第35课时-解直角三角形,解直角三角形第三课时教案

首页课件目录末页第二部分图形与几何第十一章解直角三角形考点管理中考再现课时作业归类探究第35课时解直角三角形首页课件目录末页考点管理1．解直角三角形的概念定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做．解直角三角形首页课件目录末页2．直角三角形的解法依据：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)三边的关系：；(2)两锐角的关系：；(3)边角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝.a2＋b2＝c2∠A＋∠B＝90°acbcab首页课件目录末页一般方法：(1)已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)，其解法一般是：由sinA＝ac求∠A，进而求得∠B＝90°－∠A，b＝c2－a2；(2)已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角∠A)，其解法一般是：∠B＝90°－∠A，a＝csinA，b＝ccosA；(3)已知一直角边和一锐角(如直角边a，锐角∠A)，其解法一般是：∠B＝90°－∠A，b＝atanA，c＝asinA；首页课件目录末页(4)已知两直角边(如直角边a和b)，其一般解法是：由tanA＝ab求∠A，进而得∠B＝90°－∠A，c＝a2＋b2.注意：(1)当已知条件或是待求量中有斜边时，就用正弦或余弦求解；无斜边时，用正切求解．当所求元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法．当原始数据和中间数据均可选择时，在不增加计算难度的情况下，应采用原始数据，这样可减少“链式错误”和“积累误差”；(2)当已知直角三角形的中线、高、角平分线、周长、面积等时，一般将这些元素转化为三角形中的元素或元素间的关系式，再通过解直角三角形的基本方法进行求解．首页课件目录末页3．解直角三角形的应用应用：(1)仰角与俯角：如图，在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做；仰角俯角首页课件目录末页(2)坡角与坡度：如图，坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点的与之比，常用i表示，也就是坡角的正切值．坡角越大，坡度越大，坡面越陡；竖直距离水平距离首页课件目录末页(3)方位角：如图，方位角是指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角．首页课件目录末页注意：(1)应用解直角三角形的知识解决实际问题时，关键在于将实际问题抽象为数学问题；(2)对于不存在直角三角形的实际问题，应结合已知条件，恰当地构造直角三角形来解答．首页课件目录末页中考再现1．[2019·长沙]如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．303nmileB.60nmileC．120nmileD.(30＋303)nmileD首页课件目录末页【解析】如答图，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60nmile.在Rt△ACD中，sin∠ACD＝ADAC，cos∠ACD＝CDAC，∴AD＝AC·sin∠ACD＝60×12＝30(nmile)，CD＝AC·cos∠ACD＝60×32＝303(nmile)．首页课件目录末页在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴BD＝CD＝303nmile，∴AB＝AD＋BD＝(30＋303)nmile.即此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30＋303)nmile.故选D.首页课件目录末页2．[2019·益阳]南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()CA．asinα＋asinβB.acosα＋acosβC．atanα＋atanβD.atanα＋atanβ首页课件目录末页【解析】在Rt△ABD中，∵tanβ＝BDAB，∴BD＝atanβ.在Rt△ABC中，∵tanα＝BCAB，∴BC＝atanα.∴CD＝BD＋BC＝atanα＋atanβ.首页课件目录末页3．[2019·怀化]如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5m的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．首页课件目录末页解：如答图，过A点作AD⊥BC，垂足为点D.根据题意可得∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，BC＝40×1.5＝60(m)．在Rt△ABD中，BD＝ADtan30°＝3AD，在Rt△ACD中，首页课件目录末页CD＝ADtan60°＝33AD，∴BC＝BD－CD＝233AD＝60m，∴AD＝303m.∴此段河面的宽度为303m.首页课件目录末页归类探究类型之一利用解直角三角形测量物体的高度或宽度[2019·金华]图②，图③是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时(图②)，A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C重合)；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；当点B到达点E时，点C恰好到达点F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm.首页课件目录末页(1)如图③，当∠ABE＝30°时，BC＝cm；(2)在(1)的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为cm2.(90－453)2256首页课件目录末页【解析】(1)利用直角三角形的性质先求得EB，CF，然后进行线段加减即可；(2)根据题意，得S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF，计算可得．解：(1)∵AB＝50cm，CD＝40cm，∴AB＋CD＝EB＋CF＝EF＝90(cm)．在Rt△ABE中，∵∠E＝90°，∠ABE＝30°，∴EB＝253cm.由题意知△ABE∽△DCF，同理可得CF＝203cm.∴BC＝(90－453)cm.首页课件目录末页(2)根据题意，得AE＝40cm，DF＝32cm，EB＝502－402＝30(cm)，CF＝402－322＝24(cm)，∴S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF＝12×(AE＋DF)·EF－12AE·EB－12CF·DF＝12(40＋32)×90－12×40×30－12×24×32＝2256(cm2)．首页课件目录末页1．[2019·绍兴]如图①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面内．首页课件目录末页(1)如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，求连杆端点D离桌面l的高度DE；(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图③，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到0.1cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)首页课件目录末页解：(1)如答图①，过点B作BO⊥DE，垂足为点O，则四边形ABOE是矩形，∠OBD＝150°－90°＝60°，∴DO＝BD·sin60°＝40×32＝203(cm)，∴DE＝DO＋OE＝DO＋AB＝203＋5≈39.6(cm)．变式跟进1答图①首页课件目录末页(2)减少了．如答图②，过点D作DF⊥l于点F，过点C作CP⊥DF于点P，过点B作BG⊥DF于点G，过点C作CH⊥BG于点H，则四边形PCHG为矩形，变式跟进1答图②首页课件目录末页∵∠CBH＝60°，∴∠BCH＝30°，∴∠DCP＝45°.∴CH＝BCsin∠CBH＝103(cm)，DP＝CDsin∠DCP＝102(cm)，∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝(102＋103＋5)cm.∴下降高度为DE－DF＝203＋5－102－103－5＝103－102≈3.2(cm)．首页课件目录末页2．[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm.首页课件目录末页(1)求坐垫E到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)首页课件目录末页解：(1)如答图①，过点E作EM⊥CD于点M.由题意，知∠BCM＝64°，EC＝BC＋BE＝60＋15＝75(cm)，∴EM＝ECsin∠BCM＝75×sin64°≈67.5(cm)，则单车车座E到地面的高度约为67.5＋32＝99.5(cm)．变式跟进2答图①首页课件目录末页(2)如答图②，过点E′作E′H⊥CD于点H.由题意，知E′H＝80×0.8＝64(cm)，则E′C＝E′Hsin∠ECH＝64sin64°≈71.1(cm)，∴EE′＝CE－CE′＝75－71.1＝3.9(cm)．变式跟进2答图②首页课件目录末页类型之二利用解直角三角形测量物体的高度或宽度[2019·黄冈]如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732.)首页课件目录末页解：如答图，延长CD交过A点的水平线于点M.则∠AMC＝90°，AM＝BC＝40m.在Rt△ADM中，tanα＝DMAM，∴DM＝AM·tanα＝40×tan45°＝40(m)．在Rt△ACM中，tanβ＝CMAM，首页课件目录末页∴CM＝AM·tanβ＝40×tan60°＝403(m)．∵AB＝CM，∴AB＝403≈40×1.732≈69.3(m)，CD＝CM－DM＝403－40≈69.3－40＝29.3(m)．答：建筑物AB的高度约为69.3m，建筑物CD的高度约为29.3m.首页课件目录末页3．[2019·岳阳]慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一，如图①.如图②，小亮的目高CD为1.7m，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5m，她站在距离塔底中心B点am远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9)首页课件目录末页(1)求小亮与塔底中心的距离BD；(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52m，求慈氏塔的高度AB.首页课件目录末页解：(1)在Rt△AEH中，∠AEH＝62.3°，tan62.3°＝AHEH.∴AH＝EH·tan62.3°＝BF·tan62.3°≈1.9a(m)．∵GH＝GB－HB＝CD－EF＝1.7－1.5＝0.2(m)，∴AG＝AH－GH≈(1.9a－0.2)m.在Rt△ACG中，首页课件目录末页∵∠ACG＝45°，∴CG＝AG≈(1.9a－0.2)m.∴BD＝CG≈(1.9a－0.2)m.∴小亮与塔底中心的距离BD约为(1.9a－0.2)m.首页课件目录末页(2)∵DF＝BD＋BF，∴1.9a－0.2＋a＝52.解得a＝18，∴AB＝AH＋BH≈1.9a＋1.5＝1.9×18＋1.5＝35.7(m)．∴慈氏塔的高度AB约为35.7m.【点悟】解直角三角形时，若所求的元素不能在一个直角三角形中解决，则可在两个或两个以上的直角三角形中，通过列方程解决问题．首页课件目录末页类型之三利用解直角三角形解决航海问题[2018·衢州]“五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200m到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示．首页课件目录末页根据以上信息和对话，请你帮小明算一算，他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处．(精确到1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：设BD＝xm，则AD＝(200＋x)m.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝(200＋x)m.在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，∴CD＝3BD＝3x(m)．∴200＋x＝3x.解得x＝100(3＋1)＝1003＋100≈273.答：小明还需沿绿道继续直走约273m才能到达桥头D处．首页课件目录末页4．[2019·连云港]如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向，位于哨所B南偏东37°的方向．首页课件目录末页(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.结果保留根号.参考数据：sin37°＝cos53°≈35，cos37°＝sin53°≈45，tan76°≈4首页课件目录末页解：(1)在△ABC中，∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－37°－53°＝90°.在Rt△ABC中，sinB＝ACAB，AC＝AB·sin37°≈25×35＝15(海里)．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离约为15海里．首页课件目录末页(2)如答图，过点C作CM⊥AB于点M.由题意易知，D，C，M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC·sin∠CAM≈15×45＝12(海里)，AM＝AC·cos∠CAM≈15×35＝9(海里)，在Rt△AMD中，tan∠DAM＝DMAM，首页课件目录末页∴DM＝AM·tan76°≈9×4＝36(海里)，∴AD＝AM2＋DM2≈92＋362＝917(海里)，CD＝DM－CM≈36－12＝24(海里)，设缉私艇的速度为x海里/时，则有2416＝917x，解得x＝617.经检验，x＝617是原方程的解．答：当缉私艇的速度约为617海里/时时，恰好在D处成功拦截．首页课件目录末页【点悟】求与三角形有关的实际问题时，一般是转化为直角三角形或相似三角形或全等三角形来解，尤其是已知方位角时，可计算出所需角的大小，再解直角三角形．首页课件目录末页类型之四利用解直角三角形解决坡度问题[2019·天水]某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6m，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8m处(PB的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶3.(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3m时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．首页课件目录末页解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1∶3，∴tanα＝13＝33，∴α＝30°.(2)该文化墙PM不需要拆除，理由如下：如答图，过点C作CD⊥AB交延长线于点D，则CD＝6m.首页课件目录末页∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan∠CAD＝CDAD＝6AD＝13，解得AD＝63m.∵坡面BC的坡度为1∶1，CD＝6m，∴BD＝6m，∴AB＝AD－BD＝(63－6)m.又∵PB＝8m，∴PA＝PB－AB＝8－(63－6)＝14－63≈14－6×1.732≈3.6(m)>3m，∴该文化墙PM不需要拆除．首页课件目录末页5．[2019·鄂州]为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6m远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上)．然后，小明沿坡度i＝1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．首页课件目录末页(1)求点F到地面的距离(结果保留根号)；(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB.(结果精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73)首页课件目录末页解：(1)如答图，过点F作FG⊥EC交延长线于点G.依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°.∴四边形DEFG是矩形．∴FG＝DE.在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan30o＝23(m)．∴点F到地面的距离为23m.首页课件目录末页(2)∵斜坡CF的坡度i＝1∶1.5.∴在Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝1.5×23＝33(m)，∴FD＝EG＝(33＋6)m.在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠BCE＝6×tan60o＝63(m)．∴AB＝AD＋DE－BE＝33＋6＋23－63＝6－3≈4.3(m)．答：宣传牌的高度约为4.3m.【点悟】此类有关坡度、坡角的问题，把关于梯形的计算通过作高线转化成关于直角三角形的计算是解决问题的基本思路．首页课件目录末页课时作业(70分)一、选择题(每题5分，共25分)1．[2019·广州]如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝25，则此斜坡的水平距离AC为()A．75mB.50mC．30mD.12mA首页课件目录末页【解析】∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝25，BC＝30m，∴tan∠BAC＝25＝BCAC＝30AC，解得AC＝75m．故选A.首页课件目录末页2．[2019·温州]某房简易示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为()A.95sinαmB.95cosαmC.59sinαmD.59cosαmB首页课件目录末页【解析】如答图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则BD＝1.5＋0.3＝1.8(m)．在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，cosB＝BDAB，∴AB＝BDcosα＝1.8cosα＝95cosα(cm)．故选B.首页课件目录末页3．[2019·苏州]如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度．将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度是1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是()A．55.5mB.54mC．19.5mD.18mC首页课件目录末页【解析】如答图，过D点作DE⊥AB于点E.∵在D处测得教学楼顶端A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°.∵DE＝BC＝183m，∴AE＝DE·tan30°＝18(m)，∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝18＋1.5＝19.5(m)．故选C.首页课件目录末页4．[2019·泰安]如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为()A．(30＋303)kmB.(30＋103)kmC．(10＋303)kmD.303kmB首页课件目录末页【解析】如答图，由题中方位角可知∠A＝45°，∠ABC＝75°，∠C＝60°.如答图，过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝302km，∴AD＝ABcosA＝30(km)，BD＝ABsinA＝30(km)．在Rt△BCD中，∠C＝60°，∴CD＝BDtanC＝103(km)，∴AC＝AD＋CD＝(30＋103)km.故选B.首页课件目录末页5．[2019·重庆A卷]为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26m，在距山脚点A水平距离6m的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)()A．17.0mB.21.9mC．23.3mD.33.3mC首页课件目录末页【解析】如答图，延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EA.∵山坡AB的坡度i＝1∶2.4，AC＝26m，∴令CF＝km，则AF＝2.4km.由勾股定理，得k2＋(2.4k)2＝262，解得k＝10，从而AF＝24m，CF＝10m，EF＝30m.在Rt△DEF中，tanE＝DFEF，故DF＝EF·tanE＝30×tan48°≈30×1.11＝33.3(m)，∴CD＝DF－CF≈23.3(m)．故选C.首页课件目录末页二、填空题(每题5分，共25分)6．[2017·泰州]小明沿着坡度i为1∶3的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了m.【解析】如答图，作BE⊥AC于点E.在Rt△ABE中，∵坡度i＝1∶3，∴tanA＝1∶3＝33.∴∠A＝30°.25首页课件目录末页∵AB＝50m，∴BE＝12AB＝25(m)．∴小明沿垂直方向升高了25m.首页课件目录末页7．[2019·枣庄]如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．(精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)9．5首页课件目录末页【解析】由题可知BC＝6m，CD＝1.5m.如答图，过点D作DE∥BC交AB于点E.易知四边形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝6m.在Rt△ADE中，AE＝DE·tan53°≈7.98(m)，EB＝CD＝1.5m，∴AB＝AE＋EB≈9.48≈9.5(m)．首页课件目录末页8．[2019·衢州]如图，人字梯AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD约为m．(结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)1．5【解析】由三角函数的定义，得sinα＝sin50°＝ADAC＝AD2≈0.77，∴AD≈2×0.77＝1.54≈1.5(m)．首页课件目录末页9．[2019·湖州]有一种落地晾衣架如图①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图②是支撑杆的平面示意图．AB和CD分别是两根不同的支撑杆，夹角∠BOD＝α.若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm.问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为cm.(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)120首页课件目录末页【解析】如答图，过点A作AE⊥BD交延长线于点E，则∠AEB＝90°.第9题答图∵AO＝85cm，BO＝DO＝65cm，α＝74°，∴∠ODB＝∠B＝53°，AB＝150cm.在Rt△ABE中，sinB＝hAB，故h＝AB·sinB＝150×sin53°≈150×0.8＝120(cm)．首页课件目录末页10．[2019·宁波]如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400m的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为m.566首页课件目录末页【解析】如答图，在Rt△AOH中，OH＝AOcos45°＝2002(m)．在Rt△BOH中，BO＝OHcos60°＝4002≈566(m)．首页课件目录末页三、解答题(共20分)11．(10分)[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2m，货厢底面距地面的高度BH＝0.6m，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长FC为2m，高EF和宽都是1.6m．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．首页课件目录末页解：∵BH＝0.6m，sinα＝35，∴AB＝BHsinα＝0.635＝1(m)，∴AH＝0.8m.∵AF＝FC＝2m，∴BF＝1m，如答图，作FQ⊥BG于点Q，作EP⊥FQ延长线于点P.第11题答图首页课件目录末页∵FB＝AB＝1，∠EPF＝∠FQB＝∠AHB＝90°，∠EFP＝∠FBQ＝∠ABH，∴△EFP∽△ABH，△FBQ≌△ABH，∴EFAB＝FPBH＝EPAH，BQ＝BH＝0.6m，即1.61＝FP0.6＝EP0.8，解得EP＝1.28m，∴BQ＋EP＝0.6＋1.28＝1.88(m)<2m，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．首页课件目录末页12．(10分)[2018·长沙]为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80km，∠A＝45°，∠B＝30°.(结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？首页课件目录末页解：(1)如答图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△BCD中，CD＝BC·sinB＝40(km)．在Rt△ACD中，AC＝CDsinA＝402(km)．∴AC＋BC＝402＋80≈136.4(km)．答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4km.首页课件目录末页(2)在Rt△BCD中，BD＝BC·cosB＝403(km)．在Rt△ACD中，AD＝CDtanA＝40(km)．∴AB＝AD＋BD＝40＋403≈109.2(km)．∴AC＋BC－AB≈136.4－109.2＝27.2(km)．答：开通隧道后，汽车从A到B大约可以少走27.2km.首页课件目录末页(20分)13．(10分)[2019·天津]如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD.(结果保留整数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)首页课件目录末页解：如图，根据题意∠CAD＝31°，∠CBD＝45°，∠CDA＝90°，AB＝30m.∵在Rt△ACD中，tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝CDtan31°.∵在Rt△BCD中，tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝CDtan45°＝CD.首页课件目录末页∵AD＝BD＋AB，∴CDtan31°＝30＋CD，∴CD≈45m.答：这座灯塔的高度CD约为45m.首页课件目录末页14．(10分)[2019·娄底]如图，某建筑物CD高96m，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1∶1.为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α，β.已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE(C，B，E在同一水平线上)．首页课件目录末页解：如答图，设DA与CB的交点为O.∵tan∠O＝tanα＝DCOC＝96OC＝2，∴OC＝48m.∵tan∠DBC＝tanβ＝DCBC＝96BC＝4，∴BC＝24m.首页课件目录末页∴OB＝OC－BC＝48－24＝24(m)．设AE＝xm，则由i＝1∶1，得BE＝x，OE＝12x.∴x＋12x＝24，∴x＝16，答：山顶A的高度AE为16m.首页课件目录末页(10分)15．(10分)[2019·嘉兴]某挖掘机的底座高AB＝0.8m，动臂BC＝1.2m，CD＝1.5m，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°.初始位置如图①，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°(示意图②)．工作时如图③，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线上时，斗杆顶点D升至最高点(示意图④)．首页课件目录末页首页课件目录末页(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数；(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1m)？(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，3≈1.73)首页课件目录末页解：(1)如答图①，过点C作CG⊥AM于点G.∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥DE∥CG，∴∠DCG＝180°－∠CDE＝110°.∴∠BCG＝∠BCD－∠DCG＝30°.∴∠ABC＝180°－∠BCG＝150°.∴动臂BC与AB的夹角为150°.第15题答图①首页课件目录末页(2)如答图②，过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q交CG于点N.第15题答图②在Rt△CPD中，DP＝CD×cos70°≈0.51(m)，在Rt△BCN中，CN＝BC×sin60°≈1.04(m)，∴DE＝DP＋PQ＋QE＝DP＋CN＋AB≈2.35(m)．首页课件目录末页如图③，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K.第15题答图③在Rt△CKD中，DK＝CD×sin50°≈1.16(m)，∴DH＝DK＋KH≈3.16(m)，∴DH－DE≈3.16－2.35≈0.8(m)．答：斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8m.