二重积分极坐标,二重积分极坐标转换公式

('重积分§9.1二重积分的概念与性质教学目的：在深刻理解的基础上熟练掌握二重积分的概念、性质教学重点：二重积分的概念教学难点：二重积分概念的理解教学内容：一、二重积分的概念1、曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积可以这样来计算:(1)、用任意一组曲线网将区域分成个小区域,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体。（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)从而(将化整为零)(2)、由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是(以不变之高代替变高,求的近似值)(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为(积零为整,得曲顶柱体体积之近似值)(4)、为得到的精值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设个小区域直径中的最大者为,则(取极限让近似值向精确值转化)2、平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的区域,它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。将分成个小区域用记的直径,既代表第个小区域又代表它的面积。当很小时,由于连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,那么第小块区域的近似质量可取为于是两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念___二重积分。3、二重积分的定义设是闭区域上的有界函数,将区域分成个小区域,其中:既表示第个小区域,也表示它的面积,表示它的直径。作乘积作和式若极限存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作。即其中:称之为被积函数,称之为被积表达式,称之为面积元素,称之为积分变量,称之为积分区域,称之为积分和式。4、几个注意事项(1)、二重积分的存在定理若在闭区域上连续,则在上的二重积分存在。声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。(2)、中的面积元素象征着积分和式中的。由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为。(3)、若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1、【线性性质】其中:是常数。2、【对区域的有限可加性】若区域分为两个部分区域,则3、若在上,,为区域的面积,则几何意义:高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4、若在上,,则有不等式特别地,由于，有5、【估值不等式】设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则6、【二重积分的中值定理】设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得【例1】估计二重积分的值,是圆域。解:求被积函数在区域上可能的最值是驻点,且；在边界上,,,于是有[例2]比较积分，的大小，其中是由直线和所围成的。解：因为积分域在直线的下方，所以对任意点，均有，从而有，而，故由二重积分的性质得。小结二重积分的定义（和式的极限）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）二重积分的性质§9.2二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。讨论中,我们假定；假定积分区域可用不等式表示,其中,在上连续。据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有(1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果(它是的函数)再对从到计算定积分。这个先对,后对的二次积分也常记作在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的。例如:计算解:类似地,如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续,在上连续,则(2)显然,(2)式是先对,后对的二次积分。二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型(或II型)区域,用平行于轴(轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。2、积分限的确定二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法--几何法。画出积分区域的图形(假设的图形如下)在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。【例1】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。类似地,【例2】计算,其中是由抛物线及直线所围成的区域。【例3】求由曲面及所围成的立体的体积。解:1、作出该立体的简图,并确定它在面上的投影区域消去变量得一垂直于面的柱面,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域2、列出体积计算的表达式3、配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算而由,的对称性有所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有现研究这一和式极限在极坐标中的形式。用以极点为中心的一族同心圆以及从极点出发的一族射线,将剖分成个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。(数学上可以证明:包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零,因此,这样的一些小区域可以略去不计)在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有于是即由于也常记作,因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式(1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。(1)式的记忆方法:2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分,同样可以化归为二次积分来计算。【情形一】积分区域可表示成下述形式其中函数,在上连续。则【情形二】积分区域为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式(即极点在积分区域的边界上)。故【情形三】积分区域为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形(极点包围在积分区域的内部),可剖分成与,而故则由上面的讨论不难发现,将二重积分化为极坐标形式进行计算,其关键之处在于:将积分区域用极坐标变量表示成如下形式下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。【例4】将下列区域用极坐标变量表示1、2、3、Ê先画出区域的简图,据图确定极角的最大变化范围；Ë再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围。注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。利用此题结果可求出著名概率积分。而被积函数满足,从而以下不等式成立，再利用例二的结果有,,于是不等式可改写成下述形式故当时有,即。3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(含,为实数)。【例6】计算解此积分区域为区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为小结二重积分计算公式直角坐标系下X—型Y—型极坐标系下§9.3二重积分的应用教学目的：能利用二重积分解决数学、物理、力学中的某些问题，如曲面面积、重心、转动惯量、引力等教学重点：应用二重积分计算曲面面积教学难点：二重积分的物理应用教学内容：定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1、所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时,所求量相应地分成许多部分量,且)。2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时,相应的部分量可近似地表示为其中,称为所求量的元素,并记作。(注:的选择标准为:是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)3、所求量可表示成积分形式一、曲面的面积设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面,该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面在点处的法线向量(指向朝上的那个)为它与轴正向所成夹角的方向余弦为而所以这就是曲面的面积元素,故故【例1】求球面含在柱面()内部的面积。解:所求曲面在面的投影区域曲面方程应取为,则,曲面在面上的投影区域为据曲面的对称性,有若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有或二、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心其质点系的重心坐标为,2、平面薄片的重心设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。这就是力矩元素,于是又平面薄片的总质量从而,薄片的重心坐标为特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则十分显然,这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定,因此,习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆,()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。解:由的对称性可知:而故三、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有个质点,它们分别位于点处,质量分别为。设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续。现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量。解:转动惯量元素为四、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为故小结几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力§9.4三重积分的概念及其计算法教学目的：在深刻理解的基础上熟练掌握三重积分的概念、性质、计算教学重点：利用直角坐标计算三重积分教学难点：用先二后一的方法计算三重积分教学内容：一、三重积分的定义设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域其中表示第个小区域,也表示它的体积。在每个小区域上任取一点,作乘积作和式以记这个小区域直径的最大者,若极限存在,则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作,即其中叫体积元素。自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。二、三重积分的存在定理若函数在区域上连续,则三重积分存在。特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。三、三重积分的物理意义如果表示某物体在处的质量密度,是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式就是物体质量的近似值,该和式当时的极限值就是该物体的质量。故特别地,当时,四、三重积分的计算法假设积分区域的形状如下图所示在面上的投影区域为,过上任意一点,作平行于轴的直线穿过内部,与边界曲面相交不多于两点。亦即,的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。,其中,在上连续,并且。如何计算三重积分呢?不妨先考虑特殊情况,则即一般情况下,类似地有显然积分只是把看作的函数在区间上对求定积分,因此,其结果应是的函数,记那么如上图所示,区域可表示为从而综上讨论,若积分区域可表示成则这就是三重积分的计算公式,它将三重积分化成先对积分变量,次对,最后对的三次积分。如果平行于轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法,将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域()上的三重积分,当然各部分区域()应适合对区域的要求。例如,求,其中为。将面将区域剖分成上下两个部分区域则【例1】计算,其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。解:(1)、画出立体的简图(2)、找出立体在某坐标面上的投影区域并画出简图在面上的投影区域为(3)、确定另一积分变量的变化范围在已知积分变量的变化范围为的情况下,再确定另一积分变量的变化范围。在内任取一点,作一过此点且平行于轴的直线穿过区域,则此直线与边界曲面的两交点之竖坐标即为的变化范围。(4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分小结三重积分的定义和计算（化三重积分为三次积分）直角坐标系下的体积元素§9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分教学目的：熟练掌握三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算教学重点：利用柱坐标和球坐标变换计算三重积分教学难点：在柱坐标和球坐标系下将三重积分转换为三次积分时积分限的确定教学内容：对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。一、利用柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。规定的取值范围是，，柱面坐标系的三组坐标面分别为,即以轴为轴的圆柱面；,即过轴的半平面；,即与面平行的平面。点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式(1)2、三重积分在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面,,,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为这便是柱面坐标系下的体积元素,并注意到(1)式有(2)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。3、用柱面坐标表示积分区域的方法(1)、找出在面上的投影区域,并用极坐标变量表示之；(2)、在内任取一点,过此点作平行于轴的直线穿过区域,此直线与边界曲面的两交点之竖坐标(将此竖坐标表示成的函数)即为的变化范围。【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式球面与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。由锥面与平面所围成的立体。在面上的投影区域为,其极坐标下的表示形式为在的变化范围是,即故在面上的投影区域为,其极坐标下的表示形式为在的变化范围是即故【例2】用柱坐标计算三重积分,其中是球体位于第一卦限内的部分。解:二、利用球坐标计算三重积分1、球面坐标如图所示,空间任意一点也可用三个数唯一表示。其中：为原点到点的距离；为有向线段与轴正向所成夹角；为从正轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点是点在面上的投影点。规定的取值范围为,,不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为(3)2、球面坐标系的特点,是以原点为心的球面；,是以原点为顶,轴为轴的圆锥面；,是过轴的半平面。粗略地讲,变量刻划点到原点的距离,即“远近”；变量刻划点在空间的上下位置,即“上下”；变量刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。3、三重积分在球面坐标系下的计算公式用三组坐标面,,,将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为这就是球面坐标系下的体积元素。由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有(4)(4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。(4)式右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。4、积分区域的球面坐标表示法积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。实际中经常遇到的积分区域是这样的是一包围原点的立体,其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有例如:若是球体,则的球坐标表示形式为曲面的球坐标方程为于是【例3】求曲面与曲面所围成的立体的体积。解:的图形为下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。(1)、在面的投影区域包围原点,故变化范围应为；(2)、在中可由轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为；(3)、在内任取一值,作射线穿过,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面上,它们可分别用球坐标表示为及。因此,故也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。小结三重积分换元法柱面坐标的体积元素球面坐标的体积元素',)