第二节-二重积分的计算法,第二节二重积分的计算法

('第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算法第二节二重积分的计算方法教学目的：利用直角坐标系把二重积分化为二次积分教学重难点：将积分区域用不等式组表示教法:讲授课时:4仅仅依靠二重积分的定义和性质是不可能计算一般二重积分的。本节介绍一种二重积分的计算方法，它将二重积分分为两个单积分（即两个定积分）。1、用直角坐标系计算二重积分我们首先来考虑直角坐标系下面积元素d?的表达形式。在二重积分的定义中对区域d的分割是任意的，极限lim?f(?i,?i)??i都存在，那么对??0i？1n该区域的特殊分割也应存在该限制。因此，在直角坐标系中，我们使用平行于x轴和y轴的两组直线将区域D划分为许多小区域（图10-4）。除了靠近区域D边界曲线的一些小区域外，其余区域都是小矩形区域。当这些小区域的直径最大时？？当值为0时，靠近区域D边界的这些不规则小区域的面积之和趋于0。因此，第i个小矩形区域？？I区??i??xj??yk。因此，直角坐标系下面积元素D所以二重积分的直角坐标形式是??f(x,y)d????f(x,y)dxdy。dd由二重积分的几何意义知道，如果f(x,y)?0，??f(x,y)d?的值等于一底面为D，表面为Z？F（x，y）是弯曲顶部圆柱体的体积。其次，利用定积分的有限元方法推导了二重积分的计算公式。若积分区域d可用不等式组表示为A.十、B（x）?？Y（x）2号？1如图10-5所示，选择x作为积分变量，x？[a，b]，有[x，x？DX]单元格吗？[ab]。在x轴上分别过点x、x?dx作垂直于x轴的平面，设a(x)表示过点x垂直x轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，则小薄片的体积近似等于以a(x)为底、dx为高的柱体的体积，即体积元素dv?a(x)dx该截面是一个区间为[？1（x），？2（x）]的截面，其底边和曲线Z？F（x，y）（x固定）是一个带弯曲边的弯曲梯形，所以a(x)???2(x)f(x,y)dy1.（x）所以??f(x,y)d???aa(x)dx=?a[??2(x)f(x,y)dy]dx，1dbb？（x）即??f(x,y)d???a[??2(x)f(x,y)dy]dx。（1）1db？（x）可以看出，二重积分的计算可以转化为两个二次积分。在第一次积分中，以x为常数，对变量y进行积分；第二次是对变量x进行积分。这种先积分一个变量，然后再积分另一个变量的方法称为重复积分（或二次积分）。公式（1）也称为先积y再积X的逐次积分公式，通常写为？？f（x，y）d？？？adx？？2（x）f（x，y）dy1db?(x)同理，若积分区域d可用不等式组表示为CYD（y）?？十、（y）2号？1二重积分？？f（x，y）d？它可以转化为X在y之前的连续积分d??f(x,y)d???cdy??2(y)f(x,y)dx。1dd？（y）稍后，我们将图10-6所示的积分区域（两条边垂直于x轴）称为x型区域，将图10-7所示的积分区域（两条边垂直于y轴）称为y型区域。将二重积分解为连续积分的关键是根据给定的积分区域D确定两个积分的上限和下限第一步在平面直角坐标下，画出积分区域d的图形；第二步是根据区域D的图形判断区域的类型，然后用一组不等式表示区域D；第三步根据上述的不等式组，将二重积分化为累次积分；第四步计算累次积分。例1计算？？（1？x？2y）dD在哪里是x？1，x？3，y？？1，y？1研究所d围成的区域。Cd）一般来说，如果积分区域d由X组成？a、x？b、是吗？c、是吗？D（a？B），封闭的矩形区域，然后??f(x,y)d?=?adx?cf(x,y)dy=?cdy?af(x,y)dx。Dbddb示例2计算？？xyd其中D是直线y？1、x？2和y？由X关闭d区域。上述两个例子表明，积分阶的变化与二重积分的计算几乎没有关系。但有时，由于积分区域D的形状，一阶比另一阶简单得多。例3试将??f(x,y)d?化为两种不同次序的累次积分。其中，d是由阿迪？x、是吗？2.由X轴和X轴包围的封闭区域。例3中，如果先积y后积x，需要计算两个累次积分；如果先积x后积y，只需要计算一个累次积分。因此，在化二重积分为累次积分时，为了计计算很简单。根据积分区域D的形状，选择适当的连续积分顺序。例4计算??(x?y)d?，其中d是由抛物D线Y2？X和直线y？十、2.封闭区域。该解决方案首先绘制积分区域D的图10-11和边界曲线的交点（1，-1）、（4,2）。从图中可以看出，用Y型区域的不等式系统来表示区域D更简单，即??1?y?2。?2y?x?y?2?于是2岁？2.（x？y）d？=？？1[？y2（x？y）dx]dyd212=??1(x2?xy)y?dy2y2123=??1(y2?4y?2?y4?y3)dy22111=（y3？2y2？2y？y5？y4）2？一21049。20如果先积y后积x，应如何计算这个二重积分呢？请读者思考，并写=9个连续积分。例5计算??dsinxd?，其中d是由y?x及y?x2所围成的闭区域。x解首先画出积分区域d。它既是x型区域，又是y型区域。sinxdx不是初等函数，所以求不出结果。因x此只能先积y后积x，将积分区域表示成y型区域的不等式组如果你先积X，然后积y，因为？？0x？1.2倍？Y十、因此1xsinxdy]dx??xd?=?0[?x2xdsinx=?0(1?x)sinxdx=-?0(1?x)dcosx=?（1？x）cosx10？？0cosxdx=1?sin1。综上所述，积分阶数的选择不仅要考虑积分区域的形状，还要考虑积分函数的特征。在能够计算二重积分的前提下，计算应该尽可能简单。2、用极坐标计算二重积分1111、变换公式根据二重积分的定义lim?f(?i,?i)??i??f(x,y)d????0di?1n本文研究了极坐标系下这个和极限的形式。以0极为中心的同心圆射线族r?常数以及从极点出发的一族??常数，将d分成一个小的封闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域??i的面积可如下计算1121??我（ri？？ri）2？？我里？？我（2ri？？ri）？里？？i222ri?(ri??ri)??ri??i?ri?ri??i2式中，RI表示两个相邻圆弧半径的平均值。(数学上可以证明:包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零,因此,这样的一些小区域可以略去不计)在小范围内？？从I中取一个点（RI，I），并将该点的直角坐标设置为（？I，I），根据',)