高数二重积分习题解答,高数二重积分例题详解

("..第9章重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1)上半球体：；(2)由抛物面，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体解答：(1)；(2)所属章节：第九章第一节难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1)，其中D为；(2)，其中D为解答：(1)；(2)所属章节：第九章第一节难度：一级3．一带电薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为，且在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q．解答：所属章节：第九章第一节难度：一级4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力’...解答：所属章节：第九章第一节难度：一级5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1)与，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的区域；(2)与，其中D是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1；(3)与，其中D是任一平面有界闭区域；(4)与，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1；解答：(1)在区域D内部，，所以I1>I2；(2)在区域D内部，，故，所以I1>I2；？(3)由于，所以I1I2所属章节：第九章第一节难度：一级6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值(1)；(2)；(3)；(4)’...解答：(1)由于的面积为32，在其中，而等号不恒成立，故；(2)由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故；(3)由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将改为，则区域面积为200，结论为(4)由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故．所属章节：第九章第一节难度：二级7．设f(x，y)是连续函数，试求极限：解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得．所属章节：第九章第一节难度：二级8．设f(x，y)在有界闭区域D上非负连续，证明：’...(1)若f(x，y)不恒为零，则；(2)若，则f(x，y)≡0解答：(1)若f(x，y)不恒为零，则存在，，利用连续函数的保号性，存在的一个邻域，在其上恒有，于是，而，所以；(2)假若f(x，y)不恒为零，则由上题知，矛盾，故f(x，y)≡0．所属章节：第九章第一节难度：二级9．计算下列二重积分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)解答：(1)；(2)；’...(3)；(4)；(5)．所属章节：第九章第二节难度：一级10．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分化为两种次序不同的二次积分：(1)D由曲线y=lnx，直线x=2及轴所围成；(2)D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成；(3)D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成；(4)D由曲线y=x3，y=x所围成；(5)D由直线y=0，y=1，y=x，y=x–2所围成解答：本题图略，建议画出(1)；(2)；(3)；(4)；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D由曲线y=x3，y=x所围成”改为“D由曲线所围成”，则答案为原参考答案；(5)所属章节：第九章第二节难度：一级11．计算下列二重积分：’...(1)，D由曲线x=2，y=x，xy=1所围成；(2)，D由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；(3)，D由抛物线和y=x2围成；(4)，D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成；(5)，D由直线y=x，y=2和曲线x=y3所围成解答：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．所属章节：第九章第二节难度：二级12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)：(1)；(2)；(3)；(4)；’...(5)(6)解答：本题图略，建议画出(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)所属章节：第九章第二节难度：一级13．计算下列二次积分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)解答：(1)；’...(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．所属章节：第九章第二节难度：二级14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性，计算下列二重积分：(1)；(2)；(3)；(4)解答：(1)设，则；(2)；(3)由于积分区域关于对称，被积函数是关于y的奇函数，故；’...(4)设，则．所属章节：第九章第二节难度：二级15．利用极坐标化二重积分为二次积分，其中积分区域D为：(1)；(2)；(3)；(4)(5)解答：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)所属章节：第九章第二节难度：一级16．利用极坐标计算下列二重积分：(1)；’...(2)；(3)；(4)；(5)(6)，D：第一象限中由圆及直线所围成．解答：(1)；(2)；(3)；(4)；注：本小题与第9大题第（5）小题相同．(5)；(6)．所属章节：第九章第二节难度：二级17．设r，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序：’...(1)；(2)；(3)；(4)；解答：(1)；(2)；(3)；(4)．所属章节：第九章第二节难度：一级18．计算下列二次积分：(1)；(2)；(3)；(4)．解答：(1)；’...(2)；(3)；(4)所属章节：第九章第二节难度：二级19．计算下列二重积分：(1)；(2)；(3)；(4)．解答：(1)；(2)；(3)；(4)所属章节：第九章第二节难度：三级20．选择适当坐标计算下列各题：(1)，其中D是由双曲线xy=1与直线y=x，x=2围成；’...(2)，其中；(3)，其中D是直线y=x，y=x+a，y=a，y=3a(a>0)围成；(4)，其中．解答：(1)；注：本小题与第11大题第（1）小题重复．(2)；(3)；(4)．所属章节：第九章第二节难度：二级21．用适当的变量变换，计算下列二重积分：(1)，中D是椭圆形闭区域位于第一象限内的部分；(2)，D是由双曲线xy=1，xy=2与直线x=y，x=4y所围成的在第一象限内的闭区域；(3)，D是椭圆形闭区域；(4)，D是闭区域x+y≤1；(5)，其中D是以(π，0)，(3π，2π)，(2π，3π)，(0，π)为顶点的平行四边形；’...参考答案：(1)(提示：作变换)；(2)(提示：作变换)；(3)(提示：作变换)；(4)(提示：作变换)；(5)78π5(提示：作变换)解答：(1)作变换，则，；(2)作变换，则，；(3)作变换，则，；(4)作变换，则，；(5)作变换，则．（原参考答案有误？）所属章节：第九章第二节’...难度：三级22．利用二重积分求下列平面区域的面积：(1)D由曲线及x=1围成；(2)D由曲线y=x+1，y2=–x–1围成；(3)D由双纽线围成；(4)；(5)；(6)D由曲线围成；(7)D由曲线y=x3，y=4x3，x=y3，x=4y3所围成的第一象限部分参考答案：(1)；(2)；(3)4；(4)；(5)；(6)；(7)解答：(1)；(2)；(3)双纽线用极坐标表示，；(4)；(5)；(6)曲线用极坐标表示，；(7)’...？所属章节：第九章第二节难度：二级23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：(1)Ω为第一象限中由圆柱面y2+z2=4与平面x=2y，x=0，z=0所围成；（注：象限应为卦限？）(2)Ω由平面y=0，z=0，y=x及6x+2y+3z=6围成；(3)；(4)；参考答案：(1)；(2)；(3)；(4)解答：(1)；(2)；(3)；(4)所属章节：第九章第二节难度：二级24．设f(x)在[0，1]上连续，D由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u=x+y，然后交换积分顺序．所属章节：第九章第二节’...难度：三级25．设f(x)连续，证明：解答：作变量变换，则，．所属章节：第九章第二节难度：三级26．设f(x)在[a，b]上连续，证明：解答：设区域，则．所属章节：第九章第二节难度：三级27．设f(x)在[a，b]上连续，f(x)>0，证明：解答：设区域，则，，所以．’...所属章节：第九章第二节难度：三级28．在曲线族y=c(1–x2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小解答：曲线在(1，0)处的法线为，由对称性知所围图形面积为，令，得唯一驻点（负值舍去）又由于该实际问题的最小值存在，故当时，所围图形面积最小，为．所属章节：第九章第二节难度：三级29．设f(x)是连续函数，区域D由y=x3，y=1，x=–1围成，计算二重积分解答：将D分成两块，记为，则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得．所属章节：第九章第二节难度：三级30．设f(x)、g(x)在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：解答：设，则’...，类似地有，两式相加，并利用条件f(x)、g(x)在[0，1]上连续且都是单调减少的，就有，所以，即．所属章节：第九章第二节难度：三级31．设f(x)在[0，1]上连续，并设，求解答：设，则．所属章节：第九章第二节难度：三级32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，1]解答：，类似，．所属章节：第九章第三节难度：一级’...33．将三重积分化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是：(1)；(2)Ω由x2+y2=4，z=0，z=x+y+10所围成；(3)(4)Ω：由双曲抛物面z=xy及平面x+y–1=0，z=0所围成的闭区域解答：(1)；(2)；(3)；(4)双曲抛物面’...所属章节：第九章第三节难度：二级34．计算下列三重积分：(1)，其中Ω是在平面z=x+2y下放，xOy平面上由y=x2、y=0及x=1围成的平面区域上方的立体；(2)，其中Ω是在平面x+y+z=1与三个坐标面围成；(3)，其中(4)，其中Ω是第一象限中由曲面y2+z2=9与平面x=0、y=3x和z=0所围成的空间立体；(5)，其中；(6)，其中Ω是由抛物面x=4y2+4z2与平面x=4围成’...参考答案：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)0；(6)解答：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)0；(6)所属章节：第九章第三节难度：二级35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题：(1)计算三重积分，其中Ω是由锥面和平面z=π围成；(2)设Ω是由单叶双曲面x2+y2–z2=R2和平面z=0，z=H围成，试求其体积；(3)已知物体Ω的底面是xOy平面上的区域，当垂直于x轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为，试求其质量；(4)试求立体的形心坐标参考答案：(1)π2–4π；(2)；(3)；(4)解答：(1)；与原参考答案不同(2)；’...(3)；(4)由对称性，，，，即所求形心坐标为．所属章节：第九章第三节难度：二级36．利用柱面坐标计算下列三重积分：(1)，其中；(2)，其中Ω由柱面x2+(y–1)2=1及平面z=0，z=2所围成；(3)，其中；(4)，其中；(5)，其中Ω为z≥0上平面y=0、y=z及柱面x2+z2=1围成解答：(1)；(2)由于被积函数、积分区域关于为奇，故；(3)；(4)；’...(5)所属章节：第九章第四节难度：三级37．利用球面坐标计算下列三重积分：(1)，其中；(2)，其中Ω是第一象限中球面与球面之间的部分；卦限？(3)，其中Ω是单位球体在第五象限部分；(4)，其中Ω是；(5)，其中Ω是锥面上方与上半球面ρ=2所围立体解答：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．’...所属章节：第九章第四节难度：三级38．将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图：(1)；(2)；(3)；(4)；参考答案：(1)；(2)；(3)；(4)解答：本题图略(1)用柱面坐标，；(2)用柱面坐标，；(3)用球面坐标，；(4)用球面坐标，．所属章节：第九章第四节难度：三级39．选择适当坐标计算下列三重积分：(1)，其中Ω由柱面x2+y2=8，椭圆锥面及平面z=0所围成；’...(2)，其中；(3)，其中Ω由曲面及平面z=0所围成；(4)，其中Ω由曲面及平面z=1所围成；(5)，其中Ω是两个球体与的公共部分解答：(1)用柱面坐标，(2)用柱面坐标，；(3)用柱面坐标，；(4)用球面坐标，；(5)用柱面坐标，两球面的公共部分在xOy面上的投影x2+y2≤(√32R)2，在柱面坐标下积分区域可表示为Ω:0≤θ≤2π,0≤ρ≤√32R,R−√R2−ρ2≤z≤R√R2−ρ2，所以’...=2π∫0√32R13[(R2−ρ2)32−(R−√R2−ρ2)3]ρdρ=59480πR5．注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，．所属章节：第九章第四节难度：三级40．利用三重积分求所给立体Ω的体积：(1)Ω由柱面x=y2和平面z=0及x+z=1围成的立体；(2)Ω由抛物面z=x2+y2和z=18–x2–y2围成的立体；(3)Ω为圆柱体r≤acosθ内被球心在原点、半径为a的球所割下的部分解答：(1)；（2）;（3）.所属章节：第九章第四节难度：二级41．设Ω是Oxyz坐标系中体积为V=5的有界闭区域，Ω为Ω在变换u=4x+4y+8z，v=2x+7y+4z，w=x+4y+3z下的有界闭区域，试求Ω的体积V解答：在变换u=4x+4y+8z，v=2x+7y+4z，w=x+4y+3z下，，所以V=20V=100．所属章节：第九章第四节难度：二级’...42．计算三重积分解答：作变换，则，．所属章节：第九章第四节难度：三级43．计算三重积分解答：作变换，则，．所属章节：第九章第四节难度：三级44．计算平面6x+3y+2z=12在第一象限中的部分的面积参考答案：14解答：平面方程，，投影面积4，，．所属章节：第九章第五节难度：二级45．求球面含在圆柱面内部的曲面面积解答：由对称性，设，，则’...，．所属章节：第九章第五节难度：二级46．计算旋转抛物面2z=x2+y2被柱面(x2+y2)2=x2–y2所截下部分的曲面面积解答：柱面投影曲线方程化为，用极坐标计算曲面面积，，．所属章节：第九章第五节难度：二级47．求双曲抛物面z=y2–x2夹在圆柱面x2+y2=1和x2+y2=4之间部分的曲面面积解答：曲面方程，投影区域为圆环域，，．所属章节：第九章第五节难度：二级48．计算由球面和旋转抛物面所围成立体的表面积参考答案：解答：上半曲面方程，投影区域为圆环域，，’...；类似，下半曲面面积，；所以所求总的曲面面积为．所属章节：第九章第五节难度：二级49．求由圆柱面、平面4y+3z=12和4y–3z=12所围成立体的表面积解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积，另一块为侧面，面积记为，整个立体的表面积．先计算，由于对应曲面方程为，，为投影区域，，所以，再计算，由于对应曲面方程之一为，，为投影区域，，所以，于是，总面积为．所属章节：第九章第五节难度：三级50．设两个圆柱半径相等，轴相互垂直，求它们所围立体的表面积’...解答：设两个圆柱面的方程为，由对称性，只要计算出立体在第一卦限部分上面部分面积，再乘以16即可，由于，所以．所属章节：第九章第五节难度：二级51．设平面薄片所占的闭区域D是由直线x+y=2，y=x和x轴所围成，它的面密度ρ(x)=x2+y2，求该薄片的质量解答：所属章节：第九章第五节难度：二级52．求占有下列区域D的平面薄片的质量与重心(质心)：(1)D是以(0，0)，(2，1)，(0，3)为顶点的三角形区域，ρ(x，y)=x+y；(2)D是第一象限中由抛物线y=x2与直线y=1围成的区域，ρ(x，y)=xy；(3)D由心脏线r=1+sinθ所围成的区域，ρ(x，y)=2；(4)解答：(1)，，，即所求平面薄片的质量为6，质心坐标为；(2)，’...，，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为、；(3)，由对称性知，，，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为；(4)将区域分为两个部分，记为，此处，，此处，故，，，即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为．所属章节：第九章第五节难度：二级53．求均匀平面薄片绕极轴的转动惯量’...解答：所属章节：第九章第五节难度：二级54．求底长为a，高为h的等腰三角形薄片，绕其高的转动惯量(设密度为1)解答：将高放在轴上，以底的中心为原点建立坐标系，问题转化为求密度为1、占有区域的物体绕轴的转动惯量，即．所属章节：第九章第五节难度：二级55．利用三重积分计算下列立体Ω的体积和形心：(1)；(2)Ω为锥面上方和球面ρ=4cosφ下方所围的立体．参考答案：(1)162π，(0，0，15)；(2)10π，(0，2，1)解答：(1)立体体积为，由对称性知，计算得，即质心为(0，0，15)．(2)立体体积为，由对称性知，计算得，即质心为．注：此处第二小题答案与原参考答案不同，是否是由于球面坐标的定义不同？所属章节：第九章第五节难度：二级’...56．求一半径为a的半球体的质量与重心．假设其上任一点密度与该点到底面之距离成正比．解答：不妨假设半球体以表示，则它的质量为，由对称性知，，即重心为．注：书中涉及的“重心”是否都应该改为“质心”？所属章节：第九章第五节难度：二级57．设半径为R的非均匀球体上任一点的密度与球心到该点的距离成正比，若球体的质量为M，求它对于直径的转动惯量．解答：不妨假设球体以表示，则球体的质量为，它对于直径的转动惯量为，两式联立，即得．所属章节：第九章第五节难度：二级58．求均匀物体：关于Oz轴的转动惯量．解答：设μ为物体的密度，则．所属章节：第九章第五节’...难度：二级59．设物体所占区域为，其密度为常数．已知Ω关于x轴及z轴的转动惯量相等，试证明．解答：由于密度为常数，不妨设为1，Ω关于x轴及z轴的转动惯量分别为,，由条件知它们相等，建立等式，即可解得．所属章节：第九章第五节难度：二级60．求高为h，半顶角为α，密度为常数μ的均匀圆锥体对位于其顶点的一单位质量质点的引力解答：设圆锥体的顶点在下，设为坐标原点，轴为中心轴，则由对称性知，所求引力在轴上的分量为．这里取正号，表示方向朝上，k为引力常数．所属章节：第九章第五节难度：二级61．求一密度为常数ρ的均匀柱体x2+y2=R2(0≤z≤h)对于位于点M0(0，0，a)(a>h)处的单位常数质量的质点的引力解答：由对称性及立体密度均匀知，，所求引力在轴上的分量为．这里取负号，表示方向朝下，k为引力常数．所属章节：第九章第五节难度：三级’...62．求一空间闭区域Ω，使三重积分为最大解答：由于被积函数，要使三重积分为最大，应当，因此要求，设，则在内部，在外部，对任何其它的空间闭区域，如果，，如果，，如果与相交或相离，也有类似结果．所以所求空间区域就是．所属章节：第九章第五节难度：三级63．求曲面和坐标面围成的立体区域之体积解答：所求立体体积为．所属章节：第九章第五节难度：二级64．设f(x)是连续函数，而，求F'(t)解答：,’...求导得．所属章节：第九章第五节难度：三级65．设f(x)是连续函数，，其中，求解答：利用柱面坐标将三重积分化为三次积分，，所以，．所属章节：第九章第五节难度：三级66．求极限解答：利用球面坐标将三重积分化为三次积分，再取极限．所属章节：第九章第五节难度：三级’.",)