数5洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案设是周期为的函数,且在上绝对可积,则有,其中，例5:求的Fourier展开式.六、Fourier级数的复数表示形式设,则其复数表示形式为,其中,复的Fourier系数.作业教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.6洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案§2以为周期的函数的展开式教学目的掌握以为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数．教学要求(1)掌握以为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法．教学建议三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开的方法与步骤．教学程序一、以l2为周期的函数的Fourier级数设函数)(xf以l2为周期,在区间],[ll\uf02d上(R)可积.作代换\uf070tlx\uf03d,则函数)()(\uf070ltftF\uf03d以\uf0702为周期.由\uf070tlx\uf03d是线性函数,)(tF在区间],[\uf070\uf070\uf02d上(R)可积.函数)(tF的Fourier系数为\uf0f2\uf02d\uf03d\uf070\uf070\uf070ntdttFancos)(1,\uf04c,2,1,0\uf03dn\uf0f2\uf02d\uf03d\uf070\uf070\uf070ntdttFbnsin)(1,\uf04c,2,1\uf03dn)(tF～\uf0e5\uf0a5\uf03d\uf02b\uf02b10.sincos2nnnntbntaa还原为自变量x,注意到lxtxftlftF,)()()(\uf070\uf070\uf03d\uf03d\uf03d,就有)()(tFxf\uf03d～\uf0e5\uf0a5\uf03d\uf02b\uf02b10.sincos2nnnlxnblxnaa\uf070\uf070其中\uf0f2\uf02d\uf03d\uf070\uf070\uf070ntdttFancos)(1\uf0f2\uf02d\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d\uf03dlllxtdxlxnxfl\uf070\uf070cos)(1,\uf04c,2,1,0\uf03dn7洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案\uf03dnb\uf0f2\uf02dlldxlxnxfl\uf070sin)(1,\uf04c,2,1\uf03dn当函数)(xf在区间],[ll\uf02d上按段光滑时,)(xf可展开为Fourier级数.註明三角函数系},sin,cos,,sin,cos,1{\uf04c\uf04clxnlxnlxlx\uf070\uf070\uf070\uf070是区间],[ll\uf02d上的正交函数系统.例１把函数\uf0ee\uf0ed\uf0ec\uf03c\uf0a3\uf03c\uf03c\uf02d\uf03d50,3,05,0)(xxxf展开成Fourier级数.二、偶函数和奇函数的Fourier级数（一）区间[,]ll\uf02d上偶函数和奇函数的Fourier级数设f是以2l为周期的偶函数，或是定义在\uf05b\uf05d,ll\uf02d上的偶函数，则\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf02901cos2cos,0,1,2.,sin0,1,2,.lnlllnlnxafxdxllnxfxdxnllnxbfxdxnl\uf070\uf070\uf070\uf02d\uf02d\uf0fc\uf03d\uf0ef\uf0ef\uf0ef\uf0ef\uf03d\uf03d\uf0fd\uf0ef\uf0ef\uf0ef\uf03d\uf03d\uf03d\uf0ef\uf0fe\uf0f2\uf0f2\uf0f2\uf04c\uf04c(6)于是\uf028\uf02901cos2nnanxfxal\uf070\uf0a5\uf03d\uf02b\uf0e5\uf03a（7）其中na如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。同理，若f是以2l为周期的奇函数，或是定义在\uf05b\uf05d,ll\uf02d上的奇函数，则\uf028\uf029\uf028\uf02901cos0,0,1,2,,2sin0,1,2,.lnllnnxafxdxnllnxbfxdxnll\uf070\uf070\uf02d\uf0fc\uf03d\uf03d\uf03d\uf0ef\uf0ef\uf0fd\uf0ef\uf03d\uf03d\uf03d\uf0ef\uf0fe\uf0f2\uf0f2\uf04c\uf04c(8)于是\uf028\uf0291sin,nnnxfxal\uf070\uf0a5\uf03d\uf0e5\uf03a（9）其中nb如(8)所示，（9）的右边为正弦级数。（二）奇展开和偶展开:在实际应用中，有时需把定义在[0,]\uf070（或一般地\uf05b\uf05d0,l）上函数展开成余8洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案弦或正弦级数。则需对函数作相应的偶式或奇式延拓。例２设sin)(xxf\uf03d,\uf070\uf070\uf0a3\uf0a3\uf02dx.求f的Fourier级数展开式.例３把定义在],0[\uf070上的函数\uf0ef\uf0ef\uf0ee\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ec\uf0a3\uf03c\uf03d\uf03c\uf03c\uf03d.,0,,21,0,1)(\uf070xhhxhxxf(其中之一)0\uf070\uf03c\uf03ch展开成正弦级数.例４把函数xxf\uf03d)(在)2,0(内展开成:ⅰ>正弦级数;ⅱ>余弦级数作业教材P771,2,3,5,5,6.9洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案§3二元函数的极限教学目的掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．教学要求(1)基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．教学建议(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．教学程序一、二重极限与累次极限:定义l设二元函数f为定义在D上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数．若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈∪0(Po；δ)∩D时，都有f(P)-A＜ε,则称f在D上当P→P0时，以A为极限，记作.(1)在对于P∈D不致产生误解时，也可简单地写作.当P，P0分别用坐标(x，y)，(x0，y0)表示时，(1)式也常写作.例1依定义验证.证因为x2+xy+y2-710洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案=(x2-4)+xy-2+(y2-1)=(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)≤x-2x+y+2+y-1y+3.先限制在点（2，1）的δ=1的方邻域{（x，y）x-2＜1，y-1＜1}内讨论，于是有y+3=y-1+4≤y-1+4＜5x+y+2=(x-2)+(y-1)+5≤x-2+y-1+5＜7．所以x2+xy+y2-7≤7x-2+5y-1＜7(x-2+y-1).设ε为任给的正数，取δ=min(1，)，则当x一2＜δ,y-1＜δ,(x，y)≠（2，1）时，就有x2+xy+y2-7＜7·2δ=14δ＜ε.例2设f(x,y)=证明f(x,y)=0．证对自变量作极坐标变换x=rcos,y=rsin．这时(x，y)→(0，0)等价于对任何,都有r→0．由于f(x,y)-0==因此，对任何ε＞0，只须取δ=2，当0＜r=时，不管取什值都有f(x,y)-0<ε,即11洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归原则(而且证明方法也相似)．读者可通过它们进一步认识定义1中“”所包含的意义．定理16.5的充要条件是：对于D的任一子集E，只要Po是E的聚点，就有.推论1设E1D，P0是El的聚点.若不存在，则也不存在．推论2设E1，E2D，P0是它们的聚点，若存在极限,但A1≠A2，则不存在·推论3极限存在的充要条件是：对于D中任一满足条件Pn≠P。且的点列{Pn}，它所对应的函数列{f(Pn)}都收敛．下面两个例子是它们的应用．例3讨论f(x，y)=当(x，y)→(O，0)时是否存在极限．解当动点(x，y)沿着直线y=mx而趋于定点(0，0)时，由于此时f(x，y)=f(x，mx)=，因而有,这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在．例4二元函数12洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案如左图所示，当(x，y)沿任何直线趋于原点时，相应的f(x，y)都趋于零，但这并不表明此函数在(x，y)→(0，0)时极限存在．因为当点(x，y)沿抛物线y=kχ2(0