双曲线其标准方程,双曲线标准方程推导过程

('双曲线其标准方程学科:数学教学内容:双曲线及其标准方程【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F1.F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1.F2是焦点,两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距,用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时,曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时,曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时,动点的轨迹不再是双曲线,而是以F1.F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时,动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程-=1(a＞0,b＞0)焦点在_轴上的双曲线;-=1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较_2.y2的分母的大小,而是_2.y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上.本节学习方法:本节主要数学思想和方法:方程思想,利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法.定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样,都是解析几何的重要部分,双曲线的学习可通过与椭圆对比去掌握.它与直线.圆联系密切,涉及到距离公式.弦长问题,面积公式及方程中的韦达定理等知识,也是高考的重点内容.【重点难点解析】1.双曲线的定义,标准方程与椭圆类似,本小节在数学思想和方法上没有新内容,学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点,特别是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样,建立双曲线的标准方程是,从〝平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同,这个常数要大于0且小于｜F1F2｜)的点M的轨迹〞这个双曲线的定义出发,推导出它的标准方程.推导过程说明,双曲线上任意一点的坐标都适合方程-=1;但关于坐标适合方程-=1的点都在双曲线上,即完备性未加以证明.例1若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围是()A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线,则_2与y2项的系数的符号相反,即(2-m)(｜m｜-3)＜0,将问题转化为不等式的求解.答:A例2求与椭圆+=1共焦点,且过点(3,)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在_轴上,且焦距为8,∴c=4,设所求双曲线方程为-=1代入点(3,),得λ2=7,故所求双曲线方程为-=1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+=1,代入点(3,),得λ=16或λ=-7(舍),故所求双曲线方程为-=1.例3课本第108页习题8.3第一题:△ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是,求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得:-=1(_≠0).若将问题一般化:B(0,a).C(0,-a)kAB·kAC=,则顶点A的轨迹方程为:-=1(_≠0).若B(bcotφ,acosφ).C(-cotφ,-acscφ).kAB·kAC=,则顶点A的轨迹会是怎样?反之,双曲线-=1(_≠0)上任一点到B(0,a),C(0,-a)两点的连线的斜率之和,等于;若改变B.C的位置保持B.C两点关于原点对称于双曲线上,kAB·kAC=是否成立.总之,同学们在学习过程中要多动手.多思考,举一反三,做到〝以点代面,以少胜多〞.【难题巧解点拨】例1一动圆与圆(_+3)2+y2＝1外切又与圆(_-3)2+y2＝9内切,求动圆圆心轨迹方程.分析如图,设动圆M与⊙O1外切于A,与⊙O2内切于B,由位置关系可得数量关系:｜MO1｜＝｜MA｜+1｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解:如图,设动圆圆心M坐标为M(_,y),圆M与圆O1外切于A,与圆O2内切于B,则,MO1＝｜MA｜+1①,｜MO2｜＝｜MB｜-3②,①-②:｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知,M点轨迹是以O1(-3,0)O2(3,0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为:-＝1(_≥2)说明:在求轨迹方程时,要注意使用曲线的定义,此时的思路:位置关系(内切,外切)\ue03c数量关系(｜MO1｜＝r+r1,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径)曲线形状(写出标准方程),可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值,此时不含绝对值,要求｜MO1｜_gt;｜MO2｜,所以是双曲线的右支,而不是整个双曲线.例2过双曲线-＝1的右焦点作倾角为45°的弦,求弦AB的中点C到右焦点F的距离,并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立,求出A.B两点的坐标,再求其中点,由两点的距离公式求出｜CF｜.解:∵双曲线的右焦点为F(5,0),直线AB的方程为y＝_-5,故消去y,并整理得7_2+90_-369＝0③此方程的两个根_1._2是A.B两点的横坐标,设AB的中心点C的坐标为(_,y),则_＝＝＝-.C点的坐标满足方程②,故y＝--5＝-∴｜CF｜＝＝(5+)＝又设A点坐标为(_1,y1),B点坐标为(_2,y2),则y1＝_1-5,y2＝_2-5.∴y1-y2＝_1-_2,｜AB｜＝＝＝＝由方程③知_1+_2＝-,_1·_2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评:利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.【命题趋势分析】双曲线与直线.圆和椭圆联系密切,涉及到距离公式.弦长及面积公式.方程中的韦达定理和判别式的运用;还涉及到弦的中点轨迹问题.中点弦问题,对称问题与最值问题等都是高考的重要内容.如〝能力演练〞中有许多曾是高考题或样题,同学们在学习中应该重基础知识和基本的数学思想数学方法的运用.训练能力,创新思维,做到举一反三.触类旁通.【典型热点考题】例1设F1和F2为曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则求△F1PF2的面积.分析一依题意求出P点的纵坐标,据面积公式计算△F1PF2的面积.设P(_1,y1),由PF1⊥PF2得·=-1即y21=5-_21又_21-4y21=4联立解得y1=±∴=｜F1F2｜·｜y1｜=·2c·=1分析二运用双曲线定义解题由点P在双曲线上,知｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=4且｜PF1｜2+｜PF2｜2=20联立解得｜PF1｜·｜PF2｜=2∴=｜PF1｜·｜PF2｜=1例2已知l1.l2是过点P(-,0)的两条互相垂直的直线,且l1.l2与双曲线y2-_2=1各有两个交点,分别为A1.B1和A2.B2.(1)求l1的斜率k1的取值范围.(2)若｜A1B1｜=｜A2B2｜;求l1.l2的方程.分析设直线斜率为k,联立方程组求解.(1)因为若l1.l2中有一条斜率不存在,就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交,所以l1.l2的斜率k1.k2均不为零.设l1:y=k1(_+),l2:y=-(_+)把它们代入双曲线方程分别得(k21-1)_2+2k21_+2k21-1=0①(k21-1)_2-2_+k21-2=0②当k1=±1时,方程①.②均为一次方程不符合题意,所以,当k1≠±1时由①.②的判别式都大于零得k1∈(-,-)∪(,)且k1≠±1(2)由①.②可知｜A1B1｜=·=·｜A2B2｜=·∵｜A1B1｜=｜A2B2｜∴解得k1=±,k2=±∴所求直线方程为l1:y=(_+),l2:y=-(_+)或l1:y=-(_+),l2:y=(_+).例3如图,给出定点A(a,0),(a＞0)和直线l:_=-1.B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.分析设B(-1,y0),C(_,y),由角平分线的性质有=,当y0≠0时,又由平行线性质有===∴==即有==(易知y与y0-y同号,0＜_＜a)由=得a2(_+1)2=(a-_)2(1+y20)①又由=得y0=·y②由①.②消去y0并整理得(1-a)_2-2a_+(1+a)y2=0③当y0=0时易知点C即为原点,此时_=0,y=0,亦满足③,故所求点C的轨迹方程是:(1+a)_2-2a_+(1+a)y2=0(0≤_＜a)④(1)当a=1时,方程为y2=_(0≤_＜1)表示抛物线弧段.(2)当a≠1时,④变形为+＝1(0≤_＜a)当0＜a＜1时,方程④表示椭圆弧段;当a＞1时,方程④表示双曲线一支的弧段.【同步达纲检测】A级一.选择题1.设θ∈(,π)则方程_2·cosθ-y2secθ=1所表示的曲线是()A.焦点在_轴上的双曲线B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在_轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线2.如果双曲线-y2=1的两个焦点为F1.F2,A是双曲线上一点,且｜AF1｜=5,那么｜AF2｜等于()A.5+B.5+2C.8D.113.与两圆_2+y2=1和_2+y2-8_+7=0都相切的圆的圆心轨迹是()A.两个椭圆B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆+=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.-y2=1B.y2-=1C.-=1D.-=15.设动点P到定点F1(-5,0)的距离与它到定点F2(5,0)的距离的差等于6,则P点轨迹方程是()A.-=1B.-=1C.-=1(_≥3)D.-=1(_≤-3)二.填空题6.若椭圆m_2+ny2=1(0＜m＜n)和双曲线a_2-by2=1(a＞0,b＞0)有相同的焦点F1.F2,P是两曲线的一个交点,则｜PF1｜·｜PF2｜=.7.过点A(-2,4).B(3,-2)的双曲线的标准方程为.8.与双曲线16_2-9y2=-144有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程为.三.解答题9.已知点A(3,0),圆C:(_+3)2+y2=16,动圆P与圆C相外切并过点A,求动圆圆心P的轨迹方程.10.在双曲线_2-y2=1上求一点P,使它到直线y=_的距离为.AA级一.选择题1.直线l过双曲线-=1的下方焦点F1且与双曲线的下支交于A.B两点,F2是双曲线的另一个焦点,且｜AB｜=m,则△ABF2的周长为()A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线_2-y2=a2与曲线(_-1)2+y2=1恰好有三个不同的公共点,则实数a的值只能是()A.a=0B.a=±1C.0＜｜a｜＜1D.｜a｜＞13.若+=1表示双曲线,a为负常数,则m的取值范围是()A.(,-)B.(,-)C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-,)4.依次连接双曲线_2-y2=12与圆_2+y2=25的交点,则所成的图形是()A.三角形B.菱形C.矩形D.正方形5.斜率为2的直线与双曲线2_2-y2=2交于P.Q两点,则线段PQ的中点M的轨迹方程是()A.y=_B.y=_(｜_｜＞)C.y=_(｜_｜＞2)D.y=_(｜_｜≥)二.填空题6.已知B(-5,0),C(5,0)是△ABC的两个顶点,且sinB-sinC=sinA,则顶点A的轨迹方程是.7.已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的弦AB的中点为M,O为坐标原点,则直线OM和直线AB的斜率的乘积为.8.关于_的方程=_+b没有实数根,则实数b的取值范围是.三.解答题9.已知不论b取何实数,直线y=k_+b与双曲线_2-2y=1总有公共点,试求实数k的取值范围.10.双曲线3_2-y2=1上是否存在关于直线=2_对称的两点A.B?若存在,试求出A.B两点的坐标;若不存在,说明理由.【素质优化训练】1.平面内有一条定线段AB,其长度为4,动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3,O为线段AB的中点,则｜OP｜的最小值是()A.1B.C.2D.42.P为双曲线C上的一点,F1.F2是双曲线C的两个焦点,过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线,设垂足为Q,则Q点的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线3.给出下列曲线:①4_+2y-1=0;②_2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1,其中与直线y=-2_-3有交点的所有曲线是()A.①③B.②④C.①②③D.②③④4.若动圆P与两定圆(_+5)2+y2=1及(_-5)2+y2=49都相内切或都相外切,则动圆圆心轨迹方程是()A.-=1B.-=1(_＞0)C.-=1D.-=1(_＞0)5.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程m_-y+n=0与n_2+my2=mn所表示的示意曲线是()二.填空题6.已知双曲线_2-=1,过点P(2,1)作直线交双曲线于A.B两点,并使P为AB的中点,则｜AB｜=.7.若圆C过双曲线-=1的两焦点,且截直线y=-1所得弦长为8,则圆C的方程为.8.过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线-y2=1的弦所在直线方程为.三.解答题9.若双曲线y2-_2=1上的点P与其焦点F1.F2的连线互相垂直,求P点的坐标.10.设k和r是实数,且r＞0,使得:直线y=k_+1既与圆_2+y2=r2相切,又与双曲线_2-y2=r2有两个交点.(1)求证:-k2=1,且｜k｜≠1;(2)试问:直线y=k_+1能否经过双曲线_2-y2=42的焦点?为什么?【生活实际运用】活动1:求证直线y=k_+m与双曲线+=1相切的充要条件是:m2=a2·k-b2若过双曲线上一点P(_0,y0)斜率为k的切线为y=k_+y0-k_0,其中m=y0-k_.且b2_20-a2b2,联立可解得斜率k=(y≠0),代入切线方程可得过点P(_0,y0)双曲线的切线方程为-=1特别地,当y0=0时亦合上面的方程.活动2:运用上面结论可求过双曲线-=1上一点(_0,y0)的切线方程与法线方程,若双曲线方程为-=1时,过曲线上点(_0,y0)的切线和法线方程又是怎样?【知识验证实验】1.运用双曲线定义解方程｜｜_-3｜-｜_+3｜｜=2.解:该方程的解是以(-3,0),(3,0)为焦点,2为实轴长的双轴线与_轴交点的横坐标,其方程为_2-=1,令y=0得_=±1,即原方程的解为_=±1.2.运用双曲线图形解无理不等式2＞_+1解:令y1=2,y2=_+1,即_2-=1(y1≥0),在同一坐标系中画出两图形,使得双曲线的部分在直线部分上方的_的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞,-1).【知识探究学习】1.设声速为a米/秒,在相距10a米的A.B两监听室中,听到一爆炸声的时间差为6秒,且纪录到B处的声强是A处的4倍,若已知声速a=340米/秒,声强与距离的平方成反比,试确定爆炸点P到AB的中点M的距离.解:以AB所在直线为_轴,以线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则A(-5a,0),B(5a,0),P(_,y),｜PA｜-｜PB｜=6a,到A.B两点距离差为6a的点在双曲线,-=1(_≥3a)上①,又B处的声强是A处声强的4倍,∴｜PA｜2=4｜PB｜2,即(_+5a)2+y2=4［(_-5a)2+y2］,3_2+3y2-50a_+75a2=0②,由①.②消去y,得25_2-150a_+81a2=0,_=a或_=a(舍去),y=a,∴｜PM｜==a=340(米),答:P点到AB中点M的距离为340米.2.如图所示,某农场在P处有一肥堆,今要把这堆肥沿道路PA或PB送到大田ABCD中去,已知AP=100m,PB=150m,∠APB=60°,能否在大田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿PA送肥较近,而另一侧的点沿PB送肥较近?如能,请确定这条界线.解题思路:大田ABCD中的点分成三类:第一类设PA送肥较近,第二类沿PB送肥较近,第三类沿PA和PB送肥一样远近,第三类构成第一类.第二类点的界线,即我们所要求的轨迹,设以AB所在直线为_轴,AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设M为界线所在曲线上的一点,则满足｜PA｜+｜AM｜=｜PB｜+｜BM｜,于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50.可知M点的轨迹是以A.B为焦点的双曲线一支其方程可求得为-=1.(0≤y≤60,25≤_≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.参考答案:【同步达纲检测】A级1.D2.D3.C4.B5.C6.-7.-=18.-=19.解:设P(_,y),依题意有｜PC｜=｜PA｜+4,∴P点的轨迹是以C(-3,0),A(3,0)为焦点,且实轴长为4的双曲线的右支.其方程为-=1(_≥2)10.解:设P(cscθ,cotθ),则=∴,=±2,∴tan=±2,由万能公式求得P(±,±)AA级1.B2.A3.B4.C5.B6.-=1(_＜-3)7.8.(-∞,-1)∪［9,1］9.解:联立方程组消去y得(2k2-1)_2+4kb_+2b2+1=0,依题意有△=(4kb)2-4(2k2-1)(2b2+1)=-4(2k2-2b2-1)＞0,对所有实数b恒成立,∴2k2-1＜0,得-＜k＜10.解:设AB:y=-_+m,代入双曲线方程得11_2+4m_-4(m2+1)=0,这里△=(4m)2-4_11［-4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0恒成立,设A(_1,y1),B(_2,y2),AB的中点为M(_0,y0,)则_1+_2=-,∴_0=-,y0=-_0+m=,若A.B关于直线y=2_对称,则M必在直线y=2_上,∴=-得m=1,由双曲线的对称性知,直线y=-_与双曲线的交点的A.B必关于直线y=2_对称.∴存在A.B且求得A(,-),B(-,)【素质优化训练】1.B2.B3.D4.C5.C6.47._2+(y-4)2=418.3_+4y-5=09.解:设P(_,y),∵F1(0,-),F2(0,),∴=,=,∵·=-1,即_2+y2=1,又y2-_2=1,∴_=±,y=±,∴P的坐标为(,),(,-),(-,)和(-,-)10.解(1)因为直线y=k_+1与圆_2+y2=r2相切,所以有=r,∴=r2,∵r2≠0,∴-k2=1,又由于直线y=k_+1与双曲线_2-y2=r2相交,故交点坐标(_,y)满足方程组,将①代入②得(1-k2)_2-2k_-(1+r2)=0③,因直线与双曲线有两个交点,且对任意实数k,直线不平行y轴,故③有两个不同的实数根,因此1-k2≠1,∴｜k｜≠1(2)双曲线_2-y2=r2的过点是F1(-r,0),F2(r,0),若直线y=k_+1过点F1,则-rk+1=0,即k=,又由(1)结论-k2=1得k2=1与｜k｜≠1矛质.故直线y=k_+1不可能过双曲线_2-y2=r2的左焦点,同理可得,直线y=k_+1也不可能过双曲线_2-y2=r2的右焦点.',)