一维热传导方程的推导,一维热传导方程的推导过程

('我们从建立描述热能传递的热流方程开始。热能是由分子的不规则运动产生的。在热能流动中有两种基本过程：传导和对流。传导由相邻分子的碰撞产生，一个分子的振动动能被传送到其最近的分子。这种传导导致了热能的传播，即便分子本身的位置没有什么移动，热能也传播了。此外，如果振动的分子从一个区域运动到另一个区域，它会带走其热能。这种类型的热能运动称为对流。为了从相对简单的问题开始讨论，这里仅研究热流，在热流中，传导比对流显著得多。因此，我们主要考虑固体中的热流，当然，若流体（液体和气体）的速度充分小，流体的热传递也是以传导为主。模型建立一维杆中热传导方程的推导热能密度考虑一根具有定横截面积A的杆，其方向为x轴的方向（由x=0至x=L），如图1所示。设单位体积的热能量为未知变量，叫做热能密度：e(x,t)热能密度假设通过截面的热量是恒定的，杆是一维的。做到这一点的最简单方法是将杆的侧面完全绝热，这样热能就不能通过杆的侧面扩散出去。对x和t的依赖对应于杆受热不均匀的情形；热能密度由一个截面到另一个截面是变化的。图1热能从薄片流入和流出的一维杆热能考察杆介于x和之间的薄片，如图1所示。若热能密度在薄片内是常数，则薄片内的总能量是热能密度和体积的乘积。一般来说，能量密度不是常数，不过非常小时，e(x,t)在薄片内可以近似为常数，这样由薄片体积为，热能=热能守恒在x和之间的热能随时间的变化都是由流过薄片两端（x和）的热能和内部（正的或负的热源）产生的热能引起。由于假设侧面是绝热的，所以在侧面上没有热能变化。基本的热流过程可由文字方程表述为热能瞬时变化率=单位时间流过边界的热能+单位时间内部产生的热能这称作热能守恒。对小薄片，热能的变化率是，其中使用偏导数是由于x为固定的。热通量在一维杆中，热能的流向向右或向左。热通量是热通量（单位时间内热能流向单位表面积右边的热能量）.如果<0,这意味着热能流向左边。单位时间内流过薄片边界的热能是，由于热通量是单位表面积的流量，因此它必须与表面积相乘。如果>0和>0，如图1所示，则单位时间内流过x点的热流增加切片内的热能，而在点的热流减少热能。热源我们也考虑热能的内部来源：=单位时间在单位体积内产生的热能，这或许是由于化学反应或电加热造成的。对于薄片，在空间上近似为常数，故该薄片单位时间产生的热能近似为。热能守恒（薄片）热能变化率是由流过边界的热能和内部热源产生的热能造成的：（1）由于对小横截面薄片，许多量被近似为常数，方程（1）不是精确的。我们断言：当时，（1）会逐渐地精确。在给出详细的（和数学上严格的）推导之前，先解释一下当时，极限过程的基本思想。当时，（1）的极限给出的信息0=0没有意义。不过，如果先用去除，再取当时的极限，就得到（2）其中，常数横截面积被消去了。我们肯定这个结果是准确的（没有小误差），因此，用（2）中的=替代（1）中的。在的极限过程中，t是固定的。因此，由偏导数定义，（3）有必要对前面的负号作进一步的解释。例如，若对于，>0,则热通量是x的增函数。流向右边x=b点的热大于流向x=a点的热（假设）。所以（忽略源Q的影响），在x=a和x=b之间的热能一定是减少的。因此导致了（3）中的负号。温度和比热容我们通常用温度来描述物质，温度，而不是用物质的热能密度。18世纪中期，精确的实验仪器使物理学家认识到，将两种不同的物质从一个温度升高到另一个温度，需要的热能量是不相同的，这就有必要引入比热容（或热容量）：C=比热容（单位质量的物质升高一个单位温度所需要的热能）.一般而言，根据实验，物质的比热容c依赖于温度u.通常对于限制的温度区间，比热容大概与温度无关。不过，实验表明，升温不同的物质需要不同的热能量，由于要建立在各种情形下都正确的方程，这些情形包括一维杆的构成可能会随位置而改变，因此，比热容要依赖于x,.在许多问题中，杆都是由一种物质所组成的（均匀的杆），我们就定比热容c为常数。热能一个薄片的热能是。另一方面，它也定义为从基准温度升高到实际温度所需的能量。因为比热容与温度无关，单位质量的热能就是。这样我们需要引入质量密度：=质量密度（单位体积质量），允许它随x变化，这可能因为杆是由不均匀物质组成的缘故。薄片的质量是。因而，在任意薄切片内的热能是，结果是=.这样就解释了热能和温度之间的基本关系：（4）该公式表明：单位体积的热能等于单位质量单位度的热能乘以温度乘以质量密度（单位体积质量）.当用（4）消去热能密度后，热能守恒（3）变为（5）傅里叶定律我们需要一个关于热能流动对温度场依赖关系的表达式。下面，先总结一些我们熟悉的热流定性性质：1．若在某个区域内温度是常数，则没有热能流动。2．若存在温差，则热能从较热的区域流向较冷的区域。3．（对同一种物质）温差越大，热能的流动越大。4．即使是在相同的温差下，不同物质热能的流动是不同的。傅里叶（1768—1830）认识到了这四条性质，并把这些性质（和众多实验）总结为公式（6）这就是傅里叶热传导定律。其中是温度的导数；它是温度的斜率（作为一个固定t的x函数）；它表示（单位长度的）温差。方程（5）说明，热通量与（单位长度的）温差成比例。若温度u随x上升而上升（即温度向右更热），>0，则（由性质2）热能向左流动。这就解释了（6）中的负号。我们用表示比例系数。它测量物质的导热能力，称为导热系数，实验表明，不同的物质有不同的导热性能，与物质有关。越大，在相同温差下，热能流量越大，值低的物质导热性差（适用于住房隔热）。对一根由不同物质组成的杆，是x的函数。此外，实验表明，在不同的温度下，多数物质的导热能力是不同的，（x,u）.不过，就像在比热容c的情形一样，在具体问题中，对温度的依赖性常常不被看重。因此，假设导热系数只与x有关，（x）。事实上，我们通常只讨论均匀杆，其中中一个常数。热传导方程把傅里叶定律（6）带入热能守恒方程（5），就得到偏微分方程：（9）我们通常把热源Q看作是给定的，只有温度是未知的。有关的热系数都与物质有关，因而可能是x的函数。在均匀杆的情况，都是常数，偏微分方程（9）变为此外，若没有热源，Q=0，则用常数去除之，偏微分方程变为（10）其中常数k为称为热扩散率，即导热性系数除以比热容和质量密度的乘积，方程（10）常常称为热传导方程；它对应于无热源和恒定热条件的情形。如果热能开始集中中一个地方，则（10）描述的是热能如何扩展，一个通称为扩散的物理过程。除温度外的其他物理量也以此十分相同的方式平缓开来，也满足相同的偏微分方程（10）。因此，（10）也称作扩散方程。例如，化学物（香水和污染物）浓度在某些一维情况就满足扩散方程（10）。初始条件描述热能流量的偏微分方程（9）或（10），有关于时间的一阶导数，我们想预测未来的温度。由于热传导方程有一阶时间导数，必须给出一个初始条件（IC）(通常在t=0时)，初始温度。但是它可能不是一个常数，且只与x有关，所以，要给出初始温度分布，那么这些信息足够预测未来的温度吗？我们知道初始温度分布，知道温度按照偏微分方程（9）或（10）变化。我们还需要知道在两个边界x=0和x=L点发生的情况。不知道这些，我们就无法预测未来的温度。对应9）或（10）中的二阶空间导数，还需要两个条件，通常是一个边界点一个条件。',)